（机构适用）8.2一元线性回归模型及其应用-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册练习（Word含解析）

8.2一元线性回归模型及其应用
一、单选题
1．根据2010~2019年我国16~59岁人口比重统计数据（%），拟合了与年份的回归方程为，试据此估计我国约从哪一年开始16~59岁人口比重低于50%（
）
A．2023
B．2026
C．2029
D．2032
2．具有线性相关关系的变量有一组观测数据()，其回归直线方程是，且，则实数的值是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
3．由一组样本数据，，，，得到回归直线方程，那么下面说法不正确的是（
）
A．直线至少经过，，，中的一个点
B．直线必经过
C．直线的斜率为
D．直线的纵截距为
4．下表是x和y之间的一组数据，则y关于x的回归方程必过（
）
A．点
B．点
C．点
D．点
5．已知一个回归直线的方程为，则变量x增加1个单位时（
）
A．y平均增加0.23个单位
B．y平均减少0.23个单位
C．y平均增加0.11个单位
D．y平均减少0.11个单位
6．设一个回归方程为，则变量增加一个单位时（
）
A．平均增加个单位
B．平均增加个单位
C．平均减少个单位
D．平均减少个单位
7．由线性回归直线方程，当时，为（
）
A．290
B．560
C．700
D．821
8．已知一组样本数据点，用最小二乘法求得其线性回归方程为.若的平均数为1，则（
）
A．2
B．12
C．13
D．14
9．如果在一次实验中，测得(x，y)的四组数值分别是(1，2.2)，(2，3.3)，(4，5.8)，(5，6.7)，则y对x的线性回归方程是（
）
A．
B．
C．
D．
10．小明研究变量x与y的线性相关性，用线性回归方法求出了直线，小亮研究变量ν与w的线性相关性，用线性回归方法求出了直线，两个人发现平均值，则下列说法一定不正确的是（
）
A．与重合
B．与平行
C．与相交
D．与垂直
11．某饮料店的日销售收入y（单位：百元）与当天平均气温x（单位：度）之间有下列数据：
x
–2
–1
0
1
2
y
5
4
2
2
1
甲、乙、丙三位同学对上述数据进行了研究，分别得到了x与y之间的三个线性回归方程：
①x+2.8，②x+3，③1.2x+2.6；其中正确的是
A．①
B．②
C．③
D．①③
12．根据最小二乘法由一组样本点（其中，2，…，500），求得的回归方程是，则下列说法不正确的是（
）
A．样本点可能全部都不在回归直线上
B．若所有样本点都在回归直线上，则变量间的相关系数为1
C．若所有的样本点都在回归直线上，则的值与相等
D．若回归直线的斜率，则变量x与y呈负相关
13．对于相关系数r下列描述正确的是（
）
A．表明两个变量线性相关性很强
B．表明两个变量无关
C．越接近1，表明两个变量线性相关性越强
D．r越小，表明两个变量线性相关性越弱
14．已知变量与是负相关，且，，则线性回归方程可能是（
）
A．
B．
C．
D．
15．已知具有线性相关的五个样本点，，，，，用最小二乘法得到回归直线方程：，过点，的直线方程：，那么下列4个命题中，①，；②直线过点；③；④，正确命题的个数有（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
16．已知回归直线方程中的，若根据数据（x1，y1），（x2，y2）…（xn，yn）所求出的线性回归直线方程为，根据数据（，y1），（，y2）…（，yn）所求出的线性回归直线方程为，则（
）
A．
B．
C．
D．
17．陕西关中的秦腔表演朴实，粗犷，细腻，深刻，再有电子布景的独有特效，深得观众喜爱.戏曲相关部门特意进行了“喜爱看秦腔”调查，发现年龄段与爱看秦腔的人数比存在较好的线性相关关系，年龄在，，，的爱看人数比分别是0.10，0.18，0.20，0.30.现用各年龄段的中间值代表年龄段，如42代表.由此求得爱看人数比关于年龄段的线性回归方程为.那么，年龄在的爱看人数比为（
）
A．0.42
B．0.39
C．0.37
D．0.35
18．已知某产品连续4个月的广告费用（千元）与销售额（万元），经过对这些数据的处理，得到如下数据信息：
①广告费用和销售额之间具有较强的线性相关关系；
②；
③回归直线方程中的＝0.8（用最小二乘法求得）；
那么，广告费用为8千元时，可预测销售额约为（　　）
A．4.5万元
B．4.9万元
C．6.3万元
D．6.5万元
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
二、解答题
19．中国茶文化博大精深，已知茶水的口感与茶叶类型以及水温有关.经验表明，某种绿茶用的水泡制，再等到茶水温度降至时饮用，可以产生最佳口感.某学习研究小组通过测量，得到了下面表格中的数据(室温是).
泡制时间
0
1
2
3
4
水温
85
79
74
71
65
（1）小组成员根据上面表格中的数据绘制散点图，并根据散点图分布情况，考虑到茶水温度降到室温(即)就不能再降的事实，决定选择函数模型来刻画.
①令，求出关于的线性回归方程；
②利用①的结论，求出中的与.
（2）你认为该品种绿茶用的水大约泡制多久后饮用，可以产生最佳口感？
参考数据：，，，，，，，，.参考公式：，，.
20．2020年是全面建成小康社会和“十三五”规划实现之年，也是脱贫攻坚收官之年．2016年起某贫困地区采取优化产业结构，发展第三产业的扶贫攻坚政策，经济收入逐年增加，到2020年实现脱贫，基本达到小康水平．为更好地了解该地区的经济收入变化情况，统计了该地区从2016年到2020年的经济收入变化以及2016年和220年经济收入的构成比例，得到如下列表和饼图：
年份
2016年
2017年
2018年
2019年
2020年
年份代号
1
2
3
4
5
经济收入（单位：百万元）
8
13
17
25
32
（1）若该地区第三产业收入2020年是2016年的20倍，求2020年经济收入中第三产业收入和其他收入所占百分比，的值；
（2）求经济收入关于的线性回归方程，并预测2025年该地区的经济收入．
参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，．
21．如图是市旅游局宣传栏中的一幅标题为“2012~2019年我市接待游客人次”的统计图.根据该统计图提供的信息解决下列问题.
（1）求市在所统计的这8年中接待游客人次的平均值和中位数；
（2）在所统计的8年中任取两年，记其中接待游客人次不低于平均数的年份数为，求的分布列和数学期望；
（3）由统计图可看出，从2016年开始，市接待游客的人次呈直线上升趋势，请你用线性回归分析的方法预测2021年市接待游客的人次.
①参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，.
②参考数据：
0
1
2
3
90
330
参考答案
1．【答案】C
【分析】
由题意可令，即，解得，则，
故选：C．
2．【答案】B
【分析】
将代入回归方程，即，故
故选：B.
3．【答案】A
【分析】
线性回归直线不一定经过样本数据中的一个点，这是最能体现这组数据的变化趋势的直线，但并不一定在直线上，故A不正确；
线性回归直线一定经过样本中心点，故B正确；
根据最小二乘法知C正确；
根据线性回归直线的意义知D正确，
故选：A.
4．【答案】C
【分析】
因为，
所以y关于x的回归方程必过点，
故选：C
5．【答案】C
【分析】
变量增加1个单位时，平均增加0.11个单位.
故选：C
6．【答案】A
【分析】
由回归直线斜率知：变量增加一个单位时，平均增加个单位.
故选：A.
7．【答案】A
【分析】
．
故选：A．
8．【答案】B
【分析】
解：设样本数据点的样本中心点为，
则，代入线性回归方程中，得，
则，
故选:B．
9．【答案】D
【分析】
根据四组数据，可得，
所以，，
所以，
所以，
所以回归直线方程为：.
故选：D
10．【答案】B
【分析】
由线性回归直线的概念可知，直线过其样本中心点，直线过其样本中心点，而，故两条直线有公共点.
当与重合、相交或垂直时都有公共点，可能正确；当与平行时，没有公共点，故一定不正确.
故选：B.
11．【答案】A
【分析】
由题意知0，2.8，
∵线性回归方程过这组数据的样本中心点，
∴点（0，2.8）满足线性回归方程，
代入检验只有①符合．
故答案为A
12．【答案】B
【分析】
回归直线必过样本数据中心点，但样本点可能全部不在回归直线上故A正确；
所有样本点都在回归直线上，则变量间的相关系数可能为，故B错误；
若所有的样本点都在回归直线上，则的值与相等，故C正确；
相关系数r与符号相同，若回归直线的斜率，则，则变量x与y呈负相关，故D正确．
故选：B.
13．【答案】C
【分析】
相关系数r为正，两个变量呈正相关，r为负，两个变量呈负相关；越接近1，表明两个变量线性相关性越强；越接近0，表明两个变量线性相关性越弱，所以只有C正确.
14．【答案】A
【分析】
因为变量与是负相关，所以线性回归方程的斜率为负数，故排除CD
线性回归方程应满足样本点中心在直线上，将点代入A，B选项验证，结果只有A项满足，即
故选：A
15．【答案】B
【分析】
由题意可得：，，
则，，
所以线性回归方程为，
直线的方程为：，
故，，，，说法①正确；
，则直线过，说法②正确；
，，说法③错误；
，，说法④错误；
综上可得正确命题的个数有2个.
故选：B.
16．【答案】C
【分析】
解：由题意：，
，
，
故选：C.
17．【答案】D
【分析】
由题，对数据进行处理，得出如下表格：
年龄段
42
47
52
57
爱看人数比
0.10
0.18
0.20
0.30
求得，，因样本中心过线性回归方程，将代入，得，即，年龄在对应的为，将代入得：，对应的爱看人数比为：0.35
故选：D
18．【答案】C
【分析】
由题意，，
因为，所以，
则回归直线方程为.
当时，.
故选C.
19．【答案】（1）①；②，；（2）.
【分析】
解：（1）①由已知得出与的关系，如下表：
泡制时间
0
1
2
3
4
4.2
4.1
4.0
3.9
3.8
设线性回归方程，
由题意，得，，
∴，
，
则，
，
则关于的线性回归方程为；
②由，得，
两边取对数得，，
利用①的结论得：，，
∴，；
（2）由（1）得，，
令，得.
∴该品种绿茶用的水泡制后饮用，口感最佳.
20．【答案】（1），；（2），2025年时该地区的经济收入大约为陆仟壹百万元.
【分析】
解：（1）由表格及饼图可得：，
解得，；
（2）由表格数据可得：，，,
则，
，则经济收入关于的线性回归方程为，
当时，，则2025年时该地区的经济收入大约为陆仟壹百万元．
21．【答案】（1）平均数为(万人次)，中位数为(万人次)；（2）分布列答案见解析，数学期望：；（3）1365万人次.
【分析】
（1）平均数为(万人次)，
中位数为(万人次).
（2）不低于平均数的有3年，的可能取值为0，1，2，
则；；.
所以的分布列为
0
1
2
故.
（3）
2016
2017
2018
2019
330
510
720
960
简化变量：
0
1
2
3
90
330
，，，.
，.
.
当时，，，所以，所以.
即2021年接待的游客约为1365万人次.