人教B版（2019）必修第二册高中数学 4.3指数函数与对数函数的关系 讲义

第四章指数函数、对数函数与幂函数
4.3指数函数与对数函数的关系
讲义
(教师独具内容)
课程标准：1.了解反函数的概念.2.知道对数函数y＝logax(a>0且a≠1)与指数函数y＝ax(a>0且a≠1)互为反函数．
教学重点：反函数的概念及互为反函数图像间的关系，对比对数函数y＝logax(a>0且a≠1)与指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图像和性质，深刻理解两者的关系．
教学难点：对数函数y＝logax(a>0且a≠1)与指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图像的对称关系.
互为反函数的两个函数的关系
(1)原函数的定义域、值域分别是其反函数的值域、定义域．
(2)互为反函数的两个函数的图像关于直线y＝x对称，故函数y＝ax的图像与y＝logax的图像关于直线y＝x对称(其中a＞0且a≠1)．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)任何一个函数都有反函数．(　　)
(2)函数y＝2x的定义域是函数y＝log2x的值域．(　　)
(3)函数y＝x2的反函数是y＝.(　　)
2．做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)函数y＝logx的反函数为________．
(2)函数y＝log(x－1)的反函数为________．
(3)若点(1,2)在函数y＝f(x)的图像上，则点________必在其反函数y＝f－1(x)的图像上．
题型一
求函数的反函数
例1　求下列函数的反函数．
(1)y＝2x＋3；
(2)y＝logx；
(3)y＝x－1；
(4)y＝0.2x＋1(x≤1)．
　求下列函数的反函数：
(1)y＝log(2x＋1)；(2)y＝.
题型二
反函数性质的应用
例2　已知函数y＝ax＋b的图像过点(1,4)，其反函数的图像过点(2,0)，求a，b的值．
　已知函数f(x)＝ax＋b(a>0且a≠1)的图像过点(1,7)，其反函数f－1(x)的图像过点(4,0)，求f(x)的表达式．
题型三
指数函数与对数函数图像间的关系
例3　已知lg
a＋lg
b＝0，函数f(x)＝ax与函数g(x)＝－logbx的图像可能是(　　)
　y＝log2x的反函数是y＝f－1(x)，则函数y＝f－1(1－x)的图像是下图中的(　　)
题型四
指数函数与对数函数的综合应用
例4　(1)已知f(x)＝loga(a－ax)(a>1)．
①求函数f(x)的定义域、值域；
②判断f(x)的单调性，并证明；
(2)设方程2x＋x－3＝0的根为m，方程log2x＋x－3＝0的根为n，求m＋n的值．
　(1)已知0A．1
B．2
C．3
D．4
(2)已知f(x)＝log4(4x－1)．
①求f(x)的定义域；
②讨论f(x)的单调性；
③求f(x)在区间上的值域．
1．函数f(x)＝log4x与g(x)＝22x的图像(　　)
A．关于x轴对称
B．关于y轴对称
C．关于原点对称
D．关于直线y＝x对称
2．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝(　　)
A．log2x
B.
C．logx
D．2x－2
3．(多选)已知函数y＝ex的图像与函数y＝f(x)的图像关于直线y＝x对称，则(　　)
A．f(x)＝ln
x(x>0)
B．f(2x)＝－e2x(x∈R)
C．f(x)＝－ex(x∈R)
D．f(2x)＝ln
x＋ln
2(x>0)
4．若函数y＝log2x＋2的反函数的定义域为(3，＋∞)，则此函数的定义域为________．
5．若点A(1,2)既在函数f(x)＝ax2＋b(x≥0)的图像上，又在f(x)的反函数f－1(x)的图像上，求a，b的值．
一、选择题
1．已知函数y＝f(x)有反函数，则方程f(x)＝0的根的情况是(　　)
A．有且仅有一个实根
B．至少有一个实根
C．至多有一个实根
D．0个，1个或1个以上实根
2．将y＝2x的图像________，再作关于直线y＝x对称的图像，可得函数y＝log2(x＋1)的图像．横线处应填写(　　)
A．先向左平移1个单位
B．先向右平移1个单位
C．先向上平移1个单位
D．先向下平移1个单位
3．若指数函数y＝ax当x<0时，有04．函数f(x)与g(x)＝x互为反函数，则函数f(4－x2)的单调递增区间是(　　)
A．(－∞，0]
B．[0，＋∞)
C．(－2,0]
D．[0,2)
5．(多选)已知e是自然对数的底数，函数f(x)＝ex＋x－2的零点为a，函数g(x)＝ln
x＋x－2的零点为b，则下列不等式中成立的是(　　)
A．f(a)B．f(a)C．g(a)D．g(a)二、填空题
6．函数y＝的反函数是________．
7．函数f(x)＝logax(a>0且a≠1)满足f(9)＝2，则f－1(－log92)＝________.
8．已知函数f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的减函数，其图像经过A(－4,1)，B(0，－1)两点，函数f(x)的反函数是f－1(x)，则f－1(1)的值是________；不等式|f(x－2)|<1的解集是________．
三、解答题
9．已知函数f(x)＝loga(2－x)(a>1)．
(1)求函数f(x)的定义域、值域；
(2)求函数f(x)的反函数f－1(x)；
(3)判断f－1(x)的单调性．
10．已知函数f(x)＝lg
(x＋1)．
(1)当x∈[1,9]时，求函数f(x)的反函数；
(2)若01．已知函数f(x)＝x2－3tx＋1，其定义域为[0,3]∪[12,15]．
(1)当t＝2时，求函数f(x)的反函数f－1(x)；
(2)如果函数f(x)在其定义域内有反函数，求实数t的取值范围．
2．已知奇函数f(x)＝的反函数f－1(x)的图像过点A(－3,1)．
(1)求实数a，b的值；
(2)解关于x的不等式f－1(x)>－1.
第四章指数函数、对数函数与幂函数
4.3指数函数与对数函数的关系
讲义
(教师独具内容)
课程标准：1.了解反函数的概念.2.知道对数函数y＝logax(a>0且a≠1)与指数函数y＝ax(a>0且a≠1)互为反函数．
教学重点：反函数的概念及互为反函数图像间的关系，对比对数函数y＝logax(a>0且a≠1)与指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图像和性质，深刻理解两者的关系．
教学难点：对数函数y＝logax(a>0且a≠1)与指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图像的对称关系.
互为反函数的两个函数的关系
(1)原函数的定义域、值域分别是其反函数的值域、定义域．
(2)互为反函数的两个函数的图像关于直线y＝x对称，故函数y＝ax的图像与y＝logax的图像关于直线y＝x对称(其中a＞0且a≠1)．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)任何一个函数都有反函数．(　　)
(2)函数y＝2x的定义域是函数y＝log2x的值域．(　　)
(3)函数y＝x2的反函数是y＝.(　　)
答案　(1)×　(2)√　(3)×
2．做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)函数y＝logx的反函数为________．
(2)函数y＝log(x－1)的反函数为________．
(3)若点(1,2)在函数y＝f(x)的图像上，则点________必在其反函数y＝f－1(x)的图像上．
答案　(1)y＝x　(2)y＝x＋1　(3)(2,1)
题型一
求函数的反函数
例1　求下列函数的反函数．
(1)y＝2x＋3；
(2)y＝logx；
(3)y＝x－1；
(4)y＝0.2x＋1(x≤1)．
[解]　(1)由y＝2x＋3得x＝y－，
所以函数y＝2x＋3的反函数是y＝x－.
(2)y＝logx的底数是，它的反函数是指数函数y＝x.
(3)y＝x－1的值域是(－1，＋∞)，所以它的反函数为函数y＝log(x＋1)(x>－1)．
(4)因为y＝0.2x＋1，所以y－1＝0.2x，x＝log0.2(y－1)，对调其中的x和y得y＝log0.2(x－1)，
因为函数y＝0.2x＋1(x≤1)的值域是{y|y≥1.2}，所以y＝log0.2(x－1)的定义域为{x|x≥1.2}，即函数y＝0.2x＋1(x≤1)的反函数是y＝log0.2(x－1)(x≥1.2)．
金版点睛
　求下列函数的反函数：
(1)y＝log(2x＋1)；(2)y＝.
解　(1)由y＝log(2x＋1)，得2x＋1＝y，
所以x＝×y－，
对调x，y得y＝×x－，
所以y＝log(2x＋1)的反函数是y＝×x－.
(2)由y＝，得2x(y－1)＝y＋1.
∵y≠1，∴2x＝.①
∵2x>0，∴>0，解得y>1或y<－1.
故反函数的定义域是{x|x>1或x<－1}．
由①式，得x＝log2.
因此，所求的反函数为y＝log2(x<－1或x>1)．
题型二
反函数性质的应用
例2　已知函数y＝ax＋b的图像过点(1,4)，其反函数的图像过点(2,0)，求a，b的值．
[解]　解法一：∵y＝ax＋b的图像过点(1,4)，
∴a＋b＝4，①
由y＝ax＋b得ax＝y－b，
∴x＝loga(y－b)，对调x，y得y＝loga(x－b)，
将点(2,0)代入y＝loga(x－b)得loga(2－b)＝0，
∴2－b＝1.②
由①②解得
解法二：∵y＝ax＋b的图像过点(1,4)，∴a＋b＝4.①
又∵y＝ax＋b的反函数图像过点(2,0)，
∴点(0,2)在原函数y＝ax＋b的图像上，
∴a0＋b＝2.②
联立①②得
金版点睛
利用反函数的性质解题
互为反函数的图像关于直线y＝x对称是反函数的重要性质，由此可得互为反函数图像上任一成对的相应点也关于y＝x对称，所以若点?a，b?在函数y＝f?x?的图像上，则点?b，a?必在其反函数y＝f－1?x?的图像上.
　已知函数f(x)＝ax＋b(a>0且a≠1)的图像过点(1,7)，其反函数f－1(x)的图像过点(4,0)，求f(x)的表达式．
解　∵y＝f－1(x)的图像过点(4,0)，
∴y＝f(x)的图像过点(0,4)，
∴1＋b＝4，∴b＝3，又∵f(x)＝ax＋b的图像过点(1,7)，
∴a＋b＝7，∴a＝4.∴f(x)＝4x＋3.
题型三
指数函数与对数函数图像间的关系
例3　已知lg
a＋lg
b＝0，函数f(x)＝ax与函数g(x)＝－logbx的图像可能是(　　)
[解析]　∵lg
a＋lg
b＝0，∴ab＝1，则b＝，从而g(x)＝－logbx＝logax，故g(x)与f(x)＝ax互为反函数，图像关于直线y＝x对称．结合选项可知选B.
[答案]　B
金版点睛
利用反函数的性质识图
指数函数与对数函数互为反函数，二者的图像关于直线y＝x对称.在有关指数函数与对数函数的图像识别问题中利用这一性质，结合平移翻转等可以很方便地解决问题.
　y＝log2x的反函数是y＝f－1(x)，则函数y＝f－1(1－x)的图像是下图中的(　　)
答案　C
解析　∵y＝log2x的反函数为y＝f－1(x)＝2x，则y＝f－1(1－x)＝21－x＝2·2－x＝2·x，故排除A，B.又此函数图像过(0,2)，故正确答案为C.
题型四
指数函数与对数函数的综合应用
例4　(1)已知f(x)＝loga(a－ax)(a>1)．
①求函数f(x)的定义域、值域；
②判断f(x)的单调性，并证明；
(2)设方程2x＋x－3＝0的根为m，方程log2x＋x－3＝0的根为n，求m＋n的值．
[解]　(1)①要使函数f(x)＝loga(a－ax)(a>1)有意义，需满足a－ax>0，即ax1，∴x<1，故定义域是(－∞，1)，又a－ax∈(0，a)，所以值域是(－∞，1)．
②设x1(2)将方程整理得2x＝－x＋3，log2x＝－x＋3.如图可知，m是指数函数y＝2x的图像与直线y＝－x＋3交点A的横坐标，n是对数函数y＝log2x的图像与直线y＝－x＋3交点B的横坐标．由于函数y＝2x与y＝log2x互为反函数，所以它们的图像关于直线y＝x对称，由题意可得出A，B两点也关于直线y＝x对称，于是可设A，B两点的坐标为A(m，n)，B(n，m)．而A，B都在直线y＝－x＋3上，
∴n＝－m＋3(A点坐标代入)，或m＝－n＋3(B点坐标代入)，故m＋n＝3.
金版点睛
指数函数与对数函数综合问题的解决方法
?1?指数函数y＝ax?a>0且a≠1?与对数函数y＝logax?a>0且a≠1?互为反函数，应从概念、图像和性质三个方面理解它们之间的联系与区别.
?2?利用数形结合、等价转化的思想可较为简便地解决函数零点?方程的根?问题.
　(1)已知0A．1
B．2
C．3
D．4
(2)已知f(x)＝log4(4x－1)．
①求f(x)的定义域；
②讨论f(x)的单调性；
③求f(x)在区间上的值域．
答案　(1)B　(2)见解析
解析　(1)函数y＝a|x|－|logax|(0画出函数f(x)＝a|x|(0(2)①由4x－1>0，解得x>0，
因此f(x)的定义域为(0，＋∞)．
②设0因此log4(4x1－1)x2－1)，即f(x1)故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
③因为f(x)在区间上单调递增，
又f＝0，f(2)＝log415，
因此f(x)在上的值域为[0，log415]．
1．函数f(x)＝log4x与g(x)＝22x的图像(　　)
A．关于x轴对称
B．关于y轴对称
C．关于原点对称
D．关于直线y＝x对称
答案　D
解析　∵g(x)＝22x＝4x，∴函数f(x)＝log4x与g(x)＝22x互为反函数，它们的图像关于直线y＝x对称．
2．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝(　　)
A．log2x
B.
C．logx
D．2x－2
答案　A
解析　y＝ax的反函数f(x)＝logax，则1＝loga2，∴a＝2.故f(x)＝log2x.
3．(多选)已知函数y＝ex的图像与函数y＝f(x)的图像关于直线y＝x对称，则(　　)
A．f(x)＝ln
x(x>0)
B．f(2x)＝－e2x(x∈R)
C．f(x)＝－ex(x∈R)
D．f(2x)＝ln
x＋ln
2(x>0)
答案　AD
解析　由题意可得，y＝f(x)是y＝ex的反函数，∴f(x)＝ln
x(x>0)，∴f(2x)＝ln
(2x)＝ln
2＋ln
x(x>0)．故选AD.
4．若函数y＝log2x＋2的反函数的定义域为(3，＋∞)，则此函数的定义域为________．
答案　(2，＋∞)
解析　函数y＝log2x＋2的反函数的定义域为(3，＋∞)，即这个函数的值域为(3，＋∞)，∴log2x＋2>3，即log2x>1，∴x>2.则此函数的定义域为(2，＋∞)．
5．若点A(1,2)既在函数f(x)＝ax2＋b(x≥0)的图像上，又在f(x)的反函数f－1(x)的图像上，求a，b的值．
解　∵f－1(1)＝2，∴f(2)＝1.又f(1)＝2，
∴解得
一、选择题
1．已知函数y＝f(x)有反函数，则方程f(x)＝0的根的情况是(　　)
A．有且仅有一个实根
B．至少有一个实根
C．至多有一个实根
D．0个，1个或1个以上实根
答案　C
解析　若f(x)＝0有根m，则f(m)＝0，又因为f(x)有反函数，所以0在y＝f－1(x)关系下有唯一的值与之对应，故m必唯一，所以y＝f(x)的图像与x轴至多有一个交点，即方程f(x)＝0至多有一个实根．
2．将y＝2x的图像________，再作关于直线y＝x对称的图像，可得函数y＝log2(x＋1)的图像．横线处应填写(　　)
A．先向左平移1个单位
B．先向右平移1个单位
C．先向上平移1个单位
D．先向下平移1个单位
答案　D
解析　与函数y＝log2(x＋1)的图像关于直线y＝x对称的曲线是函数y＝2x－1的图像．为了得到它，只需将y＝2x的图像向下平移1个单位．故选D.
3．若指数函数y＝ax当x<0时，有0答案　A
解析　∵x<0时，y＝ax∈(0,1)，∴a>1.∴y＝logax单调递增，y＝a－x＝x单调递减．结合选项知，选A.
4．函数f(x)与g(x)＝x互为反函数，则函数f(4－x2)的单调递增区间是(　　)
A．(－∞，0]
B．[0，＋∞)
C．(－2,0]
D．[0,2)
答案　D
解析　∵函数f(x)与g(x)＝x互为反函数，∴f(x)＝logx＝－log2x(x>0)，则函数f(4－x2)＝－log2(4－x2)．由4－x2>0，得－25．(多选)已知e是自然对数的底数，函数f(x)＝ex＋x－2的零点为a，函数g(x)＝ln
x＋x－2的零点为b，则下列不等式中成立的是(　　)
A．f(a)B．f(a)C．g(a)D．g(a)答案　AD
解析　分别作出函数y＝ex，y＝ln
x，y＝2－x的图像，如图所示，不难发现a<1二、填空题
6．函数y＝的反函数是________．
答案　y＝
解析　当x<0时，y＝x＋1的反函数是y＝x－1，x<1；
当x≥0时，y＝ex的反函数是y＝ln
x，x≥1.
故原函数的反函数为y＝
7．函数f(x)＝logax(a>0且a≠1)满足f(9)＝2，则f－1(－log92)＝________.
答案　
解析　∵loga9＝2，∴a＝3，而f－1(x)＝ax，∴f－1(x)＝3x，∴f－1(－log92)＝3－log92＝3
eq
\s\up15(log3)
＝.
8．已知函数f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的减函数，其图像经过A(－4,1)，B(0，－1)两点，函数f(x)的反函数是f－1(x)，则f－1(1)的值是________；不等式|f(x－2)|<1的解集是________．
答案　－4　(－2,2)
解析　由题意，可知f－1(x)的图像过点(1，－4)和点(－1，0)，∴f－1(1)＝－4；∵|f(x－2)|<1，∴－1三、解答题
9．已知函数f(x)＝loga(2－x)(a>1)．
(1)求函数f(x)的定义域、值域；
(2)求函数f(x)的反函数f－1(x)；
(3)判断f－1(x)的单调性．
解　(1)要使函数f(x)有意义，需满足2－x>0，即x<2，
故函数f(x)的定义域为(－∞，2)，值域为R.
(2)由y＝loga(2－x)，得2－x＝ay，
即x＝2－ay.∴f－1(x)＝2－ax.
(3)f－1(x)在R上是减函数．
证明如下：任取x1，x2∈R且x1∵f－1(x2)－f－1(x1)＝2－ax2－2＋ax1＝a
x1－a
x2，
∵a>1，x1∴f－1(x2)∴y＝f－1(x)在R上是减函数．
10．已知函数f(x)＝lg
(x＋1)．
(1)当x∈[1,9]时，求函数f(x)的反函数；
(2)若0解　(1)令y＝f(x)＝lg
(x＋1)，所以当x∈[1,9]时，y∈[lg
2,1]，且x＋1＝10y，即x＝10y－1，互换x，y得，y＝10x－1，所以f－1(x)＝10x－1，x∈[lg
2，1]．
(2)不等式0<1，等价于1<<10且x＋1>0，解得x∈，所以原不等式中x的取值范围为.
1．已知函数f(x)＝x2－3tx＋1，其定义域为[0,3]∪[12,15]．
(1)当t＝2时，求函数f(x)的反函数f－1(x)；
(2)如果函数f(x)在其定义域内有反函数，求实数t的取值范围．
解　(1)当t＝2，f(x)＝x2－6x＋1，其定义域为[0,3]∪[12,15]，
∴f－1(x)＝
(2)若≤0，即t≤0，则函数f(x)在定义域上单调递增，所以具有反函数；
若≥15，即t≥10，则函数f(x)在定义域上单调递减，所以具有反函数；
当3≤≤12，即2≤t≤8时，由于区间[0,3]关于对称轴的对称区间是[3t－3,3t]，于是当或即t∈[2,4)或t∈(6,8]时，函数f(x)在其定义域上满足一一对应关系，具有反函数．
综上所述，t∈(－∞，0]∪[2,4)∪(6,8]∪[10，＋∞)．
2．已知奇函数f(x)＝的反函数f－1(x)的图像过点A(－3,1)．
(1)求实数a，b的值；
(2)解关于x的不等式f－1(x)>－1.
解　(1)因为奇函数f(x)＝的反函数f－1(x)过点A(－3，1)，
所以
解得a＝b＝－1.
(2)由(1)知，f(x)＝，
则f－1(x)＝log2(x>1或x<－1)，
解不等式f－1(x)＝log2>－1?x>3或x<－1.