湖南师大附中2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题 Word版含答案解析

湖南师大附中2020—2021学年度高一第二学期期中考试
数学
时量：120分钟 满分：150分
得分：_________
一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设false，则false（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
2．下列说法正确的是（ ）
A．任意三点确定一个平面
B．两个不重合的平面false和false有不同在一条直线上的三个交点
C．梯形一定是平面图形
D．一条直线和一个点确定一个平面
3．在边长为3的等边三角形false中，false，则false（ ）
A．false B．false C．false D．false
4．一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，此直观图恰好是一个边长为1的正方形（如下图所示），则原平面图形的周长为（ ）
A．8 B．false C．4 D．false
5．已知false，若false且false，则false（ ）
A．5 B．4 C．2 D．1
6．某正方体的平面展开图如下图所示，则在这个正方体中（ ）
A．false与false相交 B．false与false平行 C．false与false平行 D．false与false异面
7．如图所示，false是附中校园内一标志性雕像，小明同学为了估算该雕像的高度，在学校教学楼false，高为false，与雕像之间的地面上的点M处（B，M，D三点共线）测得楼顶A及雕像顶C的仰角分别是false和false，在楼顶A处又测得雕塑顶C的仰角为false，假设false、false和点M在同一平面内，则小明估算该雕像的高度为（ ）
A．false B．false C．false D．false
8．《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”，四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”，如图在堑堵false中，false，且false．下列说法错误的是（ ）
A．四棱锥false为“阳马”
B．四面体false为“鳖臑”
C．四棱锥false体积最大为false
D．过A点分别作false于点E，false于点F，则false
二、多选题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．对任意平面向量false，下列命题中真命题是（ ）
A．若false，则false B．若false，则false
C．false D．false
10，已知a，b表示直线，false表示平面，则下列推理不正确的是（ ）
A．false B．false，且false
C．false D．false
11．在false中，内角A，B、C所对的边分别为a、b、c，false的面积为S，下列与false有关的结论，正确的是（ ）
A．若false为锐角三角形，则false
B．若false，则false
C．若false，则false一定是等腰三角形
D．若false为非直角三角形，则false
12．如图，直角三角形false中，P是斜边false上一点，且满足false，点M、N在过点P的直线上，若false，则下列结论正确的是（ ）
A．false为常数 B．false的最小值为3
C．false的最小值为false D．m、n的值可以为：false
三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．
13．若一个圆锥的侧面展开图是圆心角为false，半径为1的扇形，则这个圆锥的表面积与侧面积的比是________．
14．如图，正方体false中，与false异面且与false所成角为false的面对角共有_______条．
15．在false中，a、b、c分别为角A，B，C的对边，已知false，false，且false，则false的值等于___________．
16．如图，在false中，false，分别取三边的中点D、E，F，将false、false、false分别沿三条中位线折起，使得A、B、C重合于点P，则当三棱锥false的外接球的体积最小时，其外接球的半径为___________，三棱锥false的体积为__________．（第一空3分，第二空2分）
四、解答题：本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
已知复数false是实数．
（1）求复数z；
（2）若复数false是关于x的方程false的根，求实数b和c的值．
18．（本小题满分12分）
在如图所示的平面直角坐标系中，已知点false和点false，且false，其中O为坐标原点．
（1）若false，设点D为线段false上的动点，求false的最小值；
（2）若false，向量false，求false的最小值及对应的false值．
19．（本小题满分12分）
在①false，②false，③false，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解决该问题．
已知锐角false中，a、b、c分别为内角A，B、C的对边，false，_________．
（1）求角C；
（2）求false的取值范围．
（注意：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）．
20．（本小题满分12分）
如图所示，在四棱锥false中，false，false，false平面false，false，设M、N分别为false、false的中点．
（1）求证：平面false平面false；
（2）求三棱锥false的侧面积．
21．（本小题满分12分）
党的十九大报告指出，农业农村农民问题是关系国计民生的根本性问题，必须始终把解决好“三农”问题作为全党工作的重中之重，实施乡村振兴战略．如图，A村、B村分别位于某河流的南、北两岸，false公里，false，现需将A村的农产品运往B村加工．乡政府经过调研知，在每次运输农产品总量相同的条件下，公路运输价格为a元/公里，水路运输价格为false元/公里．
（1）给出两种运输方案：第一种，直接从A村通过水路运输到B村；第二种，先从A村通过公路运输到与B村相对的南岸近岸处C，再通过水路运输到B村．试比较两种方案，哪种方案更优？
（2）为尽可能节约成本，乡政府决定在该河流南岸false上选择一个中转站D，先将A村的农产品通过公路运往中转站D，再将农产品通过水路运往B村加工．试问：中转站应选址何处最佳？请说明你的理由．
22．（本小题满分12分）
已知false的外心为O，内心为Ⅰ．
（1）如图1，若false．
①试用false表示false；
②求false的值．
（2）如图2，若存在实数false，使false，试求false的值．
湖南师大附中2020—2021学年度高一第二学期期中考试
数学参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
C
C
A
C
B
D
C
BD
ABC
ABD
ABD
1．B 【解析】因为false，所以false，解得false，
所以false，故选B．
2．C 【解析】A选项，不共线的三点确定一个平面，A错；
B选项，两个平面有公共点，则有一条过该公共点的公共直线，如没有公共点，则两平面平行，B错；
D选项，一条直线和直线外的一点可以确定一个平面，D错；
C选项，两条平行直线，确定一个平面，梯形中有一组对边平行，C对，故选C．
3．C 【解析】false，故选C．
4．A 【解析】直观图中，false，由此画出直观图对应的原图如下图所示，其中false，所以false，所以原平面图形的周长为false，故选A．
5．C 【解析】由false及false，∴falsefalse，∴false．故选C．
6．B 【解析】根据题意得其立体图形如图所示：
A选项，false与false是异面直线，故不相交；
B选项，false与false平行，故正确；
C选项，false与false位于两个平行平面内，故不正确；
D选项，false与false是相交的．故答案为B．
7．D 【解析】在false中，false；在false中，由正弦定理得false，false；在false中，false．故选D．
8．C 【解析】底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”．
所以在堑堵false中，false，侧棱false平面false．
在选项A中．所以false，又false，且false，则false平面false．
所以四棱锥false为“阳马”，故A正确．
在选项B中．由false，即false，又false且false，所以false平面false．所以false，则false为直角三角形．又由false平面false，得false为直角三角形．由“堑堵”的定义可得false为直角三角形，false为直角三角形．所以四面体false为“鳖臑”，故B正确．
在选项C中．在底面有false，即false，当且仅当false时取等号．false，所以C不正确．
在选项D中．由上面有false平面false，则false且false，则false平面false，所以false且false，则false平面false，则false，所以D正确．故选：C．
二、多选题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．BD 【解析】若false，则false，反例false，则false与false具有任意性，所以A不正确；
若false，则false，向量相等具有传递性，所以B正确；
false，如果false，则不等式不成立，所以C不正确；
false，所以D正确．故选BD．
10．ABC 【解析】A．因为false，则a，b平行或相交，故错误；
B．因为false，则false或false或false，故错误；
C．因为false，则false平行或相交，故错误；
D．因为false，由面面平行的性质定理得false，故正确；
故选：ABC．
11．ABD 【解析】对于A中，若false为锐角三角形，可得false且false，
可得false，且false，根据正弦函数的单调性，可得false，所以false，
所以A正确；
对于B中，在false中，由false知false，根据正弦定理可得false，所以B正确；
对于C中，由正弦定理知false，可得false，故false或false，false是等腰三角形或直角三角形，所以C不正确；
对于D中，在false中，可得false，则false，所以false，即false，可得false，
则false，所以D正确．故选：ABD．
12．ABD 【解析】由false得false
∴false，若false，false，
∴false，∵M、P、N三点共线，∴false，
∴false．当false，D选项正确；
false，当且仅当false时等号成立，B选项正确；
false，当且仅当false时等号成立，C选项错误．故选ABD．
三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．
13．false 【解析】设圆锥的底面半径为r，则底面周长为false，故展开后的扇形弧长为false，又扇形的圆心角为false，半径为1，故false，所以圆锥的侧面积为false．表面积为false，故表面积与侧面积的比是false．
14．1 【解析】false与面对角线false异面，所成的角是false，由于false，又false，
以false，而false与正方体其它异面的面对角线都不垂直，
所以与false异面且与false所成角为false的面对角线共有1条，故填：1．
15．false 【解析】∵false，
整理可得：false，
可得false．
∵A为三角形内角，false，∴false．
∴false，解得false，
由余弦定理得false，
解得false．
16．false 【解析】由题意得三棱锥false的对棱分别相等，设false，则false，
将三棱锥false补充成长方体，则对角线长分别为false，
三棱锥false的外接球即为长方体的外接球．设长方体的长宽高分别为x、y、z，
则false，所以false，
则外接球半径false，
当false时，半径最小，此时三棱锥false的外接球的体积最小，此时false，
解得false，
所以三棱锥false．
故答案为：false．
四、解答题：本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．【解析】（1）因为false，
可得false，
又由false是实数，可得false，解得false，所以false． 5分
（2）因为false是方程false的根，
所以false，即false，
可得false，解得false． 10分
18．【解析】（1）设false由题意，false，则false， 2分
所以false，所以false， 4分
所以当false时，false最小，最小值为false． 5分
（2）由题意得false，则false 7分
false， 9分
因为false，所以false， 10分
所以当false，即false时，false取得最大值1，此时false取得最小值false．所以false的最小值为false，此时false． 12分
19．【解析】（1）选条件①：false，
由false及正弦定理得
false， 2分
即false，所以false， 4分
因为C为锐角，所以false． 5分
（1）选条件②：由false及正弦定理，
得false， 2分
即false，
∴false． 4分
∵false，∴false，可得false，∵false，∴false． 5分
（1）选条件③，false．
由false及正弦定理得false， 2分
即false，
由余弦定理得false， 4分
∵false，∴false． 5分
（2）又∵false是锐角三角形，∴false解得false， 6分
由正弦定理得false，
∴falsefalse， 9分
∵false，∴false，∴false， 11分
∴false． 12分
20．【解析】（1）∵M、N分别为false、false的中点，∴false，
又false平面false平面false，∴false平面false， 2分
在false中，false，∴false，
又false，∴false，
∵false平面false平面false，∴false平面false． 4分
又false，平面false平面false． 5分
（2）∵false平面false，false平面false，false平面false，
由（1）可知false，∴false， 6分
∵false，
∴false，
由（1）可知false，
在false中，false， 8分
∴false， 9分
又false， 10分
在false中，false，∴false边上的高false，
∴false， 11分
∴三棱锥false的侧面积false． 12分
21．【解析】（1）由于false10公里，false公里．
第一种运输方案所需费用为false元； 2分
第二种运输方案所需费用为false元； 4分
可得false，
故第二种方案比第一种方案更优． 5分
（2）令false，则false公里，false公里，
false公里， 8分
于是，所需总费用为false， 10分
令false，则false，
所以false，又false，则false，
当false时，false公里，
即当中转站选址在南岸位于A东边false公里的D处是最佳的． 12分
22．【解析】（1）由已知得O为false中点，且A，I，O三点共线，
①false； 2分
②由于false，false内切圆半径false，
false，
故false． 5分
（2）如图3，设false的外接圆半径、内切圆半径分别为R，r，记false中点为M，false于D．
由false知false，又
则false，
false，
则false，
即false． 9分
以下用两种方式变形上式：
方法1：上式即false
false
false
false
false
false，
即false． 12分
方法2：利用积化和差有false，
则false． 12分