福建省福州市平潭县新世纪学校2021届高三下学期5月百盛冲刺班数学测试（10) Word版含答案

平潭县新世纪学校百盛高三冲刺班数学测试（十）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知x，y∈R，集合A＝{1,2x}，B＝{x，y}，A∩B＝，则xy＝(　　)
A．－1 B．－ C． D．1
2．在复数范围内，实系数一元二次方程一定有根，已知方程x2＋ax＋b＝0(a∈R，b∈R)的一个根为1＋i(i为虚数单位)，则＝(　　)A．1－i B．－1＋i C．2i D．2＋i
5057775330203．在△ABC中，已知A＝45°，AB＝6，且AB边上的高为2，则sin C＝(　　)A． B． C． D．
4．设m，n为非零向量，则“存在正数λ，使得m＝λn”是“m·n>0”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5433695247655．如图，标准对数远视力表采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式，标准对数远视力表各行为正方形“E”形视标，且从视力5.2的视标所在行开始往上，每一行“E”的边长都是下方一行“E”的边长的倍，若视力4.0的视标边长为a，则视力4.8的视标边长为(　　)A．a B．a C． D．
6．已知△ABC是边长为4的等边三角形，D为 AB的中点，以CD为折痕，将△ABC折成直二面角A－CD－B，则过A，B，C，D四点的球的表面积为(　　)
A．18π B．20π C．22π D．24π
7．函数f(x)＝(－π≤x≤π)的图象大致为(　　)

A　　 B C　　　 D
8．已知函数f(x)＝(x－1)ex－e2x＋ax只有一个极值点，则实数a的取值范围是(　　)
A． B． C．{a|a≤0} D．
二、多选题
9．(多选)下列结论正确的有(　　)
A．若随机变量ξ～N(1，σ2)，P(ξ≤4)＝0.79，则P(ξ≤－2)＝0.21
B．若X～B，则D(3X＋2)＝22
C．已知回归直线方程为y＝x＋10.8，且＝4，＝50，则＝9.8
D．已知一组数据丢失了其中一个，剩下的六个数据分别是3,3,5,3,6,11，若这组数据的平均数、中位数、众数依次成等差数列，则丢失数据的所有可能值的和为22
10．(多选)将函数y＝2cos x＋1的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位长度，得到f(x)的图象，下列说法正确的是(　　)
A．点是函数f(x)图象的对称中心 B．函数f(x)在上单调递减
C．函数f(x)的图象与函数g(x)＝2sin＋1的图象相同
D．若x1，x2是函数f(x)的零点，则x1－x2是π的整数倍
11．(多选)已知函数f(x)＝若x1 510032054610012．(多选)如图，点M是正方体ABCD－A1B1C1D1中的侧面ADD1A1上(包含边界)的一个动点，则下列结论正确的是(　　)
A．点M存在无数个位置满足CM⊥AD1
B．若正方体的棱长为1，三棱锥B－C1MD的体积最大值为
C．在线段AD1上存在点M，使异面直线B1M与CD所成角是30°
D．点M存在无数个位置满足到直线AD和直线C1D1的距离相等
三、填空题
13．直线y＝x被圆(x－2)2＋y2＝4截得的弦长为__________．
14．二项式9的展开式中，除常数项外，各项系数的和为__________．
15．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点和点P(2a，b)为某个等腰三角形的三个顶点，则双曲线C的离心率为__________．
16．我们称一个数列是“有趣数列”，当且仅当该数列满足以下两个条件：
①所有的奇数项满足a2n－1 ②任意相邻的两项a2n－1，a2n满足a2n－1 若an＝n＋(－1)n，则数列{an}__________“有趣数列”(填“是”或“不是”)．
一、解答题
1．在①false，②false，③false这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求false的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在false，它的内角false的对边分别为false，且false，false，________?
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
2．等比数列false的各项均为正数，且false.
（1）求数列false的通项公式；
（2）设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列false的前false项和false.
3．如图，在三棱柱false中，false平面false，false，点false分别在棱false和棱false上，且false为棱false的中点．
3790950375285（Ⅰ）求证：false；
（Ⅱ）求二面角false的正弦值；
（Ⅲ）求直线false与平面false所成角的正弦值．
参考答案
1．　B
解析　因为A∩B＝，所以2x＝，即x＝－1，所以y＝，故xy＝－.故选B项．
2．B
解析　因为x1＝1＋i是关于x的实系数一元二次方程x2＋ax＋b＝0的一个根，所以x2＝1－i也是此方程的一个虚根，所以a＝－(x1＋x2)＝－(1＋i＋1－i)＝－2.所以＝＝＝－1＋i.故选B项．
3．答案　B
解析　如图，在△ABC中，A＝45°，AB＝6，且AB边上的高CD为2，所以AD＝CD＝2，AC＝＝4，所以由余弦定理可得BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·cos A＝16＋72－2×4×6×＝40，即BC＝，所以由正弦定理＝，可以得到sin ∠ACB＝＝＝.故选B项．
4．答案　A
解析　由题意，存在正数λ，使得m＝λn，所以m，n同向，所以m·n＝|m||n|cos〈m，n〉>0，即充分性是成立的．反之，当非零向量m，n的夹角为锐角时，满足m·n>0，而此时 m＝λn不成立，即必要性不成立．所以“存在正数λ，使得m＝λn”是“m·n>0”的充分不必要条件．故选A项．
5．答案　C
解析　设第n行视标边长为an，第n－1行视标边长为an－1，则a1＝A．由题意可得an－1＝an，所以＝，所以数列{an}是首项为a，公比为的等比数列，即，所以视力4.8的视标边长为．故选C项．
6．答案　B
解析　如图所示，由题意可得在△ABC中，CD⊥AB，所以在直二面角A－CD－B中，BD⊥CD，AD⊥CD．所以∠ADB为直二面角A－CD－B的平面角，即∠ADB＝90°.
　　　　
设三棱锥B－ACD的外接球的半径为R，可得(2R)2＝AD2＋BD2＋CD2＝22＋22＋(2)2，所以4R2＝20.所以过A，B，C，D四点的球的表面积S＝4πR2＝20π.故选B项．
7．答案　A
解析　由函数的解析式可得f(－x)＝－f(x)，所以函数f(x)的图象关于坐标原点对称，排除B项；设函数g(x)＝ex＋e－x，则g′(x)＝ex－e－x＝，当x>0时，g′(x)>0，所以g(x)单调递增，则g0，sin x>0，则f(x)>0，排除D项．故选A项．
8．答案　A
解析　f(x)＝(x－1)ex－e2x＋ax，则f′(x)＝xex－ae2x＋a，当a＝0时，f′(x)＝xex，易知函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，且f′(0)＝0，故函数有唯一极小值点，满足条件；当a≠0时，令f′(x)＝0，则x－aex＋＝0，即＝ex－e－x，设g(x)＝ex－e－x，则g′(x)＝ex＋e－x≥2恒成立，且g′(0)＝2，画出函数g(x)和y＝的图象，如图所示．

根据图象知，当≤2，即a<0或a≥时，满足条件．综上所述，实数a的取值范围是.故选A项．
9．答案　AC
解析　因为随机变量ξ～N(1，σ2)，P(ξ≤4)＝0.79，所以P(ξ≤－2)＝1－P(ξ≤4)＝0.21，A项正确；因为X～B，所以D(X)＝10××＝，故D(3X＋2)＝9D(X)＝20，B项错误；将(，)代入回归直线方程，计算得到 ＝9.8，C项正确；设丢失的数据为x，则平均数为，众数为3，当x≤3时，中位数为3，则3×2＝＋3，所以x＝－10，当3 10．答案　BC
解析　将函数y＝2cos x＋1的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，可得到函数y＝2cos 2x＋1的图象，再向左平移个单位长度，可得到函数f(x)＝2cos＋1的图象．对于A项，令x＝，求得f(x)＝1，故A项错误；对于B项，若x∈，则2x＋∈，故f(x)＝2cos＋1在上单调递减，故B项正确；对于C项， f(x)＝2cos＋1＝2cos＋1＝2sin＋1＝g(x)，即函数f(x)的图象与函数g(x)的图象相同，故C项正确；对于D项，可取函数f(x)的零点x1＝，x2＝，此时x1－x2不是π的整数倍，故D项错误．故选BC项．
11．答案　BCD
解析　画出函数f(x)的大致图象如图所示．

所以x1＋x2＝－2，－log2x3＝log2x4，则x3x4＝1，故A项错误，B项正确；由图可知1 12．答案　ABD
解析　A项，如图①，连接AD1，A1D，MC，A1C，由正方体的性质可得AD1⊥A1D，AD1⊥DC，又A1D∩DC＝D，所以AD1⊥平面A1DC，当点M∈A1D时，有CM?平面A1DC，所以CM⊥AD1，故点M存在无数个位置满足 CM⊥AD1，故A项正确；

图①　　 图②
B项，如图②，由已知VB－C1MD＝VM－C1BD，当点M与点A1重合时，点M到平面C1BD的距离最大，则三棱锥 B－C1MD的体积最大值VA－C1BD＝13－4×××1×1×1＝，故B项正确；C项，如图③，连接A1M，因为CD∥A1B1，所以∠A1B1M为异面直线B1M与CD所成的角．设正方体棱长为1，A1M＝x，则B1M2＝x2＋1，因为点A1到线段AD1的距离为＝＝，所以≤x≤1，若在线段AD1上存在点M使异面直线B1M与CD所成的角是30°，则cos∠A1B1M＝＝cos30°＝，解得x＝?，所以在线段AD1上不存在点M，使异面直线B1M与CD所成的角是30°，故C项错误；

图③　 　图④
D项，如图④，连接MD1，过M作MN⊥AD交AD于N，则线段MN为点M到直线AD的距离，由C1D1⊥平面ADD1A1，MD1?平面ADD1A1，得MD1⊥D1C1，则MD1为点M到直线C1D1的距离，要使MD1＝MN，只需点M在以D1为焦点，以AD为准线的抛物线上，故这样的点M有无数个，故D项正确．故选ABD项．
13．解析 直线方程一般式为x－y＝0，圆心为(2,0)，它到已知直线的距离d＝＝1，圆半径为r＝2，所以弦长为2＝2×＝2.
答案　2
14．解析 令x＝1，可得该二项式各项系数的和为－1.因为该二项展开式的通项公式为Tr＋1＝C·9－r·(－2x2)r＝C(－2)r·x3r－9，令3r－9＝0，得r＝3，所以该二项展开式中的常数项为C(－2)3＝－672，所以除常数项外，各项系数的和为－1－(－672)＝671.
答案　671
15．解析 设双曲线C的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，离心率为e.因为左、右焦点和点P(2a，b)为某个等腰三角形的三个顶点，故当F1F2＝PF2时，2c＝，由b2＝c2－a2可得2c2＋4ac－3a2＝0，等式两边同除以a2可得2e2＋4e－3＝0，解得e＝<1(舍)；当F1F2＝PF1时，2c＝，由b2＝c2－a2可得2c2－4ac－3a2＝0，等式两边同除以a2可得2e2－4e－3＝0，解得e＝；当PF1＝PF2时，显然不存在．综上，双曲线C的离心率为.
答案　
16解析 若an＝n＋(－1)n，则a2n－1＝2n－1－，a2n＋1＝2n＋1－，a2n＝2n＋，a2n＋2＝2n＋2＋.于是a2n－1－a2n＋1＝－2－＋＝－2－<0，故a2n－1 答案　是
16．详见解析
【分析】
解法一：由题意结合所给的条件，利用正弦定理角化边，得到a,b的比例关系，根据比例关系，设出长度长度，由余弦定理得到false的长度，根据选择的条件进行分析判断和求解.
解法二：利用诱导公式和两角和的三角函数公式求得false的值，得到角false的值，然后根据选择的条件进行分析判断和求解.
【详解】
解法一：
由false可得：false，
不妨设false，
则：false，即false.
选择条件①的解析：
据此可得：false，false，此时false.
选择条件②的解析：
据此可得：false，
则：false，此时：false，则：false.
选择条件③的解析：
可得false，false，
与条件false矛盾，则问题中的三角形不存在.
解法二：∵false,
∴false,
false ，
∴false,∴false,∴false,∴false,
若选①，false,∵false,∴false,∴c=1;
若选②，false,则false,false;
若选③,与条件false矛盾.
【点睛】
在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．
17．（1）false；（2）false.
【分析】
（1）根据题意列出方程组，求出首项与公比，即可求出等比数列的通项公式即可；
（2）由an＝false化简bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，可得到bn的通项公式，求出false的通项公式，利用裂项相消法求和.
【详解】
（1）设数列{an}的公比为q,
由false＝9a2a6得false＝9false,
所以q2＝false.由条件可知q＞0,故q＝false.
由2a1＋3a2＝1得2a1＋3a1q＝1,所以a1＝false.
故数列{an}的通项公式为an＝false.
（2）bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an＝－（1＋2＋…＋n）＝－false.
故false.
false
所以数列false的前n项和为false
18．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）false；（Ⅲ）false.
【分析】
以false为原点，分别以false的方向为false轴，false轴，false轴的正方向建立空间直角坐标系.
（Ⅰ）计算出向量false和false的坐标，得出false，即可证明出false；
（Ⅱ）可知平面false的一个法向量为false，计算出平面false的一个法向量为false，利用空间向量法计算出二面角false的余弦值，利用同角三角函数的基本关系可求解结果；
（Ⅲ）利用空间向量法可求得直线false与平面false所成角的正弦值.
【详解】
依题意，以false为原点，分别以false、false、false的方向为false轴、false轴、false轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），
可得false、false、false、false、
false、false、false、false、false.
（Ⅰ）依题意，false，false，
从而false，所以false；
（Ⅱ）依题意，false是平面false的一个法向量，
false，false．
设false为平面false的法向量，
则false，即false，
不妨设false，可得false．
false，
false．
所以，二面角false的正弦值为false；
（Ⅲ）依题意，false．
由（Ⅱ）知false为平面false的一个法向量，于是false．
所以，直线false与平面false所成角的正弦值为false.
【点睛】
本题考查利用空间向量法证明线线垂直，求二面角和线面角的正弦值，考查推理能力与计算能力，属于中档题.