2020-2021学年七年级数学北师大版 下册 第5章生活中的轴对称易错题专题突破训练试卷1（Word版附答案）

2021年北师大版七年级数学下册第5章生活中的轴对称易错题专题突破训练1（附答案）
1．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为（　　）
A．1 B．6 C．3 D．12
2．如图，在△ABC中，AB边的中垂线DE，分别与AB、AC边交于点D、E两点，BC边的中垂线FG，分别与BC、AC边交于点F、G两点，连接BE、BG．若△BEG的周长为16，GE＝1．则AC的长为（　　）
A．13 B．14 C．15 D．16
3．等腰△ABC中，∠C＝50°，则∠A的度数不可能是（　　）
A．80° B．50° C．65° D．45°
4．如图，在4×4方格中，以AB为一边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形可以作出（　　）
A．7个 B．6个 C．4个 D．3个
5．如图，在△ABC中，BC＝4，BD平分∠ABC，过点A作AD⊥BD于点D，过点D作DE∥CB，分别交AB、AC于点E、F，若EF＝2DF，则AB的长为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
6．如图，已知等边△ABC外有一点P，P落在∠BAC内，设点P到BC、CA、AB三边的距离分别为h1，h2，h3且满足h2+h3﹣h1＝18，那么等边△ABC的面积为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，在钝角三角形ABC中，∠ABC为钝角，以点B为圆心，AB长为半径画弧；再以点C为圆心，AC长为半径画弧；两弧交于点D，连结AD，CB的延长线交AD于点E．下列结论错误的是（　　）
A．CE垂直平分AD B．CE平分∠ACD
C．△ABD是等腰三角形 D．△ACD是等边三角形
8．已知△ABC中，三边a，b，c满足|b﹣c|+（a﹣b）2＝0，则∠A等于（　　）
A．60° B．45° C．90° D．不能确定
9．如图是跳棋盘，其中格点上的黑色点为棋子，剩余的格点上没有棋子，我们约定跳棋游戏的规则是：把跳棋棋子在棋盘内沿直线隔着棋子对称跳行，跳行一次称为一步，已知点A为乙方一枚棋子，欲将棋子A跳进对方区域（阴影部分的格点），则跳行的最少步数为（　　）
A．2步 B．3步 C．4步 D．5步
10．某台球桌为如图所示的长方形ABCD，小球从A沿45°角击出，恰好经过5次碰撞到达B处．则AB：BC等于（　　）
A．1：2 B．2：3 C．2：5 D．3：5
11．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON，垂足为A，Q是射线OM上的一个动点，若P、Q两点距离最小为8，则PA＝　 　．
12．△ABC中，DF是AB的垂直平分线，交BC于D，EG是AC的垂直平分线，交BC于E，若∠DAE＝30°，则∠BAC等于　 　．
13．如图所示，AB＝AC，BD＝BC，若∠A＝40°，则∠ABD＝　 　．
14．如图，直线PQ上有一点O，点A为直线外一点，连接OA，在直线PQ上找一点B，使得△AOB是等腰三角形，这样的点B最多有　 　个．
15．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，∠BAC，∠ACB的平分线相交于点E，过点E作EF∥BC交AC于点F，则EF的长为　 　．
16．如图，△ABC是边长为8的等边三角形，点P从点A出发，沿AB向终点B运动．作PD∥BC，DA、DP的中点分别是E、F．点P全程运动过程中，EF扫过的面积为　 　．
17．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝60°，BE⊥AC于E，延长BC到D，使CD＝CE，连接DE，若△ABC的周长是24，BE＝a，则△BDE的周长是　 　．
18．如图，四边形ABCD中，AB＝BC，点C关于BD的对称点E恰好落在AD上，若∠BDC＝α，则∠ABC的度数为　 　（用含a的代数式表示）．
19．线段是轴对称图形，它有　 　条对称轴．
20．如图1所示的图形是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小明按图2所示方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙，那么小明用9个这样的图形（图1）拼出来的图形的总长度是　 　（结果用含a，b代数式表示）．
21．如图，已知：在△ABC中，AB、BC边上的垂直平分线相交于点P．
求证：点P在AC的垂直平分线上．
22．如图，在△ABC中，AB＝AC，CD平分∠ACB交AB于点D，AE∥DC交BC的延长线于点E，已知∠E＝38°，求∠BAC的度数．
23．如图，AE∥BC，∠A＝90°，BC＝AC＝6，EA上取点D，使得∠1＝∠2．
（1）求证：△DBC是等腰三角形，
（2）若点P在线段BC上以1cm/s的速度由B向C点运动，t为何值时，PD平分∠BDC？
（3）若点P在线段BC上以1cm/s的速度由B点向C点运动，点Q以3cm/s的速度由C→A→E运动，当点P到达点C停止时，点Q也停止，t为何值，△PCQ是等腰三角形？
24．如图，△ABC中，AD平分∠CAB，BD⊥AD，DE∥AC．求证：AE＝BE．
25．如图，等边△ABC中，AB＝6，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，CE＝CD，DF⊥BE，垂足为F．
（1）求BD的长；
（2）求证：BF＝EF；
（3）求△BDE的面积．
26．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BE平分∠ABC，AM⊥BC于点M，交BE于点G，AD平分∠MAC，交BC于点D，交BE于点F．
（1）判断直线BE与线段AD之间的关系，并说明理由；
（2）若∠C＝30°，图中是否存在等边三角形？若存在，请写出来并证明；若不存在，请说明理由．
27．如图所示，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为ts，解答下列问题：
（1）当点Q到达点C时，PQ与AB的位置关系如何？请说明理由．
（2）在点P与点Q的运动过程中，△BPQ是否能成为等边三角形？若能，请求出t值；若不能，请说明理由．
28．如图所示，P在∠AOB内，点M、N分别是点P关于AO、BO的对称点，若△PEF的周长是20cm，求MN的长．
29．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度．
（1）△ABC关于y轴对称图形为△A1B1C1，画出△A1B1C1的图形．
（2）求△ABC的面积．
（3）若P点在x轴上，当BP+CP最小时，直接写出BP+CP最小值为　 　．
参考答案
1．解：过点D作DH⊥BC交BC于点H，如图所示：
∵BD⊥CD，
∴∠BDC＝90°，
又∵∠C+∠BDC+∠DBC＝180°，
∠ADB+∠A+∠ABD＝180°
∠ADB＝∠C，∠A＝90°，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴BD是∠ABC的角平分线，
又∵AD⊥AB，DH⊥BC，
∴AD＝DH，
又∵AD＝3，
∴DH＝3，
又∴点D是直线BC外一点，
∴当点P在BC上运动时，点P运动到与点H重合时DP最短，其长度为DH长等于3，
即DP长的最小值为3．
故选：C．
2．解：∵DE是线段AB的中垂线，GF是线段BC的中垂线，
∴EB＝EA，GB＝GC，
∵△BEG周长为16，
∴EB+GB+EG＝16，
∴EA+GC+EG＝16，
∴GA+EG+EG+EG+EC＝16，
∴AC+2EG＝16，
∵EG＝1，
∴AC＝14，故选：B．
3．解：当∠C为顶角时，则∠A＝（180°﹣50°）＝65°；
当∠A为顶角时，则∠A＝180°﹣2∠C＝80°；
当∠A、∠C为底角时，则∠C＝∠A＝50°；
∴∠A的度数不可能是45°，
故选：D．
4．解：如图所示，分别以A、B为圆心，AB长为半径画弧，则圆弧经过的格点C1、C2、C3、C4、C5、C6、C7即为第三个顶点的位置；作线段AB的垂直平分线，垂直平分线未经过格点．
故以AB为一边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形可以作出7个．故选：A．
5．解：如图，延长AD，BC交于点G，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠GBD，
∵AD⊥BD于点D，
∴∠ADB＝∠GDB＝90°，
又∵BD＝BD，
∴△ABD≌△GBD（ASA），
∴AB＝BG，
∴D是AG的中点，
又∵DE∥BG，
∴E是AB的中点，F是AC的中点，
∴DE是△ABG的中位线，EF是△ABC的中位线，
∴EF＝BC＝2，
又∵EF＝2DF，
∴DF＝1，
∴DE＝3，
∴BG＝2DE＝6，
∴AB＝6，
故选：B．
6．解：设等边△ABC的边长为a，连接PA、PB、PC，
则S△PAB+S△PAC﹣S△PBC＝S△ABC，
从而ah3+ah2﹣ah1＝a2，
即a（h3+h2﹣h1）＝a2，
∵（h3+h2﹣h1）＝18，
∴a＝12，
∴S△ABC＝a2＝108．
故选：C．
7．解：由题可得，CA＝CD，BA＝BD，
∴CB是AD的垂直平分线，
即CE垂直平分AD，故A选项正确；
∴∠CAD＝∠CDA，∠CEA＝∠CED，
∴∠ACE＝∠DCE，
即CE平分∠ACD，故B选项正确；
∵DB＝AB，
∴△ABD是等腰三角形，故C选项正确；
∵AD与AC不一定相等，
∴△ACD不一定是等边三角形，故D选项错误；故选：D．
8．解：△ABC中，三边a，b，c满足|b﹣c|+（a﹣b）2＝0，
∴b﹣c＝0，a﹣b＝0，
∴a＝b＝c，
∴三角形是等边三角形，所以∠A＝60°．
故选：A．
9．解：观察图形可知：先向右跳行，在向左，最后沿着对称的方法即可跳到对方那个区域，所以最少是3步．
故选B．
10．解：先作出长方形ABCD，小球从A沿45度射出，到BC的点E，AB＝BE．
从E点沿于BC成45度角射出，到AC边的F点，AE＝EF．
从F点沿于AD成45度角射出，到CD边的G点，DF＝DG．
从G沿于DC成45度角射出，到BC边的H点，HF垂直于AD．GC＝CH＝
从H点沿于CB成45度角射出，到AC边的M点，EM垂直于AD，
从M点沿于CA成45度角射出，到B点，
看图是2个半以AB为边长的正方形，
所以1：2.5＝2：5．
故选：C．
11．解：过点P作PQ⊥OM，垂足为Q，则PQ长为P、Q两点最短距离，
∵OP平分∠MON，PA⊥ON，PQ⊥OM，
∴PA＝PQ＝8，
故答案为：8．
12．解：①如图，当∠BAC为锐角时，
∵DF是AB的垂直平分线，EG是AC的垂直平分线，
∴DA＝DB，EC＝EA，
∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE，
∵∠DAE＝∠BAD+∠CAE﹣∠BAC，且∠DAE＝30°，
∴30°＝∠B+∠C﹣∠BAC，
即30°＝（180°﹣∠BAC）﹣∠BAC，
解得∠BAC＝75°．
②当∠BAC为钝角时，
∵DF是线段AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
∴∠B＝∠DAB，
同理∠C＝∠EAC，
∵∠B+∠DAB+∠C+∠EAC+∠DAE＝180°，
∴∠DAB+∠EAC＝（180°﹣30°）＝75°，
∴∠BAC＝180°﹣75°＝105°，
故答案为：75°或105°．
13．解：∵AB＝AC，∠A＝40°
∴∠C＝∠ABC＝（180°﹣∠A）÷2＝70°．
∵BD＝BC，
∴∠C＝∠BDC．
∴∠DBC＝180°﹣2∠C＝40°
∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝70°﹣40°＝30°．
故答案为：30°．
14．解：分别以A、O为圆心，AO长为半径画弧，与直线PQ的交点B1，B2，B3符合题意；作AO的垂直平分线，与直线PQ的交点B4符合题意，若B2，B3，B4不重合，则最多有4个．
故答案为：4．
15．解：过E作EG∥AB，交AC于G，则∠BAE＝∠AEG，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE，
∴∠CAE＝∠AEG，
∴AG＝EG，
同理可得，EF＝CF，
∵AB∥GE，BC∥EF，
∴∠BAC＝∠EGF，∠BCA＝∠EFG，
∴△ABC∽△GEF，
∵∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，
∴AC＝10，
∴EG：EF：GF＝AB：BC：AC＝3：4：5，
设EG＝3k＝AG，则EF＝4k＝CF，FG＝5k，
∵AC＝10，
∴3k+5k+4k＝10，
∴k＝，
∴EF＝4k＝．故答案为：．
16．解：如图，当P与A重合时，E、F都在点A上，
当P与B重合时，D与C重合，
所以点P全程运动过程中，EF扫过的图形是△AEF，
∴AE＝CE，CF＝BF，
∴S△AEF＝S△ABC＝＝4，
∴EF扫过的面积为4；
故答案为：4．
17．解：∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵△ABC的周长是24，
∴AB＝AC＝BC＝8，
∵BE⊥AC于E，
∴CE＝AC＝4，∠EBC＝∠ABC＝30°，
∴BE＝a＝4，
∵CD＝CE，
∴∠D＝∠CED，
∵∠ACB是△CDE的一个外角，
∴∠D+∠CED＝∠ACB＝60°
∴∠D＝30°，
∴∠D＝∠EBC，
∴BE＝DE＝a＝4，
∴△BED周长是DE+BE+BD＝a+a+（8+4）＝2a+12＝8+12．
故答案为：8+12．
18．解：如图所示，连接BE，
∵点C关于BD的对称点E恰好落在AD上，
∴BC＝BE＝AB，DE＝DC，
∴△BCD≌△BED，∠A＝∠AEB，
∴∠BCD＝∠BED，
又∵∠BED+∠AEB＝180°，
∴∠A+∠BCD＝180°，
∴四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°，
又∵∠ADC＝2∠BDC＝2α，
∴∠ABC＝180°﹣2α，
故答案为：180°﹣2α．
19．解：线段是轴对称图形，它有2条对称轴．
20．解：方法1、如图，由图可得，拼出来的图形的总长度＝5a+4[a﹣2（a﹣b）]＝a+8b
故答案为：a+8b．
方法2、∵小明用9个这样的图形（图1）拼出来的图形
∴口朝上的有5个，口朝下的有四个，
而口朝上的有5个，长度之和是5a，口朝下的有四个，长度为4[b﹣（a﹣b）]＝8b﹣4a，
即：总长度为5a+8b﹣4a＝a+8b，
故答案为a+8b．
21．证明：∵边AB，BC的垂直平分线交于点P，
∴PA＝PB，PB＝PC．
∴PA＝PC．
∴点P在AC的垂直平分线上．
22．解：∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD＝∠ACB，
∵AE∥DC，
∴∠BCD＝∠E＝38°，
∴∠ACB＝2×38°＝76°，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝76°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝28°．
23．解：（1）∵AE∥BC，
∴∠1＝∠DBC，∠2＝∠DCB，
又∵∠1＝∠2，
∴∠DBC＝∠DCB，
∴DB＝DC，即△DBC是等腰三角形．
（2）∵△DCB是等腰三角形，
∴当点P是BC的中点时，DP平分∠BDC，
∴BP＝BC，
即t＝×6＝3（s）；
（3）分两种情况讨论：
①当点Q在AC上，PC＝QC时，
6﹣t＝3t，
解得t＝1.5；
②当点Q在AE上，且QP＝QC时，AQ＝PC，
即3t﹣6＝（6﹣t），
解得t＝；
综上所述，t为1.5s或s时，△PCQ是等腰三角形．
24．证明：∵DE∥AC，
∴∠CAD＝∠ADE，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD＝∠EAD，
∴∠EAD＝∠ADE，
∴AE＝ED，
∵BD⊥AD，
∴∠ADE+∠EDB＝90°，∠DAB+∠ABD＝90°，
又∠ADE＝∠DAB，
∴∠EDB＝∠ABD，
∴DE＝BE，
∴AE＝BE．
25．解：（1）∵BD是等边△ABC的中线，
∴BD⊥AC，BD平分AC，
∵AB＝6，
∴AD＝3，
∴由勾股定理得，BD＝＝3；
（2）证明∵BD是等边△ABC的中线，
∴BD平分∠ABC，
∴∠DBE＝∠ABC＝30°，
又∵CE＝CD，
∴∠E＝∠CDE，∠E＝∠ACB＝30°．
∴∠DBE＝∠E，
∴DB＝DE．
∵DF⊥BE，
∴DF为底边上的中线．
∴BF＝EF；
（3）∵AD＝CD，CE＝CD，
∴CE＝CD＝3，
∴BE＝BC+CE＝9，
∵∠DBE＝30°，DB＝3，
∴DF＝DB＝×3＝，
∴△BDE的面积＝BE?DF＝×9×＝．
26．解：（1）BE垂直平分AD，理由：
∵AM⊥BC，
∴∠ABC+∠5＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABC+∠C＝90°，
∴∠5＝∠C；
∵AD平分∠MAC，
∴∠3＝∠4，
∵∠BAD＝∠5+∠3，∠ADB＝∠C+∠4，∠5＝∠C，
∴∠BAD＝∠ADB，
∴△BAD是等腰三角形，
又∵∠1＝∠2，
∴BE垂直平分AD．
（2）△ABD、△GAE是等边三角形．理由：
∵BE垂直平分AD，
∴BA＝BD，
又∵∠C＝30°，∠BAC＝90°，
∴∠ABD＝60°，
∴△ABD是等边三角形．
∵Rt△BGM中，∠BGM＝60°＝∠AGE，
又∵Rt△ACM中，∠CAM＝60°，
∴∠AEG＝∠AGE＝∠GAE，
∴△AEG是等边三角形．
27．解：（1）PQ垂直平分AB．
当点Q到达点C时，t＝＝3，
此时，AP＝1×3＝3，
∴P是AB的中点，
又∵△ABC是等边三角形，
∴PQ垂直平分AB；
（2）△BPQ能成为等边三角形．
由题可得，PB＝6﹣t，BQ＝2t，
∵∠B＝60°，
∴当PB＝QB时，△BPQ是等边三角形，
此时，6﹣t＝2t，
解得t＝2，
∴当t＝2时，△BPQ是等边三角形．
28．解：∵M、N分别是点P关于AO、BO的对称点，
∴ME＝PE，NF＝PF，
∴MN＝ME+EF+FN＝PE+EF+PF＝△PEF的周长，
∵△PEF的周长等于20cm，
∴MN＝20cm．
29．解：如图所示，
（1）△A1B1C1即为所求；
（2）△ABC的面积为：2×3﹣2×2﹣1×1﹣1×3＝2；
（3）作点B关于x轴的对称点B′，
连接CB′交x轴于点P，此时BP+CP最小，
BP+CP的最小值即为CB′＝．
故答案为