专题16总体取值规律的估计和总体百分位数的估计（同步讲练测）-人教A版（2019）必修 第二册第九章 统计 9.2 用样本估计总体

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专题16总体取值规律的估计和总体百分位数的估计
知识点课前预习与精讲精析
核心知识点1：作频率分布直方图的步骤
(1)求极差：即一组数据中最大值和最小值的差．
(2)决定组距与组数：将数据分组时，组数应力求合适，以使数据的分布规律能较清楚地呈现出来．这时应注意：①一般样本容量越大，所分组数越多；②为方便起见，组距的选择应力求“取整”；③当样本容量不超过100时，按照数据的多少，通常分成5～12组．
(3)将数据分组：按组距将数据分组，分组时，各组均为左闭右开区间，最后一组是闭区间．
(4)列频率分布表.一般分四列：分组、频数累计、频数、频率，最后一行是合计．其中频数合计应是样本容量，频率合计是1.
(5)画频率分布直方图．画图时，应以横轴表示分组，纵轴表示频率/组距.其相应组距上的频率等于该组上的小长方形的面积．
即每个小长方形的面积＝组距×＝频率．
核心知识点2：频率分布折线图和总体密度曲线
(1)类似于频数分布折线图，连接频率分布直方图中各个小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图．
(2)在样本频率分布直方图中，当样本容量逐渐增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线．总体密度曲线反映了总体在各个范围内取值的百分比.
核心知识点3：百分位数
(1)如果将一组数据从小到大排序，并计算相应的累计百分位，则某一百分位所对应数据的值就称为这一百分位的百分位数．
一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，
它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值．
(2)第25百分位数又称第一四分位数或下四分位数；
第75百分位数又称第三四分位数或上四分位数．
核心知识点4：如何计算百分位数
下面的步骤来说明如何计算第p百分位数．
第1步：以递增顺序排列原始数据(即从小到大排列)．
第2步：计算
i＝np%.
第3步：①若
i
不是整数，将
i
向上取整．大于i的比邻整数即为第p百分位数的位置；
②若i是整数，则第p百分位数是第i项与第(i＋1)项数据的平均值．
1．总体的第p百分位数是一个百分数p∈（0，100），其特点是：总体数据中的任意一个数　　它的可能性是p%．
【解析】解：总体的第p百分位数是一个百分数p∈（0，100），
其特点是：总体数据中的任意一个数它的可能性是p%，
故答案为：小于或等于．
2．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]．若低于60分的人数是6人，则参加该英语测试的学生人数是　　．
【解析】解：∵成绩低于60分有第在频率分布直方图中，对应矩形的高分别为0.005，0.01，每组数据的组距为20，
则成绩低于60分的频率P＝（0.005+0.010）×20＝0.3，
∵低于60分的人数是6人，
∴参加该英语测试的学生人数是20．
故答案为：20．
3．为了解M离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：给100只小鼠服M离子溶液，每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同，经过一段时间后检测出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据得到如图频率分布直方图，则图中a＝　　；估计M离子残留百分比的平均数为　　．（同组中的每个数据用该组区间的中点值代替）
【解析】解：由题意得：（0.075+0.1+a+0.1+0.05+0.025）×2＝1，解得：a＝0.1500；
由（0.075×2+0.1×4+0.1501×6+0.1×8+0.05×10+0.025×12）×2＝6.1；
故答案为：0.1500，6.1．
4．已知200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，则a＝　　．
【解析】解：由频率分布直方图可知，0.01×10+0.03×10+a×10+0.02×10＝1，
所以a＝0.04．
故答案为：0.04．
5．“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间[0，10]内的一个数来表示，该数越接近10表示满意程度越高，现随机抽取6位小区居号，他们的幸福感指数分别为5，6，7，8，9，5，则这组数据的第80百分位数是（　　）
A．7
B．7.5
C．8
D．9
【解析】解：该组数据从小到大排列为：
5，5，6，7，8，9．
且6×80%＝4.8，
所以这组数据的第80百分位数是8．
故选：C．
典型题型与解题方法
必考必会题型1：频率分布直方图的画法
【典型例题】为了帮助班上的两名贫困生解决经济困难，班上的20名同学捐出了自己的零花钱，他们的捐款数（单位：元）如下：19，20，25，30，24，23，25，29，27，27，28，28，26，27，21，30，20，19，22，20．班主任老师准备将这组数据制成频率分布直方图，以表彰他们的爱心，制图时先计算最大值与最小值的差是　　，若取组距为2，则应分成　　组；若第一组的起点定为18.5，则在[26.5，28.5）内的频数为　　．
【解析】解：由题意知，极差为30﹣19＝11，
由于组距为2，5.5不是整数，所以取6组，
捐款数落在[26.5，28.5）内的有27，27，28，28，27，共5个，因此频数为5．
故答案为：11，6，5．
【题型强化】一组数据的频率分布直方图中，所有小长方形的面积总和为　　．
【解析】解：由频率分布直方图得：
一组数据的频率分布直方图中，所有小长方形的面积总和为1．
故答案为：1．
【收官验收】有140位选手参加高尔夫球赛，他们的成绩统计如表：
杆数
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
选手数
1
2
5
3
8
17
20
31
22
21
10
（1）列出频率分布表；
（2）画出频数条形图．
【解析】解：（1）由140位选手参加高尔夫球赛的成绩统计表列出频率分布表如下：
区间
频数
频率
[65，68）
8
[68，71）
28
[71，74）
73
[74，77）
31
合计
140
1
（2）画出的频数条形图如下：
必考必会题型2：频率分布直方图的应用
【典型例题】某班50名学生在一次百米跑测试中，成绩全部介于13s与19s之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于13s且小于14s；第二组，成绩大于等于14s且小于15s；…；第六组，成绩大于等于18s且小于等于19s，如图所示是按上述分组方法得到的频率分布直方图．设成绩小于17s的学生人数占全班总人数的百分比为x，成绩大于等于15s且小于17s的学生人数为y，则从频率分布直方图（如图所示）中分析出x和y分别为　　．
【解析】解：由频率分布直方图知：
x＝0.34+0.36+0.18+0.02＝0.9，
∵0.36+0.34＝0.7，
∴y＝35．
故答案为：0.9，35．
【题型强化】对某校高一年级随机抽取若干名学生进行体能测试，成绩记为1分，2分，3分，4分4个等级，将调查结果绘制成如图柱形图和扇形图．根据图中信息，这些学生成绩的平均数是　　．
【解析】解：参加体能测试的人数是12÷30%＝40，成绩为3分的人数是40×42.5%＝17，
成绩为2分的人数是40﹣3﹣17﹣12＝8，
所以这些学生成绩的平均数是2.95．
故答案为：2.95．
【收官验收】某校从高二年级学生中随机抽取60名学生，将期中考试的政治成绩（均为整数）分成六段：[40，50），[50，60），[60，70），…，[90，100]后得到如下频率分布直方图．
（1）根据频率分布直方图，分别求a，众数，中位数；
（2）估计该校高二年级学生期中考试政治成绩的平均数；
（3）用分层抽样的方法在各分数段的学生中抽取一个容量为20的样本，则在[70，90）分数段抽取的人数是多少？
【解析】解（1）由题意可得，（0.01+0.015×2+a+0.025+0.005）×10＝1，
解得a＝0.03，
根据频率分布直方图可知[70，80）分数段的频率最高，因此众数为75，
又由频率分布直方图可知[40，70）分数段的频率为0.1+0.15+0.15＝0.4，因为[70，80）分数段的频率为0.3，
所以，中位数为7010．
（2）估计该校高二年级学生政治成绩的平均数为：
（45×0.01+55×0.015+65×0.015+75×0.03+85×0.025+95×0.005）×10＝71．
（3）因为总体共60名学生，样本容量为20，
因此抽样比为．
又在[70，90）分数段共有60×（0.3+0.25）＝33（人），
因此，在[70，90）分数段抽取的人数是3311人．
必考必会题型3：百分位数的计算
【典型例题】高二（1）班7人宿舍中每个同学的身高分别为170，168，172，172，175，176，180，求这7人的第40的百分位数为（　　）
A．168
B．170
C．172
D．171
【解析】解：高二（1）班7人宿舍中每个同学的身高分别为170，168，172，172，175，176，180，
把这7人的身高从小到大排列为：168，170，172，172，175，176，180，
7×40%＝2.8，
∴第3个数据为这7人的第40百分位数，即这7人的第40百分位数为172．
故选：C．
【题型强化】某校从高一新生中随机抽取了一个容量为20的身高样本，数据从小到大排序如下（单位：cm）：
152，155，158，164，164，165，165，165，166，167，168，168，169，170，170，170，171，x，174，175．若样本数据的第90百分位数是173，则x的值为　　．
【解析】解：百分位数的意义就在于，我们可以了解的某一个样本在整个样本集合中所处的位置，本题第90百分位数是173，即比173小的数据占90%，
故答案为：172．
【收官验收】下列数据是30个不同国家中每100000名男性患某种疾病的死亡率：
27.0
23.9
41.6
33.1
40.6
18.8
13.7
28.9
13.2
14.5
27.0
34.8
28.9
3.2
50.1
5.6
8.7
15.2
7.1
5.2
16.5
13.8
19.2
11.2
15.7
10.0
5.6
1.5
33.8
9.2
这组数据的第40百分位数是　　．
【解析】解：把这30个数据按照从小到大排列如下，
1.5，3.2，5.2，5.6，5.6，7.1，8.7，9.2，10.0，11.2，
13.2，13.7，13.8，14.5，15.2，15.7，16.5，18.8，19.2，23.9，
27.0，27.0，28.9，28.9，33.1，33.8，34.8，40.6，41.6，50.1；
因为80%×30＝24，
所以第80百分位数是第24项与第25项数据的平均数，
即为（28.9+33.1）＝31．
故答案为：31．
必考必会题型4：百分位数的综合应用
【典型例题】已知从某中学高一年级随机抽取20名女生，测量她们的身高（单位：cm），把这20名同学的身高数据从小到大排序：
148.0
149.0
150.0
152.0
154.0
154.0
155.0
155.5
157.0
157.0
158.0
159.0
161.0
162.0163.0164.0
165.0
170.0
171.0
172.0
则这组数据的第75百分位数是（　　）
A．163.0
B．164.0
C．163.5
D．164.5
【解析】解：因为这组数据从小到大已排序，
所以这组数据的第75百分位数为第20×0.75＝15个数，即为163.0
故选：A．
【题型强化】样本容量为10的一组样本数据依次为：3，9，0，4，1，6，6，8，2，7，该组数据的第50百分位数是　　，第75百分位数是　　．
【解析】解：样本容量为10的一组样本数据依次为：3，9，0，4，1，6，6，8，2，7，
从小到大排列为：0，1，2，3，4，6，6，7，8，9，
∵10×50%＝5，
∴该组数据的第50百分位数是，
∵10×75%＝7.5，
第75百分位数是7．
故答案为：5，7．
【收官验收】某单位工会有500位会员，利用“健步行APP”开展全员参与的“健步走奖励”活动．假设通过简单随机抽样，获得了50位会员5月10日的走步数据如下：（单位：万步）
1.1
1.4
1.3
1.6
0.3
1.6
0.9
1.4
1.4
0.9
1.4
1.2
1.5
1.6
0.9
1.2
1.2
0.5
0.8
1.0
1.4
0.6
1.0
1.1
0.6
0.8
0.9
0.8
1.1
0.4
0.8
1.4
1.6
1.2
1.0
0.6
1.5
1.6
0.90.7
1.3
1.1
0.8
1.0
1.2
0.6
0.5
0.2
0.8
1.4
频率分布表：
分组
频数
频率
[0.2，0.4）
2
0.04
[0.4，0.6）
a
0.06
[0.6，0.8）
5
0.10
[0.8，1.0）
11
0.22
[1.0，1.2）
8
0.16
[1.2，1.4）
7
0.14
[1.4，1.6]
b
c
合计
50
1.00
（Ⅰ）写出a，b，c的值；
（Ⅱ）（i）绘制频率分布直方图；
（ⅱ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计该单位所有会员当日步数的平均值；
（Ⅲ）根据以上50个样本数据，估计这组数据的第70百分位数．你认为如果定1.3万步为健步走获奖标准，一定能保证该单位至少30%的工会会员当日走步获得奖励吗？说明理由．
【解析】解：（Ⅰ）因为0.04+0.06+0.10+0.22+0.16+0.14+c＝1，
∴c+0.72＝1，
∴c＝0.28，
因为共50
人，
∴b＝0.28×50＝14，
a＝0.06×50＝3，
∴a＝3，b＝14，c＝0.28．
（Ⅱ）（i）频率分布直方图如下图所示
（ii）设平均值为，则有
＝0.012+0.03+0.08+0.198+0.176+0.182+0.42
＝1.088，
则该单位所有会员当日步数的平均值为1.088万步．
（Ⅲ）∵70%×50＝35，
∴70%分位数为第35和36个数的平均数，
∵[1.4，1.6]共有14人，且1.3有2个，
第35和第36个数均为1.3，
∴70%
分位数为1.3，
设x为会员步数，则x?1.3万时，人数不少于30%，
能保证30%的工会会员获得奖励．
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精品试卷·第
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