浙江省杭州市杭二高2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题 Word版含答案

2020学年杭二中高一下期中试卷数学试题
一、选择题：本题共8小，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1．复数false的虚部为（ ）
A．2 B．false C．false D．false
2．已知用斜二测画法画得的正方形的直观图的面积为false，那么原正方形的面积为（ ）
A．36 B．false C．72 D．false
3．false的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若false，则c等于（ ）
A．1 B．false C．false D．2
4．黄金比又称黄金律，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值约为1∶0.618，即长段为全段的0.618．0.618被公认为最具有审美意义的比例数字．宽与长的比为false的矩形叫作黄金矩形．它广泛的出现在艺术、建筑、人体和自然界中．在黄金矩形false中，false，false，那么false的值为（ ）
A．false B．false C．4 D．false
5．圆锥false的底面半径为r，体积为false时，该圆锥的母线与底面所成角的正弦值（ ）
A．false B．false C．false D．false
6．在false中，点D在直线false上，false，点E在直线false上，且false．若false，则false（ ）
A．0 B．false C．false D．false
7．三棱锥false中false平面false，false，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．false B．false C．false D．false
8．如图，平面false平面false，false与两平面false所成的角分别为false和false，过A，B分别作两平面交线的垂线，垂足为false，则false等于（ ）
A．2∶1 B．1∶2 C．false D.false
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．已知false是两个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，下列命题正确的是（ ）
A．若false，则false B．若false，则false
C．若false，则false D．若false，则false
10．已知i为虚数单位，以下四个说法中正确的是（ ）
A．false
B．false
C．若false，则复平面内false对应的点位于第四象限
D．已知复数Z满足false，则在复平面内对应的点的轨迹为直线
11．在false中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知false，下列结论正确的是（ ）
A．false B．false
C．若false，则false的面积是false D．若false，则false的外接圆半径是false
12．已知图1中的正三棱柱false的底面边长为2，体积为false，去掉其侧棱，再将上底面绕上下底面的中心所在的直线false逆时针旋转false后，添上侧棱，得到图2所示的几何体，则下列说法正确的是（ ）

A．false平面false
B．false
C．四边形false为正方形
D．正三棱柱false与几何体false的外接球体积相同
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知向量false、false为单位向量，false，若false，则false与false所成角的余弦值为________．
14．已知复数false（i为虚数单位）是关于x的方程false（p，q为实数）的一个根，则false_______．
15．《九章算术》把底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”，把底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”现有如图所示的“堑堵”false，其中false，当“阳马”四棱锥false体积为false时，则“堑堵”即三棱柱false的外接球的体积为________．
16．在棱长为1的正方体false中，M，N分别是false的中点，点P在正方体的表面上运动，则总能使false与false垂直的点P所构成的轨迹的周长等于_______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知复数false．
（1）计算false；
（2）求false．
18：．在复平面内，O是原点，false对应的复数分别为false，false，i是虚数单位设函数false．
（1）求函数false的解析式；
（2）若函数false在区间false上有2个零点，求实数m的取值范围．
19．false的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知false．
（1）求角C的大小；
（2）若false，求false的值．
20．已知四边形false，false，false，false．现将false沿false边折起使得平面false平面false，此时false．点P为线段false的中点．
（1）求证：false平面false；
（2）若M为false的中点，求false与平面false所成角的正弦值．
21．杭州市为迎接2022的亚运会，规划公路自行车比赛赛道，该赛道的平面示意图为如图的五边形false，运动员的公路自行车比赛中如出现故障，可以从本队的器材车、公共器材车上或收容车上获得帮助．比赛期间，修理或更换车轮或赛车等，也可在固定修车点上进行．还需要运送一些补给物品，例如食物、饮料、工具和配件．所以项目设计需要预留出false为赛道内的两条服务通道（不考虑宽度），false为赛道，false．
（1）从以下两个条件中任选一个条件，求服务通道false的长度；
①false；②false．
（2）在（1）的条件下，应该如何设计，才能使折线赛道false最长（即false最大），最长值为多少？
22．如图，已知三棱柱false，平面false平面false，false，E，F分别是false的中点．请你用几何法解决下列问题：
（1）证明：false；
（2）求直线false与平面false所成角的余弦值；
（3）求二面角false的正弦值．
2020学年杭二中高一下期中试卷试题
参考答案
1．A 2．C 3．D 4．C 5．A 6．B 7．C 8．A 9．ACD 10．AD 11．ACD 12．AD
13．false 14．0 15．false 16．false
17．（1）false
（2）false
18．（1）false．
（2）因为false在false上递增，在false上递减，且函数false在区间false上有2个零点，所以false．
因为false，所以false．
19．（1）因为false，所以false．
所以false，从而false，所以false．
（2）由正弦定理false，可得false（且false），所以false．
所以false．
20．（1）证明：因为false，所以false为正三角形，因为P为false的中点，所以false，
取false的中点E，连结false，则false，
因为平面false平面false，平面false平面false，所以false平面false，又false平面false，所以false，
又因为false，false，false，false平面false，所以false平面false，
因为false平面false，所以false，
又因为false，false，false平面false，所以false平面false；
（2）法一（几何法）
过点M作false①于H，由（1）false，所以false平面false，
又false平面false，所以false②，false③，
由①②③知，false平面false，所以false为false与平面false所成的角．
false中，false，
false中，false，
false中，false，
所以false，
故false与平面false所成角的正弦值为false．
法二（坐标系法）
由（1）可知false，取false的中点F，则false，即false两两垂直，
以E为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，
则false，
所以false，设平面false的法向量为false，
则false，即false，令false，则false，
故false，又false，
所以false，故false与平面false所成角的正弦值为false．
21．（1）解：选择①false，在false中，由正弦定理：false，
又false，所以false，
在false中，false；
选择②false，在false中，由正弦定理：false，
在false中，由余弦定理：false
即：false，解得false（负值舍去）
（2）解
在false中，由余弦定理：false，
false，
当false时取等号．故false时，折线赛道false最长，最长值为false．
22．解
（1）连接false，∵false，E是false的中点，∴Afalse，
又平面false平面false平面false，平面false平面false，
∴false平面false，∴false，
∵false，∴false，
∵false，∴false平面false，
∴false．
（2）取false中点G，连接false，则false是平行四边形．
由于false平面false，故false，
所以平行四边形false是矩形，
由（1）得false平面false，
则平面false平面false，
∴false在平面false上的射影在直线false上，
连接false，交false于O，则false是直线false与平面false所成角（或其补角），
不妨设false，则在false中，false，
因为O是false的中点，故false，
∴false．
所以直线false与平面false所成角的余弦值为false．
（3）作false于H，则false面false．
作false于K，连接false，则false为二面角false的平面角．
在false中，false，
所以false．
所以二面角false的正弦值为false．