高考物理三年真题专项汇编卷（2018-2020） 考点十七 ：电场及磁场计算 Word版含答案
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| 名称 | 高考物理三年真题专项汇编卷（2018-2020） 考点十七 ：电场及磁场计算 Word版含答案 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.6MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 物理 | ||
| 更新时间 | 2021-05-14 12:28:02 | ||
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文档简介
高考物理三年真题专项汇编卷（2018-2020）
考点十七 ：电场及磁场计算
（2020北京卷，19）
1.如图甲所示，真空中有一长直细金属导线，与导线同轴放置一半径为R的金属圆柱面。假设导线沿径向均匀射出速率相同的电子，已知电子质量为m，电荷量为e。不考虑出射电子间的相互作用。
(1)可以用以下两种实验方案测量出射电子的初速度：
a.在柱面和导线之间，只加恒定电压；
b.在柱面内，只加与平行的匀强磁场。
当电压为或磁感应强度为时，刚好没有电子到达柱面。分别计算出射电子的初速度。
(2)撤去柱面，沿柱面原位置放置一个弧长为a、长度为b的金属片，如图乙所示。在该金属片上检测到出射电子形成的电流为I，电子流对该金属片的压强为p。求单位长度导线单位时间内出射电子的总动能。
（2018北京卷，12）
2.静电场可以用电场线和等势面形象描述。
（1）a.请根据电场强度的定义和库仑定律推导出点电荷Q的场强表达式;
b.点电荷的电场线和等势面分布如图所示,等势面、到点电荷的距离分别为、。我们知道,电场线的疏密反映了空间区域电场强度的大小。请计算、上单位面积通过的电场线条数之比。
（2） 观测宇宙中辐射电磁波的天体,距离越远单位面积接收的电磁波功率越小,观测越困难。为了收集足够强的来自天体的电磁波,增大望远镜口径是提高天文观测能力的一条重要路径。2016年9月25日,世界上最大的单口径球面射电望远镜FAST在我国贵州落成启用,被誉为“中国天眼”。FAST直径为500 m,有效提高了人类观测宇宙的精度和范围。
a.设直径为100 m的望远镜能够接收到的来自某天体的电磁波功率为,计算FAST能够接收到的来自该天体的电磁波功率;
b.在宇宙大尺度上,天体的空间分布是均匀的,仅以辐射功率为P的同类天体为观测对象,设直径为100 m望远镜能够观测到的此类天体数目是,计算FAST能够观测到的此类天体数目N。
（2020天津卷，12）
3.多反射飞行时间质谱仪是一种测量离子质量的新型实验仪器，其基本原理如图所示，从离子源A处飘出的离子初速度不计，经电压为U的匀强电场加速后射入质量分析器。质量分析器由两个反射区和长为的漂移管（无场区域）构成，开始时反射区1、2均未加电场，当离子第一次进入漂移管时，两反射区开始加上电场强度大小相等、方向相反的匀强电场，其电场强度足够大，使得进入反射区的离子能够反射回漂移管。离子在质量分析器中经多次往复即将进入反射区2时，撤去反射区的电场，离子打在荧光屏B上被探测到，可测得离子从A到B的总飞行时间。设实验所用离子的电荷量均为q，不计离子重力。
（1）求质量为m的离子第一次通过漂移管所用的时间；
（2）反射区加上电场，电场强度大小为E，求离子能进入反射区的最大距离x；
（3）已知质量为的离子总飞行时间为，待测离子的总飞行时间为，两种离子在质量分析器中反射相同次数，求待测离子质量。
（2019天津卷，12）
4.2018年，人类历史上第一架由离子引擎推动的飞机诞生，这种引擎不需要燃料，也无污染物排放。引擎获得推力的原理如图所示，进入电离室的气体被电离成正离子，而后飘入电极A、B之间的匀强电场（初速度忽略不计），A、B间电压为U，使正离子加速形成离子束，在加速过程中引擎获得恒定的推力。单位时间内飘入的正离子数目为定值，离子质量为m，电荷量为Ze，期中Z是正整数，e是元电荷。
（1）若引擎获得的推力为，求单位时间内飘入A、B间的正离子数目N为多少；
（2）加速正离子束所消耗的功率P不同时，引擎获得的推力F也不同，试推导的表达式；
（3）为提高能量的转换效率，要使尽量大，请提出增大的三条建议。
（2018天津卷，11）
5.如图所示,在水平线的下方有一匀强电场,电场强度为E,方向竖直向下,的上方存在匀强磁场,磁感应强度为B,方向垂直纸面向里.磁场中有一内、外半径分别为的半圆环形区域,外圆与的交点分别为.一质量为m、电荷量为q的带负电粒子在电场中P点静止释放,由M进入磁场,从N射出.不计粒子重力.
（1）求粒子从P到M所用的时间t;
（2）若粒子从与P同一水平线上的Q点水平射出,同样能由M进入磁场,从N射出.粒子从M到N的过程中,始终在环形区域中运动,且所用的时间最少,求粒子在Q时速度的大小.
（2020新高考Ι卷，17）
6.某型号质谱仪的工作原理如图甲所示。为竖直放置的两金属板，两板间电压为板为记录板，分界面P将间区域分为宽度均为d的I、Ⅱ两部分，所在平面相互平行，为上两正对的小孔。以所在直线为z轴，向右为正方向，取z轴与Q板的交点O为坐标原点，以平行于Q板水平向里为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向，建立空间直角坐标系。区域I、Ⅱ内分别充满沿x轴正方向的匀强磁场和匀强电场，磁感应强度大小、电场强度大小分别为B和E。一质量为m，电荷量为的粒子，从a孔飘入电场（初速度视为零），经b孔进入磁场，过P面上的c点（图中未画出）进入电场，最终打到记录板Q上。不计粒子重力。
（1）求粒子在磁场中做圆周运动的半径R以及c点到z轴的距离L；
（2）求粒子打到记录板上位置的x坐标；
（3）求粒子打到记录板上位置的y坐标（用表示）；
（4）如图乙所示，在记录板上得到三个点，若这三个点是质子、氚核、氦核的位置，请写出这三个点分别对应哪个粒子（不考虑粒子间的相互作用，不要求写出推导过程）。
（2020江苏卷，16）
7.空间存在两个垂直于平面的匀强磁场，y轴为两磁场的边界，磁感应强度分别为.甲、乙两种比荷不同的粒子同时从原点O沿x轴正向射入磁场，速度均为v.甲第1次、第2次经过y轴的位置分别为，其轨迹如图所示.甲经过Q时，乙也恰好同时经过该点.已知甲的质量为m，电荷量为q.不考虑粒子间的相互作用和重力影响.求：
（1）Q到O的距离d；
（2）甲两次经过P点的时间间隔；
（3）乙的比荷可能的最小值.
（2019江苏卷，16）
8.如图所示，匀强磁场的磁感应强度大小为B．磁场中的水平绝缘薄板与磁场的左、右边界分别垂直相交于M、N，MN=L，粒子打到板上时会被反弹（碰撞时间极短），反弹前后水平分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反．质量为m、电荷量为-q的粒子速度一定，可以从左边界的不同位置水平射入磁场，在磁场中做圆周运动的半径为d，且，粒子重力不计，电荷量保持不变。
（1）求粒子运动速度的大小v；
（2）欲使粒子从磁场右边界射出，求入射点到M的最大距离；
（3）从P点射入的粒子最终从Q点射出磁场，PM=d，，求粒子从P到Q的运动时间t．
（2018江苏卷，17）
9.如图所示,真空中四个相同的矩形匀强磁场区域,高为,宽为d,中间两个磁场区域间隔为,中轴线与磁场区域两侧相交于点,各区域磁感应强度大小相等.某粒子质量为m、电荷量为,从O沿轴线射入磁场.当入射速度为时,粒子从O上方处射出磁场.取,.
（1）求磁感应强度大小B;
（2）入射速度为时,求粒子从O运动到的时间t;
（3）入射速度仍为,通过沿轴线平移中间两个磁场(磁场不重叠),可使粒子从O运动到的时间增加,求的最大值.
（2020浙江卷，22）
10.某种离子诊断测量简化装置如图所示。竖直平面内存在边界为矩形、方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，探测板平行于水平放置，能沿竖直方向缓慢移动且接地。三束宽度不计、间距相等的离子束中的离子均以相同速度持续从边界水平射入磁场，b束中的离子在磁场中沿半径为R的四分之一圆弧运动后从下边界竖直向下射出，并打在探测板的右边缘D点。已知每束每秒射入磁场的离子数均为N，离子束间的距离均为，探测板的宽度为，离子质量均为m、电荷量均为q，不计重力及离子间的相互作用。
（1）求离子速度v的大小及c束中的离子射出磁场边界时与H点的距离s；
（2）求探测到三束离子时探测板与边界的最大距离；
（3）若打到探测板上的离子被全部吸收，求离子束对探测板的平均作用力的竖直分量F与板到距离L的关系。
（2020全国Ⅰ卷，12）
11.在一柱形区域内有匀强电场，柱的横截面积是以O为圆心，半径为R的圆，为圆的直径，如图所示。质量为m，电荷量为的带电粒子在纸面内自A点先后以不同的速度进入电场，速度方向与电场的方向垂直。已知刚进入电场时速度为零的粒子，自圆周上的C点以速率穿出电场，与的夹角。运动中粒子仅受电场力作用。
（1）求电场强度的大小；
（2）为使粒子穿过电场后的动能增量最大，该粒子进入电场时的速度应为多大？
（3）为使粒子穿过电场前后动量变化量的大小为，该粒子进入电场时的速度应为多大？
（2020全国Ⅱ卷，11）
12.如图，在，区域中存在方向垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度B的大小可调，方向不变.一质量为m、电荷量为的粒子以速度从磁场区域左侧沿x轴进入磁场，不计重力.
（1）若粒子经磁场偏转后穿过y轴正半轴离开磁场，分析说明磁场的方向，并求在这种情况下磁感应强度的最小值；
（2）如果磁感应强度大小为，粒子将通过虚线所示边界上的一点离开磁场,求粒子在该点的运动方向与x轴正方向的夹角及该点到x轴的距离.
（2019全国Ⅰ卷，11）
13.如图，在直角三角形OPN区域内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外。一带正电的粒子从静止开始经电压U加速后，沿平行于x轴的方向射入磁场；一段时间后，该粒子在OP边上某点以垂直于x轴的方向射出。已知O点为坐标原点，N点在y轴上，OP与x轴的夹角为30°，粒子进入磁场的入射点与离开磁场的出射点之间的距离为d，不计重力。求
（1）带电粒子的比荷；
（2）带电粒子从射入磁场到运动至x轴的时间。
（2019全国Ⅱ卷，11）
14.如图，两金属板P、Q水平放置，间距为d。两金属板正中间有一水平放置的金属网G，PQG的尺寸相同。G接地，PQ的电势均为（>0）。质量为m，电荷量为q（q>0）的粒子自G的左端上方距离G为h的位置，以速度v0平行于纸面水平射入电场，重力忽略不计。
（1）求粒子第一次穿过G时的动能，以及它从射入电场至此时在水平方向上的位移大小；
（2）若粒子恰好从G的下方距离G也为h的位置离开电场，则金属板的长度最短应为多少？
（2019全国Ⅲ卷，11）
15.空间存在一方向竖直向下的匀强电场，是电场中的两点。从O点沿水平方向以不同速度先后发射两个质量均为m的小球不带电，B的电荷量为从O点发射时的速度大小为，到达P点所用时间为从O点到达P点所用时间为 。重力加速度为g，求
（1）电场强度的大小；
（2）B运动到P点时的动能。
（2018全国Ⅰ卷，12）
16.如图,在的区域存在方向沿y轴负方向的匀强电场,场强大小为E;在的区域存在方向垂直于平面向外的匀强磁场.一个氕核和一个氘核先后从y轴上点以相同的动能射出,速度方向沿x轴正方向.已知进入磁场时,速度方向与x轴正方向的夹角为60°,并从坐标原点O处第一次射出磁场.的质量为m,电荷量为q.不计重力.求:
（1）第一次进入磁场的位置到原点O的距离;
（2）磁场的磁感应强度大小;
（3）第一次离开磁场的位置到原点O的距离.
（2018全国Ⅱ卷，12）
17.一足够长的条状区域内存在匀强电场和匀强磁场,其在平面内的截面如图所示:中间是磁场区域,其边界与轴垂直,宽度为,磁感应强度的大小为,方向垂直于平面;磁场的上下两侧为电场区域,宽度均为,电场强度的大小均为,方向均沿轴正方向;为条状区域边界上的两点,它们的连线与轴平行。一带正电的粒子以某一速度从点沿轴正方向射入电场,经过一段时间后恰好以从点入射的速度从点沿轴正方向射出。不计重力。
（1）定性画出该粒子在电磁场中运动的轨迹;
（2）求该粒子从点入射时速度的大小;
（3）若该粒子进入磁场时的速度方向恰好与轴正方向的夹角为,求该粒子的比荷及其从点运动到点的时间。
（2018全国Ⅲ卷，11）
18.如图,从离子源产生的甲、乙两种离子,由静止经加速电压U加速后在纸面内水平向右运动,自M点垂直于磁场边界射入匀强磁场,磁场方向垂直于纸面向里,磁场左边界竖直。已知甲种离子射入磁场的速度大小为,并在磁场边界的N点射出;乙种离子在MN的中点射出;MN长为。不计重力影响和离子间的相互作用。求:
（1）磁场的磁感应强度大小;
（2）甲、乙两种离子的比荷之比。
答案以及解析
1.答案：（1）采用a方案时，由动能定理得
解得：
采用b方案时，刚好没有电子到达柱面，则电子运动轨迹的半径
由洛伦兹力提供向心力，有
解得：
（2）设n为单位时间打在单位面积上的电子数目
则
压强
单位长度导线单位时间射出的电子总数为
一个电子的动能
则总动能
2.答案：（1）a.在距Q为r的位置放一电荷量为q的检验电荷根据库仑定律检验电荷受到的电场力
根据电场强度的定义得
b.穿过两等势面单位面积上的电场线条数之比
（2）a.地球上不同望远镜观测同一天体,单位面积上接收的功率应该相同,因此
b.在宇宙大尺度上,天体的空间分布是均匀的。因此一个望远镜能观测到的此类天体数目正比于以望远镜为球心、以最远观测距离为半径的球体体积。设地面上望远镜能观测到此类天体需收集到的电磁波的总功率的最小值为P0,直径为100 m望远镜和FAST能观测到的最远距离分别为L0和L,
则
可得则
3.答案：（1）设离子经加速电场加速后的速度大小为v，有①
离子在漂移管中做匀速直线运动，则②
联立①②式，得③
（2）根据动能定理，有④
得⑤
（3）离子在加速电场中运动和反射区电场中每次单向运动均为匀变速直线运动，平均速度大小均相等，设其为，有⑥
通过⑤式可知，离子在反射区的电场中运动路程是与离子本身无关的，所以不同离子在电场区运动的总路程相等，设为，在无场区的总路程设为，根据题目条件可知，离子在无场区速度大小恒为v，设离子的总飞行时间为。有⑦
联立①⑥⑦式，得⑧
可见，离子从A到B的总飞行时间与成正比。由题意可得
可得⑨
4.答案：（1）设正离子经过电极B时的速度为v，根据动能定理，有①
设正离子束所受的电场力为，根据牛顿第三定律，有②
设引擎在时间内飘入电极间的正离子个数为，由牛顿第二定律，有③
联立①②③式，且得 ④
（2）设正离子束所受的电场力为，由正离子束在电场中做匀加速直线运动，有⑤
考虑到牛顿第三定律得到，联立①⑤式得 ⑥
（3）为使尽量大，分析⑥式得到三条建议：用质量大的离子；用带电量少的离子；减少加速电压。
5.答案：（1）
（2）
解析：（1）设粒子在磁场中运动的速度大小为v，所受洛伦兹力提供向心力，有①
设粒子在电场中运动所受电场力为F,有②
设粒子在电场中运动的加速度为a，根据牛顿第二定律有③
粒子在电场中做初速度为零的匀加速直线运动，有④
联立①②③④式得⑤
（2）粒子进入匀强磁场后做匀速圆周运动，其周期与速度、半径无关,运动时间只由粒子所通过的圆弧所对的圆心角的大小决定.故当轨迹与内圆相切时，所用的时间最短.设粒子在磁场中的轨迹半径为，由几何关系可得⑥
设粒子进入磁场时速度方向与ab的夹角为θ，即圆弧所对圆心角的一半，由几何关系知⑦
粒子从Q射出后在电场中做类平抛运动,在电场方向上的分运动和从P释放后的运动情况相同，所以粒子进入磁场时沿竖直方向的速度同样为v.在垂直于电场方向上的分速度始终等于，由运动的合成和分解可得⑧
联立①⑥⑦⑧式得⑨
6.答案：解：（1）设粒子经加速电场到b孔的速度大小为v，粒子在区域I中，做匀速圆周运动对应圆心角为α，在两金属板间，由动能定理得①
在区域I中，粒子做匀速圆周运动，磁场力提供向心力，由牛顿第二定律得②
联立①②式得③
由几何关系得④
⑤
⑥
联立①②④式得⑦
（2）设区域Ⅱ中粒子沿z轴方向的分速度为，沿x轴正方向加速度大小为a，位移大小为x，运动时间为t，由牛顿第二定律得⑧
粒子在z轴方向做匀速直线运动，由运动合成与分解的规律得⑨
⑩
粒子在x方向做初速度为零的匀加速直线运动，由运动学公式得?
联立①②⑤⑧⑨⑩?式得?
（3）设粒子沿y方向偏离z轴的距离为y，其中在区域Ⅱ中沿y方向偏离的距离为，由运动学公式得?
由题意得?
联立①④⑥⑨⑩??式得?
（4）分别对应氚核、氦核、质子的位置。
7.答案：（1）甲粒子先后在两磁场中做匀速圆周运动，设半径分别为
由半径得
且解得
（2）甲粒子先后在两磁场中做匀速圆周运动，设运动时间分别为
由得，且，解得
（3）乙粒子周期性地先后在两磁场中做匀速圆周运动
若经过两磁场的次数均为
相遇时，有，解得
根据题意，舍去。
当时，有最小值，
若先后经过右侧、左侧磁场的次数分别为，经分析不可能相遇.
综上分析，比荷的最小值为。
8.答案：（1）粒子的运动半径 解得
（2）如图4所示，粒子碰撞后的运动轨迹恰好与磁场左边界相切
由几何关系得
解得
（3）粒子的运动周期
设粒子最后一次碰撞到射出磁场的时间为t'，则
（a）当 时，粒子斜向上射出磁场 解得
（b）当时，粒子斜向下射出磁场 解得
解析： （1）粒子在磁场中做匀速圆周运动由洛伦兹力提供向心力有：
，解得：
由题可得： ，解得；
（2）如图所示，粒子碰撞后的运动轨迹恰好与磁场左边界相切
由几何关系得dm=d（1+sin60°），解得。
（3）粒子的运动周期
设粒子最后一次碰撞到射出磁场的时间为t'，则
A.当时，粒子斜向上射出磁场解得
B.当时，粒子斜向下射出磁场解得。
9.答案：（1）粒子圆周运动的半径,由题意知,解得。
（2）设粒子在矩形磁场中的偏转角为α
由,得,即
在一个矩形磁场中的运动时间,解得
直线运动的时间,解得
则。
（3）将中间两磁场分别向中央移动距离x，粒子向上的偏移量
由,解得，则当时,有最大值
粒子直线运动路程的最大值
增加路程的最大值
增加时间的最大值。
10.答案：解：（1）得，几何关系，
（2）束中的离子从同一点Q射出，，，
（3）a或c束中每个离子动量的竖直分量
，，，
，
11.答案：（1）粒子初速度为零，由C点射出电场，故电场方向与平行，由A指向C。由几何关系和电场强度的定义知①
②
由动能定理有③
联立①②③式得④
（2）如图，由几何关系知，故电场中的等势线与平行。作与平行的直线与圆相切于D点，与的延长线交于P点，则自D点从圆周上穿出的粒子的动能增量最大。由几何关系知⑤
设粒子以速度进入电场时动能增量最大，在电场中运动的时间为。粒子在方向做加速度为a的匀加速运动，运动的距离等于；在垂直于的方向上做匀速运动，运动的距离等于。由牛顿第二定律和运动学公式有⑥
⑦
⑧
联立②④⑤⑥⑦⑧式得⑨
（3）设粒子以速度v进入电场时，在电场中运动的时间为t。以A为原点，粒子进入电场的方向为x轴正方向，电场方向为y轴正方向建立直角坐标系。由运动学公式有⑩
?
粒子离开电场的位置在圆周上，有?
粒子在电场中运动时，其x方向的动量不变，y方向的初始动量为零。设穿过电场前后动量变化量的大小为的粒子，离开电场时其y方向的速度分量为，由题给条件及运动学公式有?
联立②④⑥⑩???式得?
和?
另解：
由题意知，初速为0时，动量增量的大小为，此即问题的一个解。自A点以不同的速率垂直于电场方向射入电场的粒子，沿y方向位移相等时，所用时间都相同。因此，不同粒子运动到线段上时，动量变化都相同，自B点射出电场的粒子，其动量变化也为，由几何关系及运动学规律可得，此时入射速率。
12.答案：(1)垂直于纸面向里;
(2);
解析：本题考查带电粒子在有界匀强磁场中的运动问题.
（1）由题意可知，粒子刚进入磁场时应受到方向向上的洛伦兹力，因此磁场方向垂直于纸面向里.设粒子进入磁场中做圆周运动的半径为R，根据洛伦兹力公式和圆周运动规律，有
①
由此可得②
粒子穿过y轴正半轴离开磁场，其在磁场中做圆周运动的圆心在y轴正半轴上，半径应满足③
由题意，当磁感应强度大小为时，粒子的运动半径最大，由此得④
（2）若磁感应强度大小为，粒子做圆周运动的圆心仍在y轴正半轴上，
由②④式可得，此时圆弧半径为⑤
粒子会穿过图中P点离开磁场，运动轨迹如图所示.设粒子在P点的运动方向与x轴正方向的夹角为α，由几何关系
⑥
即⑦
由几何关系可得，P点与x轴的距离为
⑧
联立⑦⑧式得
⑨
13.答案：（1）设带电粒子的质量为m，电荷量为q，加速后的速度大小为v。
由动能定理有①
设粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为r，由洛伦兹力公式和牛领第二定律有②
由几何关系知d=r③
联立①②③式得④
（2）由几何关系知，带电粒子射入磁场后运动到x轴所经过的路程为⑤
带电粒子从射入磁场到运动至x轴的时间为⑥联立②④⑤⑥式得⑦
14.答案：（1）PG、QG间场强大小相等,均为E,粒子在PG间所受电场力F的方向竖直向下,设粒子的加速度大小为a,有
①
F=qE=ma②
设粒子第一次到达G时动能为Ek,由动能定理有
③
设粒子第一次到达G时所用时间为t,粒子在水平方向的位移为l,则有
④
l=v0t⑤
联立①②③④⑤式解得
⑥
⑦;
（1）设粒子穿过G一次就从电场的右侧飞出,则金属板的长度最短,由对称性知,此时金属板的长度L为⑧;
15.答案：（1）设电场强度的大小为E，小球B运动的加速度为a。根据牛顿定律、运动学公式和题给条件，有
①
②
解得③
（2）设B从O点发射时的速度为，到达P点时的动能为，两点的高度差为h，根据动能定理有④
且有
⑤
⑥
联立③④⑤⑥式得
⑦
16.答案：(1)
(2)
(3)
解析：（1）在电场中做类平抛运动,在磁场中做圆周运动，运动轨迹如图所示.设在电场中的加速度大小为，初速度大小为,它在电场中的运动时间为,第一次进入磁场的位置到原点O的距离为.由运动学公式有①
②
由题给条件，进入磁场时速度的方向与x轴正方向夹角进入磁场时速度的y分量的大小为，③
联立以上各式得，④
（2）在电场中运动吋，由牛顿第二定律有，⑤
设进入磁场时速度的大小为，由速度合成法则有，⑥
设磁感应强度大小为B,在磁场中运动的圆轨道半径为,
由洛伦兹力公式和牛顿第二定律有，⑦
由几何关系得，⑧
联立以上各式得，⑨
（3）设在电场中沿x轴正方向射出的速度大小为，在电场中的加速度大小为,由题给条件得，⑩
由牛顿第二定律有，?
设第一次射入磁场时的速度大小为,速度的方向与x轴正方向夹角为，入射点到原点的距离为，在电场中运动的时间为.由运动学公式有，?
?
?
?
联立以上各式得，?
设在磁场中做圆周运动的半径为，由⑦?式及粒子在匀强磁场中做圆周运动的半径公式得
?
所以出射点在原点左侧.设进入磁场的入射点到第一次离开磁场的出射点的距离为,由几何关系有，?
联立④⑧???式得，第一次离开磁场时的位置到原点O的距离为
?
17.答案：（1）如图(a)所示（2）（3）；
解析：（1）粒子运动的轨迹如图(a)所示.(粒子在电场中的轨迹为抛物线,在磁场中为圆弧,上下对称)
（2）粒子从电场下边界入射后在电场中做类平抛运动.设粒子从M点射入时速度的大小为,在下侧电场中运动的时间为t,加速度的大小为a;粒子进入磁场的速度大小为v,方向与电场方向的夹角为θ(见图),速度沿电场方向的分量为,根据牛顿第二定律有
①，式中q和m分别为粒子的电荷量和质量,由运动学公式有②，③，④，粒子在磁场中做匀速圆周运动,设其运动轨道半径为R,由洛伦兹力公式和牛顿第二定律得⑤，由几何关系得⑥，联立①②③④⑤⑥式得⑦
（3）由运动学公式和题给数据得，联立①②③⑦⑧式得⑨，设粒子由M点运动到N点所用的时间为,则⑩，式中T是粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期,?，由③⑦⑨⑩?得?。
18.答案：（1） （2）1:4
解析：（1）设甲种离子所带电荷量为、质量为，在磁场中做匀速圆周运动的半径为，磁场的磁感应强度大小为B，由动能定理有，由洛伦兹力公式和牛顿第二定律有, 由几何关系知,得.?
（2）设乙种离子所带电荷量为、质量为，射入磁场的速度为，在磁场中做匀速圆周运动的半径为，同理有，，由题给条件有，甲、乙两种离子的比荷之比为.
考点十七 ：电场及磁场计算
（2020北京卷，19）
1.如图甲所示，真空中有一长直细金属导线，与导线同轴放置一半径为R的金属圆柱面。假设导线沿径向均匀射出速率相同的电子，已知电子质量为m，电荷量为e。不考虑出射电子间的相互作用。
(1)可以用以下两种实验方案测量出射电子的初速度：
a.在柱面和导线之间，只加恒定电压；
b.在柱面内，只加与平行的匀强磁场。
当电压为或磁感应强度为时，刚好没有电子到达柱面。分别计算出射电子的初速度。
(2)撤去柱面，沿柱面原位置放置一个弧长为a、长度为b的金属片，如图乙所示。在该金属片上检测到出射电子形成的电流为I，电子流对该金属片的压强为p。求单位长度导线单位时间内出射电子的总动能。
（2018北京卷，12）
2.静电场可以用电场线和等势面形象描述。
（1）a.请根据电场强度的定义和库仑定律推导出点电荷Q的场强表达式;
b.点电荷的电场线和等势面分布如图所示,等势面、到点电荷的距离分别为、。我们知道,电场线的疏密反映了空间区域电场强度的大小。请计算、上单位面积通过的电场线条数之比。
（2） 观测宇宙中辐射电磁波的天体,距离越远单位面积接收的电磁波功率越小,观测越困难。为了收集足够强的来自天体的电磁波,增大望远镜口径是提高天文观测能力的一条重要路径。2016年9月25日,世界上最大的单口径球面射电望远镜FAST在我国贵州落成启用,被誉为“中国天眼”。FAST直径为500 m,有效提高了人类观测宇宙的精度和范围。
a.设直径为100 m的望远镜能够接收到的来自某天体的电磁波功率为,计算FAST能够接收到的来自该天体的电磁波功率;
b.在宇宙大尺度上,天体的空间分布是均匀的,仅以辐射功率为P的同类天体为观测对象,设直径为100 m望远镜能够观测到的此类天体数目是,计算FAST能够观测到的此类天体数目N。
（2020天津卷，12）
3.多反射飞行时间质谱仪是一种测量离子质量的新型实验仪器，其基本原理如图所示，从离子源A处飘出的离子初速度不计，经电压为U的匀强电场加速后射入质量分析器。质量分析器由两个反射区和长为的漂移管（无场区域）构成，开始时反射区1、2均未加电场，当离子第一次进入漂移管时，两反射区开始加上电场强度大小相等、方向相反的匀强电场，其电场强度足够大，使得进入反射区的离子能够反射回漂移管。离子在质量分析器中经多次往复即将进入反射区2时，撤去反射区的电场，离子打在荧光屏B上被探测到，可测得离子从A到B的总飞行时间。设实验所用离子的电荷量均为q，不计离子重力。
（1）求质量为m的离子第一次通过漂移管所用的时间；
（2）反射区加上电场，电场强度大小为E，求离子能进入反射区的最大距离x；
（3）已知质量为的离子总飞行时间为，待测离子的总飞行时间为，两种离子在质量分析器中反射相同次数，求待测离子质量。
（2019天津卷，12）
4.2018年，人类历史上第一架由离子引擎推动的飞机诞生，这种引擎不需要燃料，也无污染物排放。引擎获得推力的原理如图所示，进入电离室的气体被电离成正离子，而后飘入电极A、B之间的匀强电场（初速度忽略不计），A、B间电压为U，使正离子加速形成离子束，在加速过程中引擎获得恒定的推力。单位时间内飘入的正离子数目为定值，离子质量为m，电荷量为Ze，期中Z是正整数，e是元电荷。
（1）若引擎获得的推力为，求单位时间内飘入A、B间的正离子数目N为多少；
（2）加速正离子束所消耗的功率P不同时，引擎获得的推力F也不同，试推导的表达式；
（3）为提高能量的转换效率，要使尽量大，请提出增大的三条建议。
（2018天津卷，11）
5.如图所示,在水平线的下方有一匀强电场,电场强度为E,方向竖直向下,的上方存在匀强磁场,磁感应强度为B,方向垂直纸面向里.磁场中有一内、外半径分别为的半圆环形区域,外圆与的交点分别为.一质量为m、电荷量为q的带负电粒子在电场中P点静止释放,由M进入磁场,从N射出.不计粒子重力.
（1）求粒子从P到M所用的时间t;
（2）若粒子从与P同一水平线上的Q点水平射出,同样能由M进入磁场,从N射出.粒子从M到N的过程中,始终在环形区域中运动,且所用的时间最少,求粒子在Q时速度的大小.
（2020新高考Ι卷，17）
6.某型号质谱仪的工作原理如图甲所示。为竖直放置的两金属板，两板间电压为板为记录板，分界面P将间区域分为宽度均为d的I、Ⅱ两部分，所在平面相互平行，为上两正对的小孔。以所在直线为z轴，向右为正方向，取z轴与Q板的交点O为坐标原点，以平行于Q板水平向里为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向，建立空间直角坐标系。区域I、Ⅱ内分别充满沿x轴正方向的匀强磁场和匀强电场，磁感应强度大小、电场强度大小分别为B和E。一质量为m，电荷量为的粒子，从a孔飘入电场（初速度视为零），经b孔进入磁场，过P面上的c点（图中未画出）进入电场，最终打到记录板Q上。不计粒子重力。
（1）求粒子在磁场中做圆周运动的半径R以及c点到z轴的距离L；
（2）求粒子打到记录板上位置的x坐标；
（3）求粒子打到记录板上位置的y坐标（用表示）；
（4）如图乙所示，在记录板上得到三个点，若这三个点是质子、氚核、氦核的位置，请写出这三个点分别对应哪个粒子（不考虑粒子间的相互作用，不要求写出推导过程）。
（2020江苏卷，16）
7.空间存在两个垂直于平面的匀强磁场，y轴为两磁场的边界，磁感应强度分别为.甲、乙两种比荷不同的粒子同时从原点O沿x轴正向射入磁场，速度均为v.甲第1次、第2次经过y轴的位置分别为，其轨迹如图所示.甲经过Q时，乙也恰好同时经过该点.已知甲的质量为m，电荷量为q.不考虑粒子间的相互作用和重力影响.求：
（1）Q到O的距离d；
（2）甲两次经过P点的时间间隔；
（3）乙的比荷可能的最小值.
（2019江苏卷，16）
8.如图所示，匀强磁场的磁感应强度大小为B．磁场中的水平绝缘薄板与磁场的左、右边界分别垂直相交于M、N，MN=L，粒子打到板上时会被反弹（碰撞时间极短），反弹前后水平分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反．质量为m、电荷量为-q的粒子速度一定，可以从左边界的不同位置水平射入磁场，在磁场中做圆周运动的半径为d，且，粒子重力不计，电荷量保持不变。
（1）求粒子运动速度的大小v；
（2）欲使粒子从磁场右边界射出，求入射点到M的最大距离；
（3）从P点射入的粒子最终从Q点射出磁场，PM=d，，求粒子从P到Q的运动时间t．
（2018江苏卷，17）
9.如图所示,真空中四个相同的矩形匀强磁场区域,高为,宽为d,中间两个磁场区域间隔为,中轴线与磁场区域两侧相交于点,各区域磁感应强度大小相等.某粒子质量为m、电荷量为,从O沿轴线射入磁场.当入射速度为时,粒子从O上方处射出磁场.取,.
（1）求磁感应强度大小B;
（2）入射速度为时,求粒子从O运动到的时间t;
（3）入射速度仍为,通过沿轴线平移中间两个磁场(磁场不重叠),可使粒子从O运动到的时间增加,求的最大值.
（2020浙江卷，22）
10.某种离子诊断测量简化装置如图所示。竖直平面内存在边界为矩形、方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，探测板平行于水平放置，能沿竖直方向缓慢移动且接地。三束宽度不计、间距相等的离子束中的离子均以相同速度持续从边界水平射入磁场，b束中的离子在磁场中沿半径为R的四分之一圆弧运动后从下边界竖直向下射出，并打在探测板的右边缘D点。已知每束每秒射入磁场的离子数均为N，离子束间的距离均为，探测板的宽度为，离子质量均为m、电荷量均为q，不计重力及离子间的相互作用。
（1）求离子速度v的大小及c束中的离子射出磁场边界时与H点的距离s；
（2）求探测到三束离子时探测板与边界的最大距离；
（3）若打到探测板上的离子被全部吸收，求离子束对探测板的平均作用力的竖直分量F与板到距离L的关系。
（2020全国Ⅰ卷，12）
11.在一柱形区域内有匀强电场，柱的横截面积是以O为圆心，半径为R的圆，为圆的直径，如图所示。质量为m，电荷量为的带电粒子在纸面内自A点先后以不同的速度进入电场，速度方向与电场的方向垂直。已知刚进入电场时速度为零的粒子，自圆周上的C点以速率穿出电场，与的夹角。运动中粒子仅受电场力作用。
（1）求电场强度的大小；
（2）为使粒子穿过电场后的动能增量最大，该粒子进入电场时的速度应为多大？
（3）为使粒子穿过电场前后动量变化量的大小为，该粒子进入电场时的速度应为多大？
（2020全国Ⅱ卷，11）
12.如图，在，区域中存在方向垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度B的大小可调，方向不变.一质量为m、电荷量为的粒子以速度从磁场区域左侧沿x轴进入磁场，不计重力.
（1）若粒子经磁场偏转后穿过y轴正半轴离开磁场，分析说明磁场的方向，并求在这种情况下磁感应强度的最小值；
（2）如果磁感应强度大小为，粒子将通过虚线所示边界上的一点离开磁场,求粒子在该点的运动方向与x轴正方向的夹角及该点到x轴的距离.
（2019全国Ⅰ卷，11）
13.如图，在直角三角形OPN区域内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外。一带正电的粒子从静止开始经电压U加速后，沿平行于x轴的方向射入磁场；一段时间后，该粒子在OP边上某点以垂直于x轴的方向射出。已知O点为坐标原点，N点在y轴上，OP与x轴的夹角为30°，粒子进入磁场的入射点与离开磁场的出射点之间的距离为d，不计重力。求
（1）带电粒子的比荷；
（2）带电粒子从射入磁场到运动至x轴的时间。
（2019全国Ⅱ卷，11）
14.如图，两金属板P、Q水平放置，间距为d。两金属板正中间有一水平放置的金属网G，PQG的尺寸相同。G接地，PQ的电势均为（>0）。质量为m，电荷量为q（q>0）的粒子自G的左端上方距离G为h的位置，以速度v0平行于纸面水平射入电场，重力忽略不计。
（1）求粒子第一次穿过G时的动能，以及它从射入电场至此时在水平方向上的位移大小；
（2）若粒子恰好从G的下方距离G也为h的位置离开电场，则金属板的长度最短应为多少？
（2019全国Ⅲ卷，11）
15.空间存在一方向竖直向下的匀强电场，是电场中的两点。从O点沿水平方向以不同速度先后发射两个质量均为m的小球不带电，B的电荷量为从O点发射时的速度大小为，到达P点所用时间为从O点到达P点所用时间为 。重力加速度为g，求
（1）电场强度的大小；
（2）B运动到P点时的动能。
（2018全国Ⅰ卷，12）
16.如图,在的区域存在方向沿y轴负方向的匀强电场,场强大小为E;在的区域存在方向垂直于平面向外的匀强磁场.一个氕核和一个氘核先后从y轴上点以相同的动能射出,速度方向沿x轴正方向.已知进入磁场时,速度方向与x轴正方向的夹角为60°,并从坐标原点O处第一次射出磁场.的质量为m,电荷量为q.不计重力.求:
（1）第一次进入磁场的位置到原点O的距离;
（2）磁场的磁感应强度大小;
（3）第一次离开磁场的位置到原点O的距离.
（2018全国Ⅱ卷，12）
17.一足够长的条状区域内存在匀强电场和匀强磁场,其在平面内的截面如图所示:中间是磁场区域,其边界与轴垂直,宽度为,磁感应强度的大小为,方向垂直于平面;磁场的上下两侧为电场区域,宽度均为,电场强度的大小均为,方向均沿轴正方向;为条状区域边界上的两点,它们的连线与轴平行。一带正电的粒子以某一速度从点沿轴正方向射入电场,经过一段时间后恰好以从点入射的速度从点沿轴正方向射出。不计重力。
（1）定性画出该粒子在电磁场中运动的轨迹;
（2）求该粒子从点入射时速度的大小;
（3）若该粒子进入磁场时的速度方向恰好与轴正方向的夹角为,求该粒子的比荷及其从点运动到点的时间。
（2018全国Ⅲ卷，11）
18.如图,从离子源产生的甲、乙两种离子,由静止经加速电压U加速后在纸面内水平向右运动,自M点垂直于磁场边界射入匀强磁场,磁场方向垂直于纸面向里,磁场左边界竖直。已知甲种离子射入磁场的速度大小为,并在磁场边界的N点射出;乙种离子在MN的中点射出;MN长为。不计重力影响和离子间的相互作用。求:
（1）磁场的磁感应强度大小;
（2）甲、乙两种离子的比荷之比。
答案以及解析
1.答案：（1）采用a方案时，由动能定理得
解得：
采用b方案时，刚好没有电子到达柱面，则电子运动轨迹的半径
由洛伦兹力提供向心力，有
解得：
（2）设n为单位时间打在单位面积上的电子数目
则
压强
单位长度导线单位时间射出的电子总数为
一个电子的动能
则总动能
2.答案：（1）a.在距Q为r的位置放一电荷量为q的检验电荷根据库仑定律检验电荷受到的电场力
根据电场强度的定义得
b.穿过两等势面单位面积上的电场线条数之比
（2）a.地球上不同望远镜观测同一天体,单位面积上接收的功率应该相同,因此
b.在宇宙大尺度上,天体的空间分布是均匀的。因此一个望远镜能观测到的此类天体数目正比于以望远镜为球心、以最远观测距离为半径的球体体积。设地面上望远镜能观测到此类天体需收集到的电磁波的总功率的最小值为P0,直径为100 m望远镜和FAST能观测到的最远距离分别为L0和L,
则
可得则
3.答案：（1）设离子经加速电场加速后的速度大小为v，有①
离子在漂移管中做匀速直线运动，则②
联立①②式，得③
（2）根据动能定理，有④
得⑤
（3）离子在加速电场中运动和反射区电场中每次单向运动均为匀变速直线运动，平均速度大小均相等，设其为，有⑥
通过⑤式可知，离子在反射区的电场中运动路程是与离子本身无关的，所以不同离子在电场区运动的总路程相等，设为，在无场区的总路程设为，根据题目条件可知，离子在无场区速度大小恒为v，设离子的总飞行时间为。有⑦
联立①⑥⑦式，得⑧
可见，离子从A到B的总飞行时间与成正比。由题意可得
可得⑨
4.答案：（1）设正离子经过电极B时的速度为v，根据动能定理，有①
设正离子束所受的电场力为，根据牛顿第三定律，有②
设引擎在时间内飘入电极间的正离子个数为，由牛顿第二定律，有③
联立①②③式，且得 ④
（2）设正离子束所受的电场力为，由正离子束在电场中做匀加速直线运动，有⑤
考虑到牛顿第三定律得到，联立①⑤式得 ⑥
（3）为使尽量大，分析⑥式得到三条建议：用质量大的离子；用带电量少的离子；减少加速电压。
5.答案：（1）
（2）
解析：（1）设粒子在磁场中运动的速度大小为v，所受洛伦兹力提供向心力，有①
设粒子在电场中运动所受电场力为F,有②
设粒子在电场中运动的加速度为a，根据牛顿第二定律有③
粒子在电场中做初速度为零的匀加速直线运动，有④
联立①②③④式得⑤
（2）粒子进入匀强磁场后做匀速圆周运动，其周期与速度、半径无关,运动时间只由粒子所通过的圆弧所对的圆心角的大小决定.故当轨迹与内圆相切时，所用的时间最短.设粒子在磁场中的轨迹半径为，由几何关系可得⑥
设粒子进入磁场时速度方向与ab的夹角为θ，即圆弧所对圆心角的一半，由几何关系知⑦
粒子从Q射出后在电场中做类平抛运动,在电场方向上的分运动和从P释放后的运动情况相同，所以粒子进入磁场时沿竖直方向的速度同样为v.在垂直于电场方向上的分速度始终等于，由运动的合成和分解可得⑧
联立①⑥⑦⑧式得⑨
6.答案：解：（1）设粒子经加速电场到b孔的速度大小为v，粒子在区域I中，做匀速圆周运动对应圆心角为α，在两金属板间，由动能定理得①
在区域I中，粒子做匀速圆周运动，磁场力提供向心力，由牛顿第二定律得②
联立①②式得③
由几何关系得④
⑤
⑥
联立①②④式得⑦
（2）设区域Ⅱ中粒子沿z轴方向的分速度为，沿x轴正方向加速度大小为a，位移大小为x，运动时间为t，由牛顿第二定律得⑧
粒子在z轴方向做匀速直线运动，由运动合成与分解的规律得⑨
⑩
粒子在x方向做初速度为零的匀加速直线运动，由运动学公式得?
联立①②⑤⑧⑨⑩?式得?
（3）设粒子沿y方向偏离z轴的距离为y，其中在区域Ⅱ中沿y方向偏离的距离为，由运动学公式得?
由题意得?
联立①④⑥⑨⑩??式得?
（4）分别对应氚核、氦核、质子的位置。
7.答案：（1）甲粒子先后在两磁场中做匀速圆周运动，设半径分别为
由半径得
且解得
（2）甲粒子先后在两磁场中做匀速圆周运动，设运动时间分别为
由得，且，解得
（3）乙粒子周期性地先后在两磁场中做匀速圆周运动
若经过两磁场的次数均为
相遇时，有，解得
根据题意，舍去。
当时，有最小值，
若先后经过右侧、左侧磁场的次数分别为，经分析不可能相遇.
综上分析，比荷的最小值为。
8.答案：（1）粒子的运动半径 解得
（2）如图4所示，粒子碰撞后的运动轨迹恰好与磁场左边界相切
由几何关系得
解得
（3）粒子的运动周期
设粒子最后一次碰撞到射出磁场的时间为t'，则
（a）当 时，粒子斜向上射出磁场 解得
（b）当时，粒子斜向下射出磁场 解得
解析： （1）粒子在磁场中做匀速圆周运动由洛伦兹力提供向心力有：
，解得：
由题可得： ，解得；
（2）如图所示，粒子碰撞后的运动轨迹恰好与磁场左边界相切
由几何关系得dm=d（1+sin60°），解得。
（3）粒子的运动周期
设粒子最后一次碰撞到射出磁场的时间为t'，则
A.当时，粒子斜向上射出磁场解得
B.当时，粒子斜向下射出磁场解得。
9.答案：（1）粒子圆周运动的半径,由题意知,解得。
（2）设粒子在矩形磁场中的偏转角为α
由,得,即
在一个矩形磁场中的运动时间,解得
直线运动的时间,解得
则。
（3）将中间两磁场分别向中央移动距离x，粒子向上的偏移量
由,解得，则当时,有最大值
粒子直线运动路程的最大值
增加路程的最大值
增加时间的最大值。
10.答案：解：（1）得，几何关系，
（2）束中的离子从同一点Q射出，，，
（3）a或c束中每个离子动量的竖直分量
，，，
，
11.答案：（1）粒子初速度为零，由C点射出电场，故电场方向与平行，由A指向C。由几何关系和电场强度的定义知①
②
由动能定理有③
联立①②③式得④
（2）如图，由几何关系知，故电场中的等势线与平行。作与平行的直线与圆相切于D点，与的延长线交于P点，则自D点从圆周上穿出的粒子的动能增量最大。由几何关系知⑤
设粒子以速度进入电场时动能增量最大，在电场中运动的时间为。粒子在方向做加速度为a的匀加速运动，运动的距离等于；在垂直于的方向上做匀速运动，运动的距离等于。由牛顿第二定律和运动学公式有⑥
⑦
⑧
联立②④⑤⑥⑦⑧式得⑨
（3）设粒子以速度v进入电场时，在电场中运动的时间为t。以A为原点，粒子进入电场的方向为x轴正方向，电场方向为y轴正方向建立直角坐标系。由运动学公式有⑩
?
粒子离开电场的位置在圆周上，有?
粒子在电场中运动时，其x方向的动量不变，y方向的初始动量为零。设穿过电场前后动量变化量的大小为的粒子，离开电场时其y方向的速度分量为，由题给条件及运动学公式有?
联立②④⑥⑩???式得?
和?
另解：
由题意知，初速为0时，动量增量的大小为，此即问题的一个解。自A点以不同的速率垂直于电场方向射入电场的粒子，沿y方向位移相等时，所用时间都相同。因此，不同粒子运动到线段上时，动量变化都相同，自B点射出电场的粒子，其动量变化也为，由几何关系及运动学规律可得，此时入射速率。
12.答案：(1)垂直于纸面向里;
(2);
解析：本题考查带电粒子在有界匀强磁场中的运动问题.
（1）由题意可知，粒子刚进入磁场时应受到方向向上的洛伦兹力，因此磁场方向垂直于纸面向里.设粒子进入磁场中做圆周运动的半径为R，根据洛伦兹力公式和圆周运动规律，有
①
由此可得②
粒子穿过y轴正半轴离开磁场，其在磁场中做圆周运动的圆心在y轴正半轴上，半径应满足③
由题意，当磁感应强度大小为时，粒子的运动半径最大，由此得④
（2）若磁感应强度大小为，粒子做圆周运动的圆心仍在y轴正半轴上，
由②④式可得，此时圆弧半径为⑤
粒子会穿过图中P点离开磁场，运动轨迹如图所示.设粒子在P点的运动方向与x轴正方向的夹角为α，由几何关系
⑥
即⑦
由几何关系可得，P点与x轴的距离为
⑧
联立⑦⑧式得
⑨
13.答案：（1）设带电粒子的质量为m，电荷量为q，加速后的速度大小为v。
由动能定理有①
设粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为r，由洛伦兹力公式和牛领第二定律有②
由几何关系知d=r③
联立①②③式得④
（2）由几何关系知，带电粒子射入磁场后运动到x轴所经过的路程为⑤
带电粒子从射入磁场到运动至x轴的时间为⑥联立②④⑤⑥式得⑦
14.答案：（1）PG、QG间场强大小相等,均为E,粒子在PG间所受电场力F的方向竖直向下,设粒子的加速度大小为a,有
①
F=qE=ma②
设粒子第一次到达G时动能为Ek,由动能定理有
③
设粒子第一次到达G时所用时间为t,粒子在水平方向的位移为l,则有
④
l=v0t⑤
联立①②③④⑤式解得
⑥
⑦;
（1）设粒子穿过G一次就从电场的右侧飞出,则金属板的长度最短,由对称性知,此时金属板的长度L为⑧;
15.答案：（1）设电场强度的大小为E，小球B运动的加速度为a。根据牛顿定律、运动学公式和题给条件，有
①
②
解得③
（2）设B从O点发射时的速度为，到达P点时的动能为，两点的高度差为h，根据动能定理有④
且有
⑤
⑥
联立③④⑤⑥式得
⑦
16.答案：(1)
(2)
(3)
解析：（1）在电场中做类平抛运动,在磁场中做圆周运动，运动轨迹如图所示.设在电场中的加速度大小为，初速度大小为,它在电场中的运动时间为,第一次进入磁场的位置到原点O的距离为.由运动学公式有①
②
由题给条件，进入磁场时速度的方向与x轴正方向夹角进入磁场时速度的y分量的大小为，③
联立以上各式得，④
（2）在电场中运动吋，由牛顿第二定律有，⑤
设进入磁场时速度的大小为，由速度合成法则有，⑥
设磁感应强度大小为B,在磁场中运动的圆轨道半径为,
由洛伦兹力公式和牛顿第二定律有，⑦
由几何关系得，⑧
联立以上各式得，⑨
（3）设在电场中沿x轴正方向射出的速度大小为，在电场中的加速度大小为,由题给条件得，⑩
由牛顿第二定律有，?
设第一次射入磁场时的速度大小为,速度的方向与x轴正方向夹角为，入射点到原点的距离为，在电场中运动的时间为.由运动学公式有，?
?
?
?
联立以上各式得，?
设在磁场中做圆周运动的半径为，由⑦?式及粒子在匀强磁场中做圆周运动的半径公式得
?
所以出射点在原点左侧.设进入磁场的入射点到第一次离开磁场的出射点的距离为,由几何关系有，?
联立④⑧???式得，第一次离开磁场时的位置到原点O的距离为
?
17.答案：（1）如图(a)所示（2）（3）；
解析：（1）粒子运动的轨迹如图(a)所示.(粒子在电场中的轨迹为抛物线,在磁场中为圆弧,上下对称)
（2）粒子从电场下边界入射后在电场中做类平抛运动.设粒子从M点射入时速度的大小为,在下侧电场中运动的时间为t,加速度的大小为a;粒子进入磁场的速度大小为v,方向与电场方向的夹角为θ(见图),速度沿电场方向的分量为,根据牛顿第二定律有
①，式中q和m分别为粒子的电荷量和质量,由运动学公式有②，③，④，粒子在磁场中做匀速圆周运动,设其运动轨道半径为R,由洛伦兹力公式和牛顿第二定律得⑤，由几何关系得⑥，联立①②③④⑤⑥式得⑦
（3）由运动学公式和题给数据得，联立①②③⑦⑧式得⑨，设粒子由M点运动到N点所用的时间为,则⑩，式中T是粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期,?，由③⑦⑨⑩?得?。
18.答案：（1） （2）1:4
解析：（1）设甲种离子所带电荷量为、质量为，在磁场中做匀速圆周运动的半径为，磁场的磁感应强度大小为B，由动能定理有，由洛伦兹力公式和牛顿第二定律有, 由几何关系知,得.?
（2）设乙种离子所带电荷量为、质量为，射入磁场的速度为，在磁场中做匀速圆周运动的半径为，同理有，，由题给条件有，甲、乙两种离子的比荷之比为.
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