人教B版（2019）必修第二册高中数学 4.2.3对数函数的性质与图像 讲义

4.2.3　对数函数的性质与图像
(教师独具内容)
课程标准：了解对数函数的概念，能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图像，并通过图像了解对数函数的单调性与特殊点．
教学重点：对数函数的概念、对数函数的图像与性质．
教学难点：运用对数函数的图像与性质解决相关问题.
1．对对数函数定义的理解
同指数函数一样，对数函数仍然采用形式定义，例如y＝2log2x，y＝log2x2等都不是对数函数，只有y＝logax(a>0且a≠1)才是．
(1)观察图像，注意变化规律
①上下比较：在直线x＝1的右侧，a>1时，a越大，图像向右越靠近x轴，0②左右比较：比较图像与y＝1的交点，交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大．
(2)对于对数函数图像性质的助记口诀
对数增减有思路，函数图像看底数．底数只能大于0，等于1来也不行．底数若是大于1，图像逐渐往上升；底数0到1之间，图像逐渐往下降．无论函数增和减，图像都过(1,0)点．
2．函数y＝logax(a>0且a≠1)的底数变化对图像位置的影响
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)y＝log2x2与y＝logx3都不是对数函数．(　　)
(2)对数函数的图像一定在y轴右侧．(　　)
(3)当01，则y＝logax的函数值都大于零．(　　)
2．做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)函数y＝(a2－4a＋4)logax是对数函数，则a＝________.
(2)对数函数f(x)＝logax的图像过点(2,1)，则f(8)＝________.
(3)若对数函数y＝log(1－2a)x，x∈(0，＋∞)是增函数，则a的取值范围为________．
题型一
对数函数的概念
例1　已知下列函数：
①y＝log(－x)(x<0)；
②y＝2log4(x－1)(x>1)；
③y＝ln
x(x>0)；
④y＝log(a2＋a)x(x>0，a是常数)．
其中，是对数函数的是________(只填序号)．
　若某对数函数的图像过点(4,2)，则该对数函数的解析式为(　　)
A．y＝log2x
B．y＝2log4x
C．y＝log2x或y＝2log4x
D．不确定
题型二
与对数函数有关的函数定义域问题
例2　求下列函数的定义域：
(1)y＝；
(2)y＝；
(3)y＝log2(16－4x)；
(4)y＝log(x－1)(3－x)．
　求下列函数的定义域：
(1)y＝＋lg
(5－3x)；
(2)y＝
.
题型三
对数函数的图像与性质
例3　(1)如图所示的曲线是对数函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx的图像，则a，b，c，d,1,0的大小关系为(　　)
A．a>b>1>d>c>0
B．b>a>1>c>d>0
C．a>b>1>c>d>0
D．b>a>1>d>c>0
(2)函数y＝loga|x|＋1(0　(1)已知a>0且a≠1，则函数y＝ax与y＝loga(－x)的图像可能是(　　)
(2)函数y＝loga(x＋1)－2(a>0且a≠1)的图像恒过点________．
题型四
对数值的大小比较
例4　比较下列各组中两个值的大小：
(1)3log45,2log23；
(2)log30.2，log40.2；
(3)log3π，logπ3；
(4)log0.20.1,0.20.1.
　比较下列各组对数值的大小：
(1)log1.5，log1.6；
(2)log21.9，log23.2；
(3)log79，log4；
(4)loga3，loga10(a>0且a≠1)．
题型五
解简单的对数不等式
例5　解不等式：
(1)log2(2x＋3)≥log2(5x－6)；
(2)loga(x－4)－loga(2x－1)>0(a>0且a≠1)．
　已知f(x)＝lg
(x＋1)，若0题型六
与对数函数有关的单调性问题
例6　求函数f(x)＝log0.4(8－2x－x2)的单调区间，并说明在每一个区间上的单调性．
　函数y＝log2(－x2＋2x＋3)的单调递减区间是________．
题型七
有关对数函数的值域与最值问题
例7　求下列函数的值域：
(1)y＝log2(x2＋4)；
(2)y＝log(3＋2x－x2)．
　(1)函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a，则a的值为(　　)
A.
B.
C．2
D．4
(2)求函数y＝log2(2－x)＋log2(x＋2)的值域．
1．函数f(x)＝＋lg
(1＋x)的定义域是(　　)
A．(－∞，－1)
B．(1，＋∞)
C．(－1,1)∪(1，＋∞)
D．(－∞，＋∞)
2．函数y＝loga(x－2)＋5(a>0且a≠1)的图像过定点(　　)
A．(1,0)
B．(3,1)
C．(3,5)
D．(1,5)
3．(多选)已知函数f(x)＝ln
x，g(x)＝lg
x，h(x)＝log3x，直线y＝a与这三个函数图像的交点的横坐标分别是x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系可能是(　　)
A．x2B．x1＝x2＝x3
C．x1D．x34．不等式log(x＋1)>log(3－x)的解集是________．
5．已知函数f(x)＝lg
(ax2＋2x＋1)．
(1)若f(x)的值域为R，求实数a的取值范围；
(2)若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围．
一、选择题
1．若f(x)＝eq
\f(1,log
eq
\s\do10(
)
?2x＋1?)，则f(x)的定义域为(　　)
A.
B.
C.∪(0，＋∞)
D.
2．若函数y＝loga(x＋b)(a>0且a≠1)的图像过点(－1,0)和(0,1)，则(　　)
A．a＝2，b＝2
B．a＝，b＝2
C．a＝2，b＝1
D．a＝，b＝
3．函数y＝|log2x|的图像是(　　)
4．若函数y＝loga(x2－ax＋2)在区间(－∞，1]上为减函数，则a的取值范围为(　　)
A．(0,1)
B．[1，＋∞)
C．[2,3)
D．(1,3)
5．(多选)已知f(x)＝lg
(10＋x)＋lg
(10－x)，则(　　)
A．f(x)是奇函数
B．f(x)是偶函数
C．f(x)在(0,10)上单调递增
D．f(x)在(0,10)上单调递减
二、填空题
6．函数f(x)＝－5loga(x－1)＋2(a>0且a≠1)的图像恒过定点P，则点P的坐标是________．
7．设a>0且a≠1，函数f(x)＝loga(x2－2x＋3)有最小值，则不等式loga(x－1)>0的解集为________．
8．已知函数f(x)＝则f(f(－3))＝________，f(x)的最小值是________．
三、解答题
9．已知函数y＝f(x)的图像与g(x)＝logax(a>0且a≠1)的图像关于x轴对称，且g(x)的图像过点(9,2)．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若f(3x－1)>f(－x＋5)成立，求x的取值范围．
10．已知f(x)＝(logx)2－3logx，x∈[2,4]，试求f(x)的最大值与最小值．
1．已知函数f(x)＝loga(x＋1)，g(x)＝loga(4－2x)(a>0且a≠1)．
(1)求函数y＝f(x)－g(x)的定义域；
(2)求使函数y＝f(x)－g(x)的值为正数的x的取值范围．
2．已知函数f(x)＝loga(a>0且a≠1)．
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断函数f(x)的奇偶性；
(3)求使f(x)>0的x的取值范围．
4.2.3　对数函数的性质与图像
(教师独具内容)
课程标准：了解对数函数的概念，能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图像，并通过图像了解对数函数的单调性与特殊点．
教学重点：对数函数的概念、对数函数的图像与性质．
教学难点：运用对数函数的图像与性质解决相关问题.
1．对对数函数定义的理解
同指数函数一样，对数函数仍然采用形式定义，例如y＝2log2x，y＝log2x2等都不是对数函数，只有y＝logax(a>0且a≠1)才是．
(1)观察图像，注意变化规律
①上下比较：在直线x＝1的右侧，a>1时，a越大，图像向右越靠近x轴，0②左右比较：比较图像与y＝1的交点，交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大．
(2)对于对数函数图像性质的助记口诀
对数增减有思路，函数图像看底数．底数只能大于0，等于1来也不行．底数若是大于1，图像逐渐往上升；底数0到1之间，图像逐渐往下降．无论函数增和减，图像都过(1,0)点．
2．函数y＝logax(a>0且a≠1)的底数变化对图像位置的影响
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)y＝log2x2与y＝logx3都不是对数函数．(　　)
(2)对数函数的图像一定在y轴右侧．(　　)
(3)当01，则y＝logax的函数值都大于零．(　　)
答案　(1)√　(2)√　(3)×
2．做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)函数y＝(a2－4a＋4)logax是对数函数，则a＝________.
(2)对数函数f(x)＝logax的图像过点(2,1)，则f(8)＝________.
(3)若对数函数y＝log(1－2a)x，x∈(0，＋∞)是增函数，则a的取值范围为________．
答案　(1)3　(2)3　(3)(－∞，0)
题型一
对数函数的概念
例1　已知下列函数：
①y＝log(－x)(x<0)；
②y＝2log4(x－1)(x>1)；
③y＝ln
x(x>0)；
④y＝log(a2＋a)x(x>0，a是常数)．
其中，是对数函数的是________(只填序号)．
[解析]　对于①，真数是－x，故①不是对数函数；对于②，2log4(x－1)的系数为2，而不是1，且真数是x－1，不是x，故②不是对数函数；对于③，ln
x的系数为1，真数是x，故③是对数函数；对于④，底数a2＋a＝2－，当a＝－时，底数小于0，故④不是对数函数．
[答案]　③
金版点睛
判断函数是对数函数的条件
判断一个函数是对数函数必须是形如y＝logax?a>0且a≠1?的形式，即必须满足以下条件：
?1?系数为1.
?2?底数为大于0且不等于1的常数.
?3?对数的真数仅有自变量x.
　若某对数函数的图像过点(4,2)，则该对数函数的解析式为(　　)
A．y＝log2x
B．y＝2log4x
C．y＝log2x或y＝2log4x
D．不确定
答案　A
解析　设对数函数的解析式为y＝logax(a>0且a≠1)，由题意可知loga4＝2，∴a2＝4，∴a＝2.∴该对数函数的解析式为y＝log2x.
题型二
与对数函数有关的函数定义域问题
例2　求下列函数的定义域：
(1)y＝；
(2)y＝；
(3)y＝log2(16－4x)；
(4)y＝log(x－1)(3－x)．
[解]　(1)要使函数有意义，需解得x>1且x≠2.∴函数y＝的定义域是{x|x>1且x≠2}．
(2)要使函数有意义，需
即解得x≥4.
∴所求函数的定义域是{x|x≥4}．
(3)要使函数有意义，需16－4x>0，解得x<2.
∴所求函数的定义域是{x|x<2}．
(4)要使函数有意义，需解得1金版点睛
求函数的定义域应考虑的几种情况
求函数的定义域就是求使函数的解析式有意义的自变量的取值范围．经常考虑的几种情况：①中f(x)≠0；②(n∈N
)中f(x)≥0；③logaf(x)(a>0，且a≠1)中f(x)>0；④logf(x)a(a>0)中f(x)>0且f(x)≠1；⑤[f(x)]0中f(x)≠0；⑥求抽象函数或复合函数的定义域，需正确理解函数的符号及其定义域的含义．
　求下列函数的定义域：
(1)y＝＋lg
(5－3x)；
(2)y＝
.
解　(1)要使函数有意义，需∴
∴1≤x<.∴原函数的定义域为.
(2)由题意得log0.5(4x－3)>0，可得0<4x－3<1，即3<4x<4，解得题型三
对数函数的图像与性质
例3　(1)如图所示的曲线是对数函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx的图像，则a，b，c，d,1,0的大小关系为(　　)
A．a>b>1>d>c>0
B．b>a>1>c>d>0
C．a>b>1>c>d>0
D．b>a>1>d>c>0
(2)函数y＝loga|x|＋1(0[解析]　(1)由题图可知函数y＝logax，y＝logbx的底数a>1，b>1，函数y＝logcx，y＝logdx的底数0c，d，a，b，显然b>a>1>d>c>0.故选D.
(2)函数为偶函数，在(0，＋∞)上为减函数，在(－∞，0)上为增函数，故可排除选项B，C，又x＝±1时y＝1，故选A.
[答案]　(1)D　(2)A
金版点睛
根据对数函数的图像判断底数大小的方法
作直线y＝1与所给图像相交，交点的横坐标即为对数的底数，依据在第一象限内，自左向右，图像对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小.
　(1)已知a>0且a≠1，则函数y＝ax与y＝loga(－x)的图像可能是(　　)
(2)函数y＝loga(x＋1)－2(a>0且a≠1)的图像恒过点________．
答案　(1)B　(2)(0，－2)
解析　(1)解法一：若0若a>1，则函数y＝ax的图像上升且过点(0,1)，而函数y＝loga(－x)的图像下降且过点(－1,0)，只有B中图像符合．
解法二：首先指数函数y＝ax的图像只可能在x轴上方，函数y＝loga(－x)的图像只可能在y轴左方，从而排除A，C；再看单调性，y＝ax与y＝loga(－x)的单调性正好相反，排除D.只有B中图像符合．
解法三：如果注意到y＝loga(－x)的图像关于y轴的对称图像为y＝logax，又y＝logax与y＝ax互为反函数(图像关于直线y＝x对称)，则可直接确定选B.
(2)因为函数y＝logax(a>0且a≠1)的图像恒过点(1,0)，则令x＋1＝1，得x＝0，此时y＝loga(x＋1)－2＝－2，所以函数y＝loga(x＋1)－2(a>0且a≠1)的图像恒过点(0，－2)．
题型四
对数值的大小比较
例4　比较下列各组中两个值的大小：
(1)3log45,2log23；
(2)log30.2，log40.2；
(3)log3π，logπ3；
(4)log0.20.1,0.20.1.
[解]　(1)∵3log45＝log4125,2log23＝log29＝log481，且函数y＝log4x在(0，＋∞)上是增函数，又125>81，∴3log45>2log23.
(2)∵0>log0.23>log0.24，∴<，即log30.2(3)∵函数y＝log3x在(0，＋∞)上是增函数，且π>3，∴log3π>log33＝1.
同理，1＝logππ>logπ3，所以log3π>logπ3.
(4)∵函数y＝log0.2x在(0，＋∞)上是减函数，且0.1<0.2，
∴log0.20.1>log0.20.2＝1.
∵函数y＝0.2x在R上是减函数，且0<0.1，
∴0.20.1<0.20＝1.
∴log0.20.1>0.20.1.
金版点睛
比较对数值大小的常用方法
?1?比较同底的两个对数值的大小，常利用对数函数的单调性.
?2?比较不同底数的两个对数值的大小，常用以下两种方法：①先利用对数换底公式化为同底的对数，再利用对数函数的单调性比较大小；②在同一象限内利用对数函数图像的位置关系比较大小.
?3?比较底数与真数都不同的两个对数值的大小，常借助中间量?如1，0，－1等?.
?4?比较多个对数值的大小，则应先根据每个数的结构特征，以及它们与中间量“0”和“1”的大小情况进行分组，再比较各组内的对数值的大小即可.
?5?比较含参数的两个对数值的大小，要注意对底数是否大于1进行分类讨论，有时也要注意挖掘所给对数值的隐含条件.例如：比较loga?b2－b＋1?与loga
eq
\s\up15(
)
的大小时，要注意隐含条件：b2－b＋1＝＋≥.
　比较下列各组对数值的大小：
(1)log1.5，log1.6；
(2)log21.9，log23.2；
(3)log79，log4；
(4)loga3，loga10(a>0且a≠1)．
解　(1)∵y＝logx在(0，＋∞)上单调递减，1.5<1.6，∴log1.5>log1.6.
(2)∵y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，1.9<3.2，
∴log21.9(3)∵log79>0，log4<0，∴log79>log4.
(4)当a>1时，y＝logax在(0，＋∞)上单调递增，
∴loga3当0∴loga3>loga10.
题型五
解简单的对数不等式
例5　解不等式：
(1)log2(2x＋3)≥log2(5x－6)；
(2)loga(x－4)－loga(2x－1)>0(a>0且a≠1)．
[解]　(1)原不等式等价于
解得所以不等式的解集为.
(2)原不等式化为loga(x－4)>loga(2x－1)．
当a>1时，不等式等价于解得x∈?.
当0解得x>4.
综上可知，当a>1时，解集为?；当04}．
金版点睛
求解简单对数不等式的一般方法
解对数不等式时应根据对数函数的单调性转化为关于真数的不等式，求解时应注意原对数式的真数大于0的条件．常见对数不等式的类型如下：
　已知f(x)＝lg
(x＋1)，若0解　因为f(x)＝lg
(x＋1)，所以f(1－2x)－f(x)＝lg
(2－2x)－lg
(x＋1)．
由得－1由0(2－2x)－lg
(x＋1)＝lg
<1，
得1<<10.
因为x＋1>0，所以x＋1<2－2x<10(x＋1)，
所以－由得－所以x的取值范围是.
题型六
与对数函数有关的单调性问题
例6　求函数f(x)＝log0.4(8－2x－x2)的单调区间，并说明在每一个区间上的单调性．
[解]　由8－2x－x2>0得函数f(x)的定义域是(－4,2)，
令u＝8－2x－x2＝－(x＋1)2＋9，
可知当x∈(－4，－1]时，u为增函数，
x∈[－1,2)时，u为减函数，
∵f(u)＝log0.4u在u>0上是减函数，
∴函数f(x)＝log0.4(8－2x－x2)的单调区间是(－4，－1]，[－1,2)，且在(－4，－1]上是减函数，在[－1,2)上是增函数．
金版点睛
有关对数函数单调性问题的求解思路
(1)特别注意要在u(x)>0所确定的定义域上来讨论复合函数f(x)＝logau(x)的单调性．
(2)对于形如f(x)＝logau(x)(a>0且a≠1)的一类复合函数的单调性，有a>1时与函数u(x)的单调性相同，0(3)求复合函数f(x)＝logag(x)的单调区间的步骤：
①求f(x)的定义域；②将函数f(x)＝logag(x)分解成u＝g(x)，f(u)＝logau两个函数；③在f(x)的定义域上求u的单调区间并判断f(x)的单调性；④利用同一区间上“同增(减)则f(x)增，异增减则f(x)减”得出结论．
　函数y＝log2(－x2＋2x＋3)的单调递减区间是________．
答案　[1,3)
解析　函数的定义域为(－1,3)，原函数可看作由y＝log2t，t＝－x2＋2x＋3复合而成，其中函数y＝log2t是增函数，t＝－x2＋2x＋3在区间[1,3)上是减函数，所以原函数的单调递减区间为[1,3)．
题型七
有关对数函数的值域与最值问题
例7　求下列函数的值域：
(1)y＝log2(x2＋4)；
(2)y＝log(3＋2x－x2)．
[解]　(1)y＝log2(x2＋4)的定义域是R.
因为x2＋4≥4，所以log2(x2＋4)≥log24＝2.
所以y＝log2(x2＋4)的值域为[2，＋∞)．
(2)设u＝3＋2x－x2＝－(x－1)2＋4≤4.
因为u>0，所以0又y＝logu在(0，＋∞)上为减函数，
所以logu≥log4＝－2，
所以y＝log(3＋2x－x2)的值域为[－2，＋∞)．
金版点睛
有关对数函数的值域的求法
?1?求对数函数或与对数函数相关的复合函数的值域?最值?，关键是根据单调性求解，若需换元，需考虑新元的取值范围.
?2?对于形如y＝logaf?x??a>0且a≠1?的复合函数，其值域的求解步骤如下：
①分解成y＝logau，u＝f?x?两个函数；
②求f?x?的定义域；
③求u的取值范围；
④利用y＝logau的单调性求解.
　(1)函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a，则a的值为(　　)
A.
B.
C．2
D．4
(2)求函数y＝log2(2－x)＋log2(x＋2)的值域．
答案　(1)B　(2)见解析
解析　(1)当01时，f(x)在[0,1]上为增函数，所以f(x)max＝f(1)＝a＋loga2，f(x)min＝f(0)＝1，于是1＋a＋loga2＝a，解得a＝，与a>1矛盾．综上，a＝.
(2)要使函数有意义应满足所以－2又y＝log2(2－x)＋log2(x＋2)
＝log2[(2－x)(x＋2)]＝log2(4－x2)，x∈(－2,2)，
令u＝4－x2(－2得u∈(0,4]，又因为y＝log2u是增函数，所以ymax＝2，即函数的值域为(－∞，2]．
1．函数f(x)＝＋lg
(1＋x)的定义域是(　　)
A．(－∞，－1)
B．(1，＋∞)
C．(－1,1)∪(1，＋∞)
D．(－∞，＋∞)
答案　C
解析　由题意知解得x>－1，且x≠1.
2．函数y＝loga(x－2)＋5(a>0且a≠1)的图像过定点(　　)
A．(1,0)
B．(3,1)
C．(3,5)
D．(1,5)
答案　C
解析　∵loga1＝0，∴当x＝3时，y＝loga1＋5＝5，即函数图像过定点(3,5)．
3．(多选)已知函数f(x)＝ln
x，g(x)＝lg
x，h(x)＝log3x，直线y＝a与这三个函数图像的交点的横坐标分别是x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系可能是(　　)
A．x2B．x1＝x2＝x3
C．x1D．x3答案　ABC
解析　分别作出三个函数的大致图像和直线y＝a，如图所示．由图可知，当a<0时，x20时，x14．不等式log(x＋1)>log(3－x)的解集是________．
答案　{x|－1解析　原不等式等价于解得－15．已知函数f(x)＝lg
(ax2＋2x＋1)．
(1)若f(x)的值域为R，求实数a的取值范围；
(2)若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围．
解　(1)∵f(x)的值域为R，
∴要求u＝ax2＋2x＋1的值域包含(0，＋∞)．
当a<0时，显然不可能；
当a＝0时，u＝2x＋1∈R成立；
当a>0时，u＝ax2＋2x＋1的值域包含(0，＋∞)，
则Δ＝4－4a≥0，解得0综上可知，a的取值范围是0≤a≤1.
(2)由已知，u＝ax2＋2x＋1的值恒为正，
∴解得a的取值范围是a>1.
一、选择题
1．若f(x)＝eq
\f(1,log
eq
\s\do10(
)
?2x＋1?)，则f(x)的定义域为(　　)
A.
B.
C.∪(0，＋∞)
D.
答案　C
解析　由题可得eq
\b\lc\{\rc\
(\a\vs4\al\co1(2x＋1>0，,log
eq
\s\do10(
)
?2x＋1?≠0，))解得x>－且x≠0，故选C.
2．若函数y＝loga(x＋b)(a>0且a≠1)的图像过点(－1,0)和(0,1)，则(　　)
A．a＝2，b＝2
B．a＝，b＝2
C．a＝2，b＝1
D．a＝，b＝
答案　A
解析　依题意可知loga(－1＋b)＝0，且logab＝1，因此－1＋b＝1，且a＝b，解得a＝b＝2.故选A.
3．函数y＝|log2x|的图像是(　　)
答案　B
解析　此函数图像过点(1,0)，且函数值为非负．故选B.
4．若函数y＝loga(x2－ax＋2)在区间(－∞，1]上为减函数，则a的取值范围为(　　)
A．(0,1)
B．[1，＋∞)
C．[2,3)
D．(1,3)
答案　C
解析　因为二次函数f(x)＝x2－ax＋2开口向上，所以f(x)＝x2－ax＋2在上单调递减，在上单调递增，又因为函数y＝loga(x2－ax＋2)在区间(－∞，1]上为减函数，所以有解得2≤a＜3.
5．(多选)已知f(x)＝lg
(10＋x)＋lg
(10－x)，则(　　)
A．f(x)是奇函数
B．f(x)是偶函数
C．f(x)在(0,10)上单调递增
D．f(x)在(0,10)上单调递减
答案　BD
解析　由得x∈(－10,10)，故函数f(x)的定义域为(－10,10)，关于原点对称．又f(－x)＝lg
(10－x)＋lg
(10＋x)＝f(x)，故函数f(x)为偶函数，而f(x)＝lg
(10＋x)＋lg
(10－x)＝lg
(100－x2)，因为函数y＝100－x2在(0,10)上单调递减，y＝lg
x在(0，＋∞)上单调递增，故函数f(x)在(0,10)上单调递减．故选BD.
二、填空题
6．函数f(x)＝－5loga(x－1)＋2(a>0且a≠1)的图像恒过定点P，则点P的坐标是________．
答案　(2,2)
解析　令x－1＝1，得x＝2，即f(2)＝2，故P(2,2)．
7．设a>0且a≠1，函数f(x)＝loga(x2－2x＋3)有最小值，则不等式loga(x－1)>0的解集为________．
答案　(2，＋∞)
解析　由x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2且f(x)有最小值，可知a>1.由loga(x－1)>0，得x－1>1，即x>2.
8．已知函数f(x)＝则f(f(－3))＝________，f(x)的最小值是________．
答案　0　2－3
解析　由题意知，f(－3)＝1，所以f(f(－3))＝f(1)＝0.又由复合函数的单调性，可知当x<1时，f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0,1)上单调递增；由对勾函数的性质，可知当x≥1时，f(x)在(1，)上单调递减，在(，＋∞)上单调递增，所以f(x)min＝min{f(0)，f()}＝min{0,2－3}＝2－3.
三、解答题
9．已知函数y＝f(x)的图像与g(x)＝logax(a>0且a≠1)的图像关于x轴对称，且g(x)的图像过点(9,2)．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若f(3x－1)>f(－x＋5)成立，求x的取值范围．
解　(1)∵g(x)＝logax(a>0且a≠1)的图像过点(9,2)，
∴loga9＝2，解得a＝3，∴g(x)＝log3x.
又函数y＝f(x)的图像与g(x)＝log3x的图像关于x轴对称，∴f(x)＝logx.
(2)由(1)知f(3x－1)>f(－x＋5)，即log(3x－1)>log(－x＋5)，则
解得∴x的取值范围为.
10．已知f(x)＝(logx)2－3logx，x∈[2,4]，试求f(x)的最大值与最小值．
解　令t＝logx，则y＝t2－3t＝2－，
∵2≤x≤4，∴log4≤logx≤log2，即－2≤t≤－1.
∵y＝2－在[－2，－1]上单调递减，
∴当t＝－2时，y取最大值为10；
当t＝－1时，y取最小值为4.
故f(x)的最大值为10，最小值为4.
1．已知函数f(x)＝loga(x＋1)，g(x)＝loga(4－2x)(a>0且a≠1)．
(1)求函数y＝f(x)－g(x)的定义域；
(2)求使函数y＝f(x)－g(x)的值为正数的x的取值范围．
解　(1)由题意，知f(x)－g(x)＝loga(x＋1)－loga(4－2x)．
由解得所以－1所以函数y＝f(x)－g(x)的定义域是(－1,2)．
(2)由f(x)－g(x)>0，得f(x)>g(x)，
即loga(x＋1)>loga(4－2x)．①
当a>1时，由①可得x＋1>4－2x，解得x>1.
又因为－1当0又因为－1综上所述，当a>1时，x的取值范围是(1,2)；
当02．已知函数f(x)＝loga(a>0且a≠1)．
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断函数f(x)的奇偶性；
(3)求使f(x)>0的x的取值范围．
解　(1)由>0，得－1(2)由(1)，知f(x)的定义域关于原点对称．
又因为f(－x)＝loga＝－loga＝－f(x)，
所以f(x)是奇函数．
(3)当a>1时，由loga>0＝loga1，得>1.
所以0当00＝loga1，得0<<1，
所以－1故当a>1时，x的取值范围是{x|0