2020-2021学年八年级数学北师大版下册 第4章因式分解 单元练习（Word版 含答案）

第4章因式分解
一、选择题
1．下列各式中能用完全平方公式法分解因式的是（　　）
A．4x2+4x+4
B．﹣x2+4x+4
C．x4﹣4x2+4
D．﹣x2﹣4
2.若关于x的二次三项式x2-kx-b因式分解的结果为(x-1)(x-3),则k+b的值为
(　　)
A.-1
B.1
C.-7
D.7
3．多项式8a3b2+12a3bc﹣4a2b中，各项的公因式是（　　）
A．a2b
B．﹣4a2b2
C．4a2b
D．﹣a2b
4．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　）
A．x2+2x+3＝（x+1）2+2
B．（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2
C．x2+6xy+9y2＝（x+3y）2
D．2x+2y+1＝2（x+y+1）
5．已知a＝2b﹣5，则代数式a2﹣4ab+4b2﹣5的值是（　　）
A．﹣30
B．20
C．﹣10
D．0
6.下列各式能够用完全平方公式因式分解的是
(　　)
A.4x2+1
B.4x2+4x+1
C.4x2+4x-1
D.4x2-4x-1
7．若4x2﹣（k+1）x+9能用完全平方公式因式分解，则k的值为（　　）
A．±6
B．±12
C．﹣13或11
D．13或﹣11
8．如图在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b）．把余下的部分剪拼成一个长方形，通过计算阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是（　　）
A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
B．a2﹣ab＝a（a﹣b）
C．a2﹣b2＝（a﹣b）2
D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
9.现要在多项式x2+□x-6的“□”中填上一个整数,使多项式能按照x2+(a+b)x+ab型分解为(x+a)(x+b)的形式.那么这个整数可以是
(　　)
A.1,-1
B.5,-5
C.1,-1,5,-5
D.以上都不正确
二、填空题
10．若a2+2ab+b2﹣c2＝10，a+b+c＝5，则a+b﹣c的值是　
　．
11．将多项式因式分解x3﹣9x＝　
　．
12.有下列各组代数式:①5a-5b和5a+5b;②ax+y和x+ay;③a3+2a2b+ab2和a2+ab;④x2-4y2和2xy+y2.其中没有公因式的是　　　　(只填序号).?
13．设a﹣b＝2+，b﹣c＝2﹣，则2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc＝　
　．
14．计算：20203﹣2019×2020×2021＝　
　．
15.在完成因式分解的练习时,小明不小心将一道题4x3弄上了污渍,他只记得将这个多项式因式分解时应先提公因式,再用平方差公式分解,请你帮小明想一想,老师布置的原题可能是　　　　　,因式分解的结果是　　　　　　　　　　　.(填一个合适的即可)?
16．若a﹣b＝﹣2，则a2﹣ab+2b＝　
　．
17．计算：53.52×4﹣46.52×4＝　
　．
18．分解因式：（2a﹣b）2﹣2a+b＝　
　．
19．
已知a，b，c是△ABC的三条边的长度，且满足a2﹣b2＝c（a﹣b），则△ABC一定是　
　三角形．
三、解答题
20.用简便方法计算:
(1)-23.7×+×1.3-2.6×;
(2)2020+20202-20212.
21.已知a,b,c是△ABC的三边长.
(1)分别将多项式a2c2-b2c2,a4-b4进行因式分解;
(2)若a2c2-b2c2=a4-b4,试判断△ABC的形状,并说明理由.
22．因式分解：
（1）；
（2）4（x﹣y）2﹣25（x+y）2．
23．a、b、c是△ABC的三边，且有a2+b2＝4a+10b﹣29．
（1）求a、b的值．
（2）若c为整数，求c的值．
（3）若△ABC是等腰三角形，求这个三角形的周长．
24.阅读下列材料:
提公因式法、公式法是初中阶段最常用的因式分解的方法,但有些多项式只单纯用上述方法无法分解,如x2-2xy+y2-16,我们细心观察这个式子就会发现,前三项符合完全平方公式,进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解,过程如下:
x2-2xy+y2-16=(x-y)2-16=(x-y+4)(x-y-4).
这种因式分解的方法叫“分组分解法”.
利用这种分组的思想方法解决下列问题:
(1)因式分解:x2-9y2-2x+6y;
(2)因式分解:x4-3x2y2+2y4;
(3)请比较多项式2x2-5xy+3y2-4y+4与x2-xy-2y2-2y-1的大小,并说明理由.
25．我们知道形如x2+（a+b）x+ab的二次三项式可以分解因式为（x+a）（x+b），
所以x2+6x﹣7＝x2+[7+（﹣1）]x+7×（﹣1）＝（x+7）[x+（﹣1）]＝（x+7）（x﹣1）．
但小白在学习中发现，对于x2+6x﹣7还可以使用以下方法分解因式．
x2+6x﹣7＝x2+6x+9﹣7﹣9＝（x+3）2﹣16＝（x+3）2﹣42
＝（x+3+4）（x+3﹣4）＝（x+7）（x﹣1）．
这种在二次三项式x2+6x﹣7中先加上9，使它与x2+6x的和成为一个完全平方式，再减去9，整个式子的值不变，从而可以进一步使用平方差公式继续分解因式了．
（1）请使用小白发现的方法把x2﹣8x+7分解因式；
（2）填空：x2﹣10xy+9y2＝x2﹣10xy+　
　+9y2﹣　
　＝（x﹣5y）2﹣16y2
＝（x﹣5y）2﹣（　
　）2＝[（x﹣5y）+　
　][（x﹣5y）﹣　
　]
＝（x﹣y）（x﹣　
　）；
（3）请用两种不同方法分解因式x2+12mx﹣13m2．
26．在当今“互联网+”时代，有一种用“因式分解法”生成密码的方法：将一个多项式因式分解，如将多项式x3﹣x分解结果为x（x+1）（x﹣1）．当x＝20时，x﹣1＝19，x+1＝21，此时可得到数字密码201921，或者是192021．
（1）根据上述方法，当x＝16，y＝4时，对于多项式x3﹣xy2分解因式后可以形成哪些数字密码（写出两个即可）？
（2）将多项式x3+（m﹣n）x2+nx因式分解后，利用题目中所示的方法，当x＝10时可以得到密码101213，求m，n的值．
27．阅读下列材料：
已知a2+a﹣3＝0，求a2（a+4）的值．
解：∵a2＝3﹣a
∴a2（a+4）＝（3﹣a）（a+4）＝3a+12﹣a2﹣4a＝﹣a2﹣a+12＝﹣（3﹣a）﹣a+12＝9
∴a2（a+4）＝9
根据上述材料的做法，完成下列各小题：
（1）若a2﹣a﹣10＝0，则2（a+4）（a﹣5）的值为　
　．
（2）若x2+4x﹣1＝0，求代数式2x4+8x3﹣4x2﹣8x+1的值．
答案
一、选择题
1．
C
2.
B　
3．
C
4．
C
5．
B
6.
B　
7．
C
8．
D
9.
C
二、填空题
10．
2．
11．
x（x+3）（x﹣3）．
12.
②④　
13．
30．
14．
2020．
15.
答案不唯一,如:4x3-9x　x(2x+3)(2x-3)
16．
4．
17．
2800．
18．
（2a﹣b）（2a﹣b﹣1）．
19．
等腰．
三、解答题
20.
解:(1)原式=×(-23.7+1.3-2.6)=×(-25)=-20.
(2)原式=2020-(2021+2020)×(2021-2020)=2020-2021-2020=-2021.
21.
解:(1)a2c2-b2c2=c2(a2-b2)=c2(a+b)(a-b).
a4-b4=(a2-b2)(a2+b2)=(a-b)(a+b)(a2+b2).
(2)△ABC是等腰三角形或直角三角形.
理由:∵a2c2-b2c2=a4-b4,
∴c2(a+b)(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2),
∴c2(a+b)(a-b)-(a-b)(a+b)(a2+b2)=0,
∴(a+b)(a-b)(c2-a2-b2)=0.
∵a,b,c是△ABC的三边长,
∴a-b=0或c2-a2-b2=0,
∴a=b或c2=a2+b2,
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形.
22．
解：（1）原式＝＝；
（2）原式＝[2（x﹣y）+5（x+y）][2（x﹣y）﹣5（x+y）]＝（7x+3y）（﹣3x﹣7y）．
23．
（1）∵a2+b2＝4a+10b﹣29，
∴a2+b2﹣4a﹣10b+29＝0．
∴a2﹣4a+4+b2﹣10b+25＝0．
∴（a﹣2）2+（b﹣5）2＝0．
∴a﹣2＝0，b﹣5＝0．
解得a＝2，b＝5．
（2）∵a＝2，b＝5，根据三角形三边关系，
∴3＜c＜7．
∵c为整数，
∴c的值为4，5，6．
（2）当△ABC是等腰三角形时，a＝2，b＝c＝5，此时，该三角形的周长为2+5+5＝12．
24.
解:(1)原式=(x+3y)(x-3y)-2(x-3y)
=(x-3y)(x+3y-2).
(2)原式=x4-x2y2-2x2y2+2y4
=x2(x2-y2)-2y2(x2-y2)
=(x2-y2)(x2-2y2)
=(x+y)(x-y)(x2-2y2).
(3)2x2-5xy+3y2-4y+4>x2-xy-2y2-2y-1.理由如下:
∵(2x2-5xy+3y2-4y+4)-(x2-xy-2y2-2y-1)
=2x2-5xy+3y2-4y+4-x2+xy+2y2+2y+1
=x2-4xy+5y2-2y+5
=x2-4xy+4y2+y2-2y+1+4
=(x-2y)2+(y-1)2+4>0,
∴2x2-5xy+3y2-4y+4>x2-xy-2y2-2y-1.
25．
解：（1）x2﹣8x+7＝x2﹣8x+16+7﹣16＝（x﹣4）2﹣9＝（x﹣4）2﹣32
＝（x﹣4+3）（x﹣4﹣3）＝（x﹣1）（x﹣7）；
（2）x2﹣10xy+9y2＝x2﹣10xy+25y2+9y2﹣25y2＝（x﹣5y）2﹣16y2
＝（x﹣5y）2﹣（4y）2＝[（x﹣5y）+4y][（x﹣5y）﹣4y]＝（x﹣y）（x﹣9y）；
故答案为：25y2，25y2，4y，4y，4y，9y；
（3）方法1：原式＝x2+[13m+（﹣m）]x+13m?（﹣m）＝（x+13m）（x﹣m）；
方法二：原式＝x2+12mx+36m2﹣13m2﹣36m2
＝（x+6m）2﹣49m2＝（x+6m+7m）（x+6m﹣7m）＝（x+13m）（x﹣m）．
26．
解（1）：x3﹣xy2＝x（x﹣y）（x+y）
当x＝16，y＝4时，x﹣y＝12，x+y＝20，
∴得到的数字密码为161220或162012；
故答案为：161220或162012；
（2）当x＝10时，密码为101213，且x3的系数为1，
∴由（1）知x+2＝12，x+3＝13，
x3+（m﹣n）x2+nx＝x（x+2）（x+3）＝x3+5x2+6x，
∴m﹣n＝5，n＝6，
即：m＝11，n＝6；
故答案为：m＝11，n＝6；
27．
解：（1）∵a2﹣a﹣10＝0，
∴a2＝a+10，
∴2（a+4）（a﹣5）＝2（a2﹣a﹣20）＝2（a+10﹣a﹣20）＝2×（﹣10）＝﹣20，
故答案为：﹣20．
（2）∵x2+4x﹣1＝0，
∴x2＝1﹣4x，
∴2x4+8x3﹣4x2﹣8x+1＝2x2（x2+4x﹣2）﹣8x+1＝2x2（1﹣4x+4x﹣2）﹣8x+1
＝2x2×（﹣1）﹣8x+1＝﹣2（1﹣4x）﹣8x+1＝﹣2+8x﹣8x+1＝﹣1．
∴2x4+8x3﹣4x2﹣8x+1的值为﹣1．