安徽省江南五校2020-2021学年高一下学期5月阶段性大联考（期中考试）数学试题 Word版含答案解析

2020~2021学年“江南五校”高一阶段性大联考（期中）
数 学
本试卷共4页，全卷满分150分，考试时间120分钟。考生注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.false
A.false B.false C.false D.false
2.如图，设false是正六边形false的中心，则与false不相等的向量为
A.false B.false C.false D.false
3.设向量false，false，且false，则false
A.false B.false C.false D.1
4.以下命题正确的是
A.过空间三点有且仅有一个平面 B.平行于同一直线的两个平面互相平行
C.平行于同一直线的两条直线互相平行 D.分别在两个平行平面内的两条直线互相平行
5.在false中，若false，false，false，则false
A.false B.false C.false D.false
6.已知向量false，false为非零向量，有以下四个命题：
甲：false 乙：false 丙：false与false的方向相反 丁：false
若以上关于向量false，false的判断的命题只有一个是错误的，则该命题是
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
7.已知向量false，false的夹角为false，false，false，则false
A.1 B.2 C.3 D.4
8.复数false，则false的最大值为
A.1 B.2 C.3 D.4
9.长，宽，高分别为6cm，8cm，10cm的长方体水槽置于水平桌面上，该水槽内装在高度为8cm的水，若将一半径为3cm的球放入该水槽中（假设球与水槽的底面相切，以水槽内溢出的水的体积约为（false）
A.16false B.12false C.10false D.2false
10.已知false，false，false三点均在球false的表面上，false，且球心false到平面false的距离为2，则球false的内接正方体的棱长为
A.1 B.false C.2 D.false
11.已知false是边长为2的等边三角形，false，false分别false、false的两点，false，false，false与false交于点false，则下列说法不正确的是
A.false B.false
C.false D.false在false方向上的投影为1
12.已知正方形false的边长为1，false，false分别为false，false的中点，沿false将三角形false折起到false的位置，则三棱锥false体积的最大值
A.false B.false C.false D.false
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若复数false是纯虚数，则实数false___________.
14.目前，中国已经建成全球最大的5G网络，无论是大山深处还是广袤平原，处外都能见到5G基站的身影.如图，某同学正西方向山顶上的一座5G基站false，已知基站高false，该同学眼高1.5m（眼睛到地面的距离）.该同学在初始位置false处（眼睛所在位置）测得基站顶端false的仰角为false，该同学向南走false米后到达false处，此时没得基站顶端false的仰角为false，则山高false___________米.
l5.已知一圆锥侧面展开图是一半径为2的半圆，则该圆锥的表面积为___________.
l6.如图，在平行四边形false中，false，false为false的中点，false为线段false上一点，且满足false，则false___________；若false的面积为false，则false的最小值为___________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（10分）
已知复数false的共轭复数为false，且满足false.
（1）求false；
（2）若复数false在复平面内对应的点在第二象限，求实数false的取值范围.
18.（12分）
已知向量false，false，false.
（1）若false，求角false的值；
（2）判断三角形false可否为直角三角形，并说明理由.
19.（12分）
如图，在正四棱锥false中，false.
（1）求正四棱锥false的体积；
（2）若false为三角形false的重心，在边false上是否存在点false，使得false平面false，若存在，求false的值，若不存在，请说明理由；
20.（12分）
从以下三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求false的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.
①false，②false，③false.
问题：在false中，角false，false，false所对的边分别为false，false，false.已知false，false，__________.
注；如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
21.（12分）
如图，在边长为2的正方体false中，点false为false的中点，false为false的中点.
（1）证明：false平面false；
（2）若false为侧面false内一点，且false平面false，求false的最小值.
22.（12分）
如图，四边形false中，已知对角线false，且满足false，false.
（1）求证：false；
（2）若false为锐角三角形，设四边形false面积为false，求证：false.
2020-2021学年“江南五校”高一阶段性大联考
数学参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
D
C
C
D
A
B
C
B
D
D
D
1.【解析】false.
2.【解析】由题意知，A，B，C均正确.
3.【解析】false，因为false，所以false，得false.
4.【解析】由立体几何的有关判定，可得C正确，其余均错误.
5.【解析】由余弦定理可得false，得false，所以false，false.
6.【解析】由题意知，甲与乙肯定有一个不正确，若甲正确，则丙不正确，乙丙丁可以同时正确，故甲不正确.
7.【解析】由题意知false，所以false.
8.【解析】已知false，所以
false，当false时，false的最大值为3.
9【.解析】该长方体的体积为false，放入的球的体积false，原先正方体内水的体积为false，正方体内剩余的水量为false，所以溢出的水量为false.
10.【解析】设该球的半径为false，可得false，所以false，设内接正方体的棱长为false，所以false，所以false.
11.【解析】取false中点为false，连接false，false为false中点，false，所以false，A正确；所以false，且false，得false，所以false，即false为false中点，false，false，因为false，所以false，C正确；可以计算false在false方向上的投影为false，D不正确.
12.【解析】因为三棱锥false体积false，且三角形false的面积为定值falsefalse，所以当false到平面false距离最大时，三棱锥false的体积取得最大值，所以当平面false平面false时，三棱锥false的体积最大，可求得当平面false平面false时，false到平面false距离为false，所以false.
13.【答案】1
【解析】false，所以false，得false
14.【答案】101.5
【解析】设false，则false，false，所以在直角三角形false中，false，所以得false，得false，所以山高等于false米．
15.【答案】false
【解析】由题意可知，半圆的弧长为false，设该圆锥的底面半径为false，则false，得false，所以该圆锥的表面积为false.
16.【答案】false，false
【解析】false，所以
false，得到false，false，所以false，false的面积为false，得到false，得到false，所以
false.
17.【解析】（1）因为false，
所以false，
所以false；
（2）false，
因为复数false在复平面内对应的点在第二象限，
所以false，
得false，所以false的取值范围为false.
18.【解析】（1）已知false，false，
所以false，
因为false，所以false，得false，false，
又因为false，所以false；
（2）若false为直角，则false，得false，
即false，false，无解；
若false为直角，则false，得false，
即false，false，无解；
若false为直角，则false，得false，
即false，false，
因为false，false，false，
故必存在一个false值，使得三角形false为直角三角形.
19.【解析】（1）由false，可得false，
因为false为正四棱锥，所以false，
因为false，所以false，
所以false，所以该正四棱锥的高为false，
所以正四棱锥false的体积false；
（2）存在这样的点false，使得false平面false，
如图，连接false延长交false于点false，连接false，
因为false平面false，所以false，
因为false为三角形false的重心，所以false.
所以false；所以false.
20．【解析】因为false，所以false，
由正弦定理得false，
又因为false，
所以false，
所以false，
所以false，
又因为false，所以false，所以false，
得false；
若选择①false，得false，
由余弦定理false，得false，
得false，
所以false；
若选择②因为false，所以false，得false，
又由余弦定理false，可得 false，
得false，
从而得false或false.
若选择③因为false，且false，
所以false，即false，
因为false，所以false，
false，false，这与三角形的内角和等于false相矛盾，所以这样的三角形不存在.
21.【解析】（1）如图，取false为false，连接false，false，
因为false为false的中点，false为false中点，
所以false，且false，所以false，且false，
所以四边形false为平行四边形，
所以false，
false平面false，false平面false，
所以false平面false；
（2）如图，取false中点false，连接false，false，
由第（1）问知，false，
在正方形false中，false为false中点，false为false中点，
所以false，
因为false，所以平面false平面false，
所以点false必在线段false上，所以false的最小值即为点false到线段false的距离，
在三角形false中，false，false，所以点false到false的距离false，
所以false的最小值为false.
22.【解析】（1）略
（2）设false，所以false，所以false，
在三角形false中，false，且false，所以false，
设false的面积为false，
false
false，
因为false为锐角三角形，所以false，所以false，得false，
因为false为增函数，false，
设false的面积为false，因为false，false，所以由余弦定理得
false
得false，
所以false，所以false.