江苏省南京市南师大附属高中2020-2021学年高二下学期期中联考数学试题 Word版含答案

南师大附属高中2020-2021学年度第二学期高二年级期中联考
数 学 试 题

一．单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填写在答题卡相应位置上．)
若复数满足（其中是虚数单位），则 ( 　 )
A．　　　 B．　　　　 C．　　　 D．
若，则的值为(　　)
A．1　　　 B．3　　　 C.6　　 D.
“3+1+2”高考方案中，“3”是指统一高考的语文、数学、外语3门科目，其中外语可以从英语、日语、法语、西班牙语、德语、俄语中任选一门参加高考，“1”是指考生在物理、历史两门选择性考试科目中所选择的一门科目，“2”是指在思想政治、地理、化学、生物4门选择性科目中所选择的2门科目．则每一名学生参加高考的科目选择方法数共有(　　)种
A．72　　　 B．80　　　 C．12　　 D．84
设随机变量～，若，则(　　)
A．　　　 B．　　　　 C．　　　 D．
今天是星期四，经过天后是星期(　　)
A．三　　　 B．四　　　　 C．五　　　 D．六
函数在处取得极大值10，则的值为(　　)
A．　　　 B．　　　　 C．　　　 D．
已知某品牌的新能源汽车的使用年限（单位：年）与维护费用 (单位：千元)之间有如下数据：
使用年限单位：年） 2 4 5 6 8
维护费用(单位：千元) 3 4.5 6.5 7.5 9
与之间具有线性相关关系，且关于的线性回归方程为．据此估计，当使用年限为7年时，维护费用约为(　　)千元．
附：线性回归方程中的系数，
A．　　　 B．　　　　 C．　　　 D．
定义在上的函数的导函数为，若，则不等式的解集为(　　)
A．　　　B．　　　C. 　　　D．
二．多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填写在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有选错的得0分．)
下列命题中正确的有(　　)
A．若复数，则的虚部为； B．若为复数，则；
C. 若复数，则在复平面内对应的点在第四象限；
D．若复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹为直线．
已知的二项展开式中二项式系数之和为64，则下列结论正确的是(　　)
A．二项展开式中各项系数之和为；B．二项展开式中系数最大的项为；
C．二项展开式中无常数项； D．二项式展开式中二项式系数最大的项为第4项.　
近年来，中国进入一个鲜花消费的增长期．某农户利用精准扶贫政策，货款承包了一个新型温室鲜花大棚，种植红玫瑰和白玫瑰．若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销售量分别服从正态分布和，则下列正确的是(　　)
附：若随机变量服从正态分布，则
A．若红玫瑰的日销售量范围在的概率是，则红玫瑰的日销售量的平均数约为250；
B．白玫瑰的日销售量比红玫瑰的日销售更集中；
C．红玫瑰的日销售量比白玫瑰的日销售更集中；
D．白玫瑰的日销售量在范围内的概率约为．
已知函数．若过点可作曲线的三条切线，则的取值可能是(　　)
A.0 B. C. D.
三．填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．)
从标有1,2,3,4,5的五张卡片中，依次抽出2张，则在第一次抽到奇数的情况下，第二次抽到偶数的概率为________.
函数的单调增区间是　　　　　．
已知随机变量满足，其中．若，则________.
是集合的非空子集，则满足的有序集合对共有_____个.
四．解答题(本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．)
(本题满分10分)已知复数与在复平面上所对应的点关于轴对称，且（为虚数单位），．
(1)求的值；
(2)若的虚部大于零，且，求的值．
18.(本题满分12分) 2020年寒假是特殊的寒假，因为疫情全体学生只能在家进行网上在线学习，为了研究学生在网上学习的情况，某学校在网上随机抽取120名学生对线上教育进行调查，其中男生与女生的人数之比为11:13，其中男生30人对于线上教育满意，女生中有15名表示对线上教育不满意.
满意 不满意 总计
男生 30
女生
15
合计

120
(1)完成以上列联表，并通过计算（结果精确到0.001）说明，能否有99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”；
(2)从被调查中对线上教育满意的学生中，利用分层抽样抽取8名学生，再在8名学生
中抽取3名学生，作学习经验介绍，其中抽取男生的个数为.求出的分布列及期望值. 附公式及表，其中.
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
19．(本题满分12分) 已知函数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)当，求函数在区间上的最小值．
20. (本题满分12分) (1)证明：，；
(2)运用第(1)的结论，若．求展开式中的常数项．
21．(本题满分12分)2020年数学竞赛试行改革：某市在高二年级中举行五次联合竞赛，学生如果有两次成绩达到该市前20名即可直接进入省队培训，不用参加剩余的竞赛，且每名学生至少参加两次竞赛，最多也只能参加五次竞赛．规定：若前四次竞赛成绩均没有进入全市前20名，则不能参加第五次竞赛．假设某学生每次成绩达全市前20名的概率均为，每次竞赛成绩达全市前20名与否互相独立
(1)求该学生进入省队的概率；
(2)如果该学生进入省队或参加完五次竞赛就结束，记该学生参加竞赛的次数为，求的分布列及数学期望．
22. (本题满分12分)
已知函数.
(1)若的极值；
(2)若对任意的恒成立，求整数的最小值.
2020-2021学年度第二学期高二年级期中联考
数学试题答案
1. A 2.D 3.A 4.C 5.C 6.A 7.C 8.B
9.ACD 10.AD 11.ACD 12.CD
13. 14. 15. 16. 50
17.解：（1）
，即①
②
由①②得...................................5分
（2）由（1）得，
．.............. ........... .............10分
18.(1) 补充完整的2x2列联表如下：
满意 不满意 总计
男生 30 25 55
女生 50 15 65
合计 80 40 120
.......................2分
则
所以有99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”. ............................6分
(2)由(1)可知，男生抽3人，女生抽5人，的可能取值为0，1，2，3，并且服从超几何分布，
即
..........................10分
0 1 2 3
P



..........................11分
所以的数学期望....... ........ ...........12分
（注：列联表中错一个数据则第1小题全扣，没写约等于扣1分）
19.（1）当

所以.........................4分
（2）
因为，令，解得.................6分
10.若则在恒成立，所以在上单调递增,
所以.................7分
20. 若
所以..........................9分
30 若 则在恒成立，所以在上单调递减,
所以....... .....................11分
综上所述，10时，
20 时,
30 .................. ............12分
（注：没说明单调性直接写最值扣3分，综上所述也可以写成分段函数）
20. （1）...........4分
（2）由（1）知，所以，........................8分
因为
................................12分
21.解：
（1） 记“该生进入省队”为事件A，其对立事件为，
法一：
所以该生进入省队的概率为，
法二：
................ ...........4分
(注：未记事件A扣1分， 组合数公式用错而答案是对的全扣，如：

（2）该生参加竞赛次数的可能取值为2，3，4，5. ............... ...........5分
............... ...........6分
............... .........7分
............... ...........8分
............... ...........9分
2 3 4 5




..........................10分
所以的数学期望....... ........ ...........12分
22（1）当…………2分
当
当 …………3分
所以在时取得极大值，且极大值为，无极小值. …………4分
（2）因为对任意的恒成立，所以在恒成立
即在恒成立…………6分
设，…………8分
设
因为.
所以……………………9分
所以……………………11分
因为故整数的最小值为1. ………………12分
(没有说明函数的单调性的，扣3分)
【数学试题】第9页，共4页 祝你考试顺利