福建省福州市平潭县新世纪学校2020-2021学年高一下学期5月周练（13）数学试题 Word版含答案

平潭县新世纪学校2020-2021学年高一下学期周练（13）数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列说法正确的是（ ）
A．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台
B．两底面平行，并且各侧棱也互相平行的多面体是棱柱
C．棱锥的侧面可以是四边形 D．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面
2．若复数z满足false（false是虚数单位），则复数false在复平面中对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．在false中，false为false边上的中线，E为false的中点，则false（ ）
A．false B．false C．false D．false
4．已知false，false在false方向上的投影为false，则false的值为（ ）
A．false B．false C．2 D．-2
5．下列说法正确的是（ ）
A．三点确定一个平面 B．一条直线和一个点确定一个平面
C．梯形一定是平面图形 D．过平面外一点只有一条直线与该平面平行
6．已知向量false，false，若false，则实数false（ ）
A．0 B．false C．false D．false
7．设△ABC的三边分别为a，b，c，若a2+b2＝c2﹣ab，c＝1，则△ABC的外接圆半径为（ ）
A．false B．false C．false D．2
8．在false中，false，false，false，false，若false是false边上的动点，则false的取值范围是（ ）
A．false B．false C．false D．false
二、多选题
9．在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是（ ）
A．b＝7，c＝3，C＝30° B．b＝5，c＝4，B＝45°
C．a＝6，b＝3false，B＝60° D．a＝20，b＝30，A＝30°
10．已知false为复数，false是其共轭复数，则下列命题一定正确的是（ ）
A．false B．false
47910751270C．若false为纯虚数，则false D．复数false是实数的充要条件是false
11．(多选题)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为DB的中点，直线A1C交平面C1BD于点M，则下列结论正确的是（ ）
A．C1，M，O三点共线 B．C1，M，O，C四点共面
C．C1，O，A，M四点共面 D．D1，D，O，M四点共面
479107595059512．如图所示，设false是平面内相交成false角的两条数轴，false分别是与false轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系false为false仿射坐标系，若false，则把有序数对false叫做向量false的仿射坐标，记为false，在false的仿射坐标系中，false，false则下列结论中，正确的是（ ）．
A．false B．false C．false D．false在false上的投影向量为false
三、填空题
13．一艘船以32海里/小时的速度向正北航行，在false处看灯塔false在船的北偏东false，半小时后航行到false处，在false处看到灯塔false在船的北偏东false，则灯塔false与false点的距离为______海里.
45910508572514．已知false内角false，false，false所对的边分别为false，false，false，若false，false，false，则false面积为___________.
15．如图，已知某平面图形的斜二测画法直观图为边长为2正方形false，则该平面图形的面积为____________，周长为___________．
16．false年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式false，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据此公式，则false________；false________.
五、解答题
17．已知复数z＝a＋i(a>0，a∈R)，i为虚数单位，且复数false为实数.
（1）求复数z；（2）在复平面内，若复数(m＋z)2对应的点在第一象限，求实数m的取值范围.
18．一个透明的球形装饰品内放置了两个具有公共底面的圆锥，且这两个圆锥的顶点和底面圆周都在这个球面上，如图，已知圆锥底面面积是这个球的表面积的false，设球的半径为R，圆锥底面半径为r.
（1）试确定R与r的关系，并求出大圆锥与小圆锥的侧面积的比值.
（2）求出两个圆锥的总体积(即体积之和)与球的体积之比.
4905375207645
19．如图，在长方形ABCD中，E为边DC的中点，F为边BC上一点，且false．设false．
（1）试用基底false，表示false；
（2）若G为长方形ABCD内部一点，且false．求证：E，G，F三点共线．
511492540005
20．设false是两个单位向量夹角为false，若false，
（1）求false；（2）求false；（3）求false与false夹角；（4）求false在false的投影.
21．已知false的三个内角false，false，false的对边分别为false，false，false，且满足false.
（1）求角false的大小；
（2）若false，false，false，求false的长
22．在①false，②false，③false，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题（2）中，并完成问题的解答．
问题：已知false的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，false且false．
（1）求A；
（2）若________，求false的面积．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分
参考答案
1．B
【分析】
由棱台的概念可判断A，由棱柱的概念可判断B，由棱锥的几何特征可判断C，举出反例可判断D，即可得解.
【详解】
对于A，有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体，所有侧棱不一定交于同一点，所以该六面体不一定是棱台，故A错误；
对于B，由棱柱的概念可得两底面平行，并且各侧棱也互相平行的多面体是棱柱，故B正确；
对于C，棱锥的侧面一定是三角形，故C错误；
对于D，在正六棱柱中，存在互相平行的侧面，故D错误.
故选：B.
【点睛】
本题考查了几何体的概念及几何特征的应用，牢记几何体的几何特征是解题关键，属于基础题.
2．C
【分析】
先对复数进行化简，然后结合复数的几何意义即可求解．
【详解】
由false，得false
false，所以复数false在复平面中对应的点为false，在第三象限．
故选：C．
3．B
【分析】
首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，向量的运算法则，用基底false表示false，从而求得结果.
【详解】
由D为false中点，根据向量的运算法则，
可得false，
false
故选：B.
【点睛】
本题考查了平面向量基本定理，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量减法的三角形法则，考查了转化能力，尤其注意向量减法运算的方向问题.
4．B
【分析】
根据投影和数量积的关系可求false的值.
【详解】
false，
故选：B.
5．C
【分析】
由平面的基本性质，根据点、线、面的位置关系判断各选项的正误即可.
【详解】
A：不在一条直线上的三点确定一个平面，三点在一条直线上时不能确定平面，不正确；
B：点在直线上时，不能确定平面，不正确；
C：梯形有两条边平行，两条平行线确定一个平面，梯形的两腰也在平面内，正确；
D：过平面外一点与平面平行的平面内，过该点的直线都符合条件，不正确.
故选：C.
6．C
【分析】
首先可得false，然后由false建立方程算出答案即可.
【详解】
因为false，false
所以false
因为false，所以false，解得false
故选：C
7．A
【分析】
由已知可得a2+b2﹣c2＝﹣ab，再利用余弦定理可得cosC的值，结合C的范围可求C的值，进而利用正弦定理即可求解．
【详解】
解：∵a2+b2＝c2﹣ab，可得：a2+b2﹣c2＝﹣ab，
∴false，
∵false，∴false，
∵c＝1，设△ABC的外接圆半径为R，由正弦定理可得false，
解得false，
故选：A．
【点睛】
关键点点睛：解答本题的关键是正余弦定理的熟练运用，涉及求解三角形的外接圆半径的问题，首先应想到利用正弦定理去求解.
8．C
【分析】
建立平面直角坐标系，设false，分别求得向量false的坐标，利用数量积运算求解.
【详解】
因为false中，false，false，false，false，
建立如图所示平面直角坐标系:
设false，则false，
所以false，
所以false，
因为 false，
所以falsefalse，
故选：C
9．BC
【分析】
利用正弦定理，结合三角形个数的判断，判断各选项的正误．
【详解】
解：对于A，∵b＝7，c＝3，C＝30°，
∴由正弦定理可得：false，无解；
对于B，b＝5，c＝4，B＝45°，
∴由正弦定理可得：false，且c＜b，有一解；
对于C，∵a＝6，b＝false，B＝60°，
∴由正弦定理可得：false，此时C＝30°，有一解；
对于D，∵a＝20，b＝30，A＝30°，
∴由正弦定理可得：false，且b＞a，则false，
∴B有两个可能值，即有两解，
故选：BC．
【点睛】
易错点睛：利用正弦定理判断三角形解的个数时需要注意：
（1）正弦值的范围：false；
（2）利用正弦定理求解出正弦值false后，注意结合“大边对大角，小边对小角”对结果进行取舍.
10．BD
【分析】
利用特殊值法可判断A选项的正误；利用复数的乘法可判断B选项的正误；利用复数的乘法以及复数相等可判断C选项的正误；利用复数的概念结合充分条件、必要条件的定义可判断D选项的正误.
【详解】
对于A选项，取false，则false，false，所以，false，A选项错误；
对于B选项，false，B选项正确；
对于C选项，false为纯虚数，则false，即false，C选项错误；
对于D选项，充分性：若false为实数，即false，此时false，false，充分性成立.
必要性：若false，即false，可得false，即false，false，必要性成立.
所以，复数false是实数的充要条件是false，D选项正确.
故选：BD.
11．ABC
【分析】
根据三点C1，M，O是平面C1BD与平面ACC1A1的公共点可知C1，M，O三点共线，由此可得答案.
【详解】
在题图中，连接A1C1，AC，则AC∩BD＝O，
又A1C∩平面C1BD＝M.
∴三点C1，M，O在平面C1BD与平面ACC1A1的交线上，即C1，M，O三点共线，
∴A，B，C均正确，D不正确.
故选：ABC
12．ABD
【分析】
利用false运算可得false的仿射坐标，知A正确；
根据false，利用平面向量数量积的运算律可求得B正确；
由false，知C错误；
利用false可求得false在false上的投影数量，由投影向量定义计算可得D正确.
【详解】
对于A，false，false，false，即false，A正确；
对于B，false，B正确；
对于C，false，
false与false不垂直，C错误；
对于D，false，
false在false上的投影数量为false，
false在false上的投影向量为false，D正确.
故选：ABD.
【点睛】
关键点点睛：本题考查平面向量中的新定义运算的问题，解题关键是能够利用false表示所求内容，根据平面向量的加减、数乘以及数量积运算等知识来进行求解.
13．false
【分析】
建立方位平面直角坐标系，在false中，利用正弦定理求解.
【详解】
如图所示：
由题意得false，
则false，
又false，
在false中，由正弦定理得false，
解得false，
故答案为：false
14．false
【分析】
利用正弦定理求得false，结合余弦定理求出false，再利用三角形的面积公式可求得结果.
【详解】
false，由正弦定理得：false，即false
由余弦定理得：false，即false，解得：false，
又false，false，false
false，false，
所以false的面积为false.
故答案为：false.
【点睛】
方法点睛：在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用：
（1）若式子含有false的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”；
（2）若式子含有false的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”；
（3）若式子含有false的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”；
（4）代数变形或者三角恒等变换前置；
（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用；
（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到false.
15．false false
【分析】
首先根据斜二测画法画出原图，再计算其面积和周长即可.
【详解】
如图所示：
false，false，false，
所以false，
故原图的周长为false，面积为false.
故答案为：false；false
16．false false
【分析】
根据复指数函数和三角函数的关系可计算得出false的值，由已知条件得出false，利用指数的运算性质以及复指数函数和三角函数的关系可求得false的值.
【详解】
false，false，
因此，false.
故答案为：false；false.
17．（1）false；（2）false.
【分析】
（1）利用复数的四则运算以及复数的分类即求解.
（2）利用复数的四则运算以及复数的几何意义即可求解.
【详解】
（1）因为z＝a＋i(a>0)，
所以z＋false＝a＋i＋false
＝a＋i＋false
＝a＋i＋false
＝false，
由于复数z＋false为实数，所以1－false＝0，
因为a>0，解得a＝1，因此，z＝1＋i.
（2）由题意(m＋z)2＝(m＋1＋i)2
＝(m＋1)2－1＋2(m＋1)i＝(m2＋2m)＋2(m＋1)i，
由于复数(m＋z)2对应的点在第一象限，则false，解得m>0.
因此，实数m的取值范围是(0，＋∞).
18．（1）false，大圆锥与小圆锥的侧面积的比值为false；（2）false.
【分析】
（1）求出球的表面积和圆锥底面积，即可得出false，根据几何特征表示出圆锥的高和母线长，即可求出侧面积之比；
（2）根据体积公式计算出，即可得出比值.
【详解】
解：（1）false球的表面积为false，
false圆锥的底面积为false，解得false，
由几何体的特征知球心到圆锥底面的距离，球的半径以及圆锥底面的半径三者可以构成一个直角三角形；
由此可以求得球心到圆锥底面的距离是：false，
所以小圆锥的高为：false，母线长为：false；
同理可得大圆锥的高为：false，母线长为：false；
又由这两个圆锥的底面半径相同，
∴较大圆锥与较小圆锥的侧面积之比等于它们母线长之比，即false.
（2）由（1）可得两个圆锥的体积和为：false，
球的体积为：false，
故两个圆锥的体积之和与球的体积之比为：false.
19．（1）false,false；（2）证明见解析．
【分析】
（1）根据题意，由平面向量的线性运算法则即可用基底false，表示false；
（2）由false,得出false，即可证明结论.
【详解】
（1）由题可知：false＝false，
false
（2）false，
false共线，
且false有一公共点false，
∴E，G，F三点共线．
20．（1）false；（2）false；（3）false；（4）false．
【分析】
由已知得false，false.
（1）false展开可得答案；
（2）false再展开可得答案；.
（3）false展开可得答案；
（4）由（3）得，false在false的投影为false可得答案.
【详解】
由已知得false，false.
（1）false
false.
（2）false
false.
（3）false
false，由（1）（2）得
false，因为两个向量的夹角的范围在false，
所以false与false夹角为false.
（4）由（3）得，false在false的投影为false.
21．（1）false；（2）false.
【分析】
（1）利用正弦定理化简已知可得：false，结合两角和的正弦公式及诱导公式可得：false，问题得解.
（2）利用false可得：false，两边平方并结合已知及平面向量数量积的定义即可得解.
【详解】
解：（1）因为false，
所以由正弦定理可得 false,
即false,
因为false,所以false，false，
false,故false.
（2）由已知得false，

所以false
falsefalse,
所以false.
【点睛】
本题主要考查了正弦定理的应用及两角和的正弦公式，还考查了利用平面向量的数量积解决长度问题，考查转化能力及计算能力，属于中档题．
22．（1）false；（2）答案见解析.
【分析】
（1）由正弦定理结合二倍角的正弦公式可得结果；
（2）①若选择false，利用余弦定理可得false，再利用面积公式可得结果；②若选择false，由余弦定理可求得得false，再利用面积公式可得结果；③若选择false，由内角和求得false，再由正弦定理求出b，代入面积公式即可.
【详解】
（1）false，由正弦定理可得false，
又false，false，
又由已知false，false，
由false．false
（2）①若选择false，由余弦定理得：false，
false，false，
false．
②若选择false，由余弦定理得：
false，
整理得：false，
解得：false，或false（舍去），
false．
③若选择false，则false，
由正弦定理得：false，false．
false
false．
【点睛】
方法点睛：在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用：
（1）若式子含有false的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”；
（2）若式子含有false的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”；
（3）若式子含有false的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”；
（4）代数变形或者三角恒等变换前置；
（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用；
（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到false.