人教B版（2019）必修第二册高中数学 4.4幂函数 讲义

第四章指数函数、对数函数与幂函数
4.4幂函数
讲义
(教师独具内容)
课程标准：1.通过具体实例，了解幂函数的概念.2.结合函数y＝x，y＝，y＝x2，y＝，y＝x3的图像，了解幂函数图像的变化规律，掌握幂函数的图像与性质．
教学重点：1.幂函数的概念.2.幂函数的图像与性质．
教学难点：幂函数性质的简单应用.
知识点一　幂函数的概念
一般地，函数y＝xα称为幂函数，其中α为常数．
知识点二　一些常用幂函数的图像
同一坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝x
eq
\s\up15(
)
的图像(如图)．
知识点三　幂函数的共同特征
(1)所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，并且图像都通过点(1,1)．
(2)如果α>0，则幂函数的图像通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．
(3)如果α<0，则幂函数在区间(0，＋∞)上是减函数，且在第一象限内：当x从右边趋向于原点时，图像在y轴右方且无限地逼近y轴；当x无限增大时，图像在x轴上方且无限地逼近x轴．
1．幂函数的特征
(1)xα的系数为1.
(2)xα的底数是自变量．
(3)xα的指数为常数．对于形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6等的函数都不是幂函数．
2．幂函数与指数函数的区别
3．一些常用幂函数的性质
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x
eq
\s\up15(
)
y＝x－1
图像
定义域
R
R
R
[0，＋∞)
(－∞，0)∪(0，＋∞)
值域
R
[0，＋∞)
R
[0，＋∞)
(－∞，0)∪(0，＋∞)
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非偶函数
奇函数
单调性
在(－∞，＋∞)上单调递增
在(－∞，0]上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增
在(－∞，＋∞)上单调递增
在[0，＋∞)上单调递增
在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递减
定点
(1,1)，(0,0)
(1,1)，(0,0)
(1,1)，(0,0)
(1,1)，(0,0)
(1,1)
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝x3＋2是幂函数．(　　)
(2)幂函数的图像必过(0,0)和(1,1)这两点．(　　)
(3)指数函数y＝ax的定义域为R，与底数a无关，幂函数y＝xα的定义域为R，与指数也无关．(　　)
(4)对于幂2
eq
\s\up15(
)
，既可以看成某指数函数的函数值，也可以看成某幂函数的函数值．(　　)
(5)当x＞1时，函数y＝x2的图像总在函数y＝x3的图像的下方．(　　)
2．做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)若y＝mxα＋(2n－4)是幂函数，则m＋n＝________.
(2)已知幂函数f(x)＝xα的图像经过点(2,8)，则f(－2)＝________.
(3)若y＝ax
eq
\s\up15(a2－)
是幂函数，则该函数的定义域是________，值域是______，奇偶性是________，单调性为____________________________．
题型一
幂函数的定义
例1　已知幂函数y＝(m2－m－1)xm2－2m－3，求此幂函数的解析式，并指出其定义域．
　(1)在函数y＝，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数为(　　)
A．0
B．1
C．2
D．3
(2)已知y＝(m2＋2m－2)x
eq
\s\up15()
＋2n－3是幂函数，求m，n的值．
题型二
幂函数的图像及应用
例2　幂函数y＝x2，y＝x－1，y＝x
eq
\s\up15(
)
，y＝x
eq
\s\up15(－)
在第一象限内的图像依次是图中的曲线(　　)
A．C2，C1，C3，C4
B．C4，C1，C3，C2
C．C3，C2，C1，C4
D．C1，C4，C2，C3
　(1)如图是幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图像，则(　　)
A．－1B．n<－1,0C．－11
D．n<－1，m>1
(2)已知函数y＝x
eq
\s\up15(
)
.
①求定义域；
②判断奇偶性；
③已知该函数在第一象限的图像如图所示，试补全图像，并由图像确定单调区间．
题型三
幂函数的性质及应用
——角度1　比较幂值大小——
例3　比较下列各组数的大小：
(1)1.5
eq
\s\up15(
)
，1.7
eq
\s\up15(
)
；
(2)(－1.2)3，(－1.25)3；
(3)5.25－1,5.26－1,5.26－2；
(4)0.53,30.5，log30.5.
　比较下列各组数的大小：
(1)0.5，0.5；
(2)－1，－1；
(3)(－0.23)
eq
\s\up15(
)
，0.32
eq
\s\up15(
)
.
——角度2　解不等式——
例4　已知(a＋1)
eq
\s\up15(－)
<(3－2a)
eq
\s\up15(－)
，求实数a的取值范围．
　已知(a＋1)－2>(3－2a)－2，求a的取值范围．
1．下列函数①y＝x2＋1；②y＝x
eq
\s\up15(－)
；③y＝2x2；④y＝x
eq
\s\up15(－)
；⑤y＝x
eq
\s\up15(－)
＋1；⑥y＝5x；⑦y＝(x＋1)3.其中是幂函数的是(　　)
A．①⑤⑥
B．①②③⑦
C．②④
D．②③⑤⑦
2．函数y＝x的图像大致是图中的(　　)
3．(多选)设α∈，则使函数y＝xα的定义域为R，且为奇函数的α的值可以是(　　)
A．－1
B.
C．1
D．3
4．设a＝
eq
\s\up15(
)
，b＝
eq
\s\up15(
)
，c＝
eq
\s\up15(
)
，则a，b，c的大小关系是________(用“<”连接)．
5．已知幂函数f(x)＝x3m－9(m∈N
)的图像关于y轴对称，且在区间(0，＋∞)上是减函数，求f(x)的解析式．
一、选择题
1．下列命题中正确的是(　　)
A．当α＝0时，函数y＝xα的图像是一条直线
B．幂函数的图像都经过(0,0)，(1,1)两点
C．若幂函数y＝xα的图像关于原点对称，则y＝xα在定义域上是增函数
D．幂函数的图像不可能在第四象限
2.
已知幂函数y＝xn在第一象限内的图像如图所示，已知n取±2，±四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的n依次为(　　)
A．－2，－，，2
B．2，，－，－2
C．－，－2,2，
D．2，，－2，－
3．下列函数中，其定义域和值域不同的函数是(　　)
A．y＝x
eq
\s\up15(
)
B．y＝x
eq
\s\up15(－)
C．y＝x
eq
\s\up15(
)
D．y＝x
eq
\s\up15(
)
4．(多选)函数f(x)＝x
eq
\s\up15()
在[－1,1]上是(　　)
A．奇函数
B．偶函数
C．减函数
D．增函数
5．设a＝
eq
\s\up15()
，b＝
eq
\s\up15()
，c＝
eq
\s\up15()
，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a>c>b
B．a>b>c
C．c>a>b
D．b>c>a
二、填空题
6．若幂函数y＝(m2－2m－2)xm2－2m－1在(0，＋∞)上是增函数，则m＝________.
7．已知幂函数f(x)＝x
eq
\s\up15(－)
，若f(a＋1)8．已知函数f(x)＝若c＝0，则f(x)的值域是________；若f(x)的值域是，则实数c的取值范围是________．
三、解答题
9．比较下列各组数的大小：
(1)3
eq
\s\up15(－)
和3.1
eq
\s\up15(－)
；
(2)－8
eq
\s\up15(－)
和－
eq
\s\up15(
)
；
(3)
eq
\s\up15(－)
和
eq
\s\up15(－)
.
10．已知幂函数f(x)＝(m2－5m＋7)xm－1为偶函数．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若g(x)＝f(x)－ax－3在[1,3]上不是单调函数，求实数a的取值范围．
1．若点(，2)在幂函数f(x)的图像上，点在幂函数g(x)的图像上．
(1)求f(x)和g(x)的解析式；
(2)定义h(x)＝求函数h(x)的最大值及单调区间．
2.
如图所示，函数F(x)的图像是由指数函数f(x)＝ax与幂函数g(x)＝xb的图像“拼接”而成的．
(1)求F(x)的解析式；
(2)比较ab与ba的大小；
(3)已知(m＋4)－b<(3－2m)－b，求实数m的取值范围．
第四章指数函数、对数函数与幂函数
4.4幂函数
讲义
(教师独具内容)
课程标准：1.通过具体实例，了解幂函数的概念.2.结合函数y＝x，y＝，y＝x2，y＝，y＝x3的图像，了解幂函数图像的变化规律，掌握幂函数的图像与性质．
教学重点：1.幂函数的概念.2.幂函数的图像与性质．
教学难点：幂函数性质的简单应用.
知识点一　幂函数的概念
一般地，函数y＝xα称为幂函数，其中α为常数．
知识点二　一些常用幂函数的图像
同一坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝x
eq
\s\up15(
)
的图像(如图)．
知识点三　幂函数的共同特征
(1)所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，并且图像都通过点(1,1)．
(2)如果α>0，则幂函数的图像通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．
(3)如果α<0，则幂函数在区间(0，＋∞)上是减函数，且在第一象限内：当x从右边趋向于原点时，图像在y轴右方且无限地逼近y轴；当x无限增大时，图像在x轴上方且无限地逼近x轴．
1．幂函数的特征
(1)xα的系数为1.
(2)xα的底数是自变量．
(3)xα的指数为常数．对于形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6等的函数都不是幂函数．
2．幂函数与指数函数的区别
3．一些常用幂函数的性质
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x
eq
\s\up15(
)
y＝x－1
图像
定义域
R
R
R
[0，＋∞)
(－∞，0)∪(0，＋∞)
值域
R
[0，＋∞)
R
[0，＋∞)
(－∞，0)∪(0，＋∞)
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非偶函数
奇函数
单调性
在(－∞，＋∞)上单调递增
在(－∞，0]上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增
在(－∞，＋∞)上单调递增
在[0，＋∞)上单调递增
在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递减
定点
(1,1)，(0,0)
(1,1)，(0,0)
(1,1)，(0,0)
(1,1)，(0,0)
(1,1)
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝x3＋2是幂函数．(　　)
(2)幂函数的图像必过(0,0)和(1,1)这两点．(　　)
(3)指数函数y＝ax的定义域为R，与底数a无关，幂函数y＝xα的定义域为R，与指数也无关．(　　)
(4)对于幂2
eq
\s\up15(
)
，既可以看成某指数函数的函数值，也可以看成某幂函数的函数值．(　　)
(5)当x＞1时，函数y＝x2的图像总在函数y＝x3的图像的下方．(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√
2．做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)若y＝mxα＋(2n－4)是幂函数，则m＋n＝________.
(2)已知幂函数f(x)＝xα的图像经过点(2,8)，则f(－2)＝________.
(3)若y＝ax
eq
\s\up15(a2－)
是幂函数，则该函数的定义域是________，值域是______，奇偶性是________，单调性为____________________________．
答案　(1)3　(2)－8　(3)R　[0，＋∞)　偶函数　在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增
题型一
幂函数的定义
例1　已知幂函数y＝(m2－m－1)xm2－2m－3，求此幂函数的解析式，并指出其定义域．
[解]　∵y＝(m2－m－1)x
m2－2m－3为幂函数，
∴m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1.
当m＝2时，m2－2m－3＝－3，则y＝x－3，且有x≠0；
故m＝－1时，m2－2m－3＝0，则y＝x0，且有x≠0.
故所求幂函数的解析式为y＝x－3或y＝x0，它们的定义域都是{x|x≠0}．
金版点睛
判断函数是幂函数的依据
判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα?α为常数?的形式，即满足：?1?指数为常数；?2?底数为自变量；?3?系数为1.
　(1)在函数y＝，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数为(　　)
A．0
B．1
C．2
D．3
(2)已知y＝(m2＋2m－2)x
eq
\s\up15()
＋2n－3是幂函数，求m，n的值．
答案　(1)B　(2)见解析
解析　(1)因为y＝＝x－2，所以是幂函数；y＝2x2由于系数为2，因此不是幂函数；y＝x2＋x是两项和的形式，不是幂函数；常函数y＝1的图像比幂函数y＝x0的图像多了一个点(0,1)，所以常函数y＝1不是幂函数．故选B.
(2)由题意得解得
所以m＝－3，n＝.
题型二
幂函数的图像及应用
例2　幂函数y＝x2，y＝x－1，y＝x
eq
\s\up15(
)
，y＝x
eq
\s\up15(－)
在第一象限内的图像依次是图中的曲线(　　)
A．C2，C1，C3，C4
B．C4，C1，C3，C2
C．C3，C2，C1，C4
D．C1，C4，C2，C3
[解析]　由于在第一象限内直线x＝1的右侧，幂函数y＝xα
的图像从上到下相应的指数α由大变小，即幂函数图像在第一象限内直线x＝1右侧的“高低”关系是“指大图高”，故幂函数y＝x2在第一象限内的图像为C1，y＝x－1在第一象限内的图像为C4，y＝x
eq
\s\up15(
)
在第一象限内的图像为C2，y＝x
eq
\s\up15(－)
在第一象限内的图像为C3.
[答案]　D
金版点睛
解决幂函数图像问题应把握的两个原则
?1?依据图像高低判断幂指数大小，相关结论为：在?0，1?上，指数越大，幂函数图像越靠近x轴?简记为指大图低?；在?1，＋∞?上，指数越大，幂函数图像越远离x轴?简记为指大图高?.
?2?依据图像确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图像?类似于y＝x－1或y＝x
eq
\s\up15(
)
或y＝x3?来判断.
　(1)如图是幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图像，则(　　)
A．－1B．n<－1,0C．－11
D．n<－1，m>1
(2)已知函数y＝x
eq
\s\up15(
)
.
①求定义域；
②判断奇偶性；
③已知该函数在第一象限的图像如图所示，试补全图像，并由图像确定单调区间．
答案　(1)B　(2)见解析
解析　
(1)在(0,1)内取x0，作直线x＝x0，与各图像有交点，则“点低指数大”．如图，0(2)①y＝x
eq
\s\up15(
)
＝，定义域为实数集R.
②设y＝f(x)，因为f(－x)＝＝＝f(x)，且定义域关于坐标原点对称，所以函数y＝x
eq
\s\up15(
)
是偶函数．
③因为函数为偶函数，则作出它在第一象限的图像关于y轴的对称图像，即得函数y＝x
eq
\s\up15(
)
的图像，如图所示．
根据图像易知，函数y＝x
eq
\s\up15(
)
在区间[0，＋∞)上是增函数，在区间(－∞，0]上是减函数．
题型三
幂函数的性质及应用
——角度1　比较幂值大小——
例3　比较下列各组数的大小：
(1)1.5
eq
\s\up15(
)
，1.7
eq
\s\up15(
)
；
(2)(－1.2)3，(－1.25)3；
(3)5.25－1,5.26－1,5.26－2；
(4)0.53,30.5，log30.5.
[解]　(1)∵y＝x
eq
\s\up15(
)
在[0，＋∞)上是增函数，1.5<1.7，
∴1.5
eq
\s\up15(
)
<1.7
eq
\s\up15(
)
.
(2)∵y＝x3在R上是增函数，－1.2>－1.25，
∴(－1.2)3>(－1.25)3.
(3)∵y＝x－1在(0，＋∞)上是减函数，5.25<5.26，
∴5.25－1>5.26－1.
∵y＝5.26x在R上是增函数，－1>－2.
∴5.26－1>5.26－2.
综上，5.25－1>5.26－1>5.26－2.
(4)∵0<0.53<1,30.5>1，log30.5<0，
∴log30.5<0.53<30.5.
金版点睛
幂值大小的比较方法
两个或几个幂值比较大小，当指数相同，而底数不同时，常先构造幂函数，然后利用单调性比较大小；有时可与0,1等值比较，从而进一步进行比较，这种方法常称为媒介法．
　比较下列各组数的大小：
(1)0.5，0.5；
(2)－1，－1；
(3)(－0.23)
eq
\s\up15(
)
，0.32
eq
\s\up15(
)
.
解　(1)∵幂函数y＝x0.5在[0，＋∞)上是增函数，且>，∴0.5>0.5.
(2)∵幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是减函数，
且－<－，∴－1>－1.
(3)∵y＝x
eq
\s\up15(
)
为R上的偶函数，∴(－0.23)
eq
\s\up15(
)
＝0.23
eq
\s\up15(
)
.
又∵y＝x
eq
\s\up15(
)
为[0，＋∞)上的增函数，∴0.23
eq
\s\up15(
)
<0.32
eq
\s\up15(
)
.
∴(－0.23)
eq
\s\up15(
)
<0.32
eq
\s\up15(
)
.
——角度2　解不等式——
例4　已知(a＋1)
eq
\s\up15(－)
<(3－2a)
eq
\s\up15(－)
，求实数a的取值范围．
[解]　∵y＝x
eq
\s\up15(－)
在(－∞，0)及(0，＋∞)上单调递减，
又(a＋1)
eq
\s\up15(－)
<(3－2a)
eq
\s\up15(－)
，
∴3－2a<1＋a<0或a＋1>3－2a>0或
解得金版点睛
利用幂函数解不等式的步骤
利用幂函数解不等式，实质是已知两个函数值的大小，判断自变量的大小，常与幂函数的单调性、奇偶性等综合命题．求解步骤如下：
(1)确定可以利用的幂函数．
(2)借助相应的幂函数的单调性，将不等式的大小关系，转化为自变量的大小关系．
(3)解不等式(组)求参数范围，注意分类讨论思想的应用．
　已知(a＋1)－2>(3－2a)－2，求a的取值范围．
解　由幂函数y＝x－2的图像(如图)可知，|x|越小，y值越大．
∵(a＋1)－2>(3－2a)－2，
∴|a＋1|<|3－2a|，
即(a＋1)2<(3－2a)2，
∴3a2－14a＋8>0，
结合y＝3a2－14a＋8的图像，得a<或a>4.
1．下列函数①y＝x2＋1；②y＝x
eq
\s\up15(－)
；③y＝2x2；④y＝x
eq
\s\up15(－)
；⑤y＝x
eq
\s\up15(－)
＋1；⑥y＝5x；⑦y＝(x＋1)3.其中是幂函数的是(　　)
A．①⑤⑥
B．①②③⑦
C．②④
D．②③⑤⑦
答案　C
解析　符合幂函数y＝xα形式的只有②④，故选C.
2．函数y＝x的图像大致是图中的(　　)
答案　B
解析　∵函数y＝x
eq
\s\up15(
)
是奇函数，且>1，∴函数y＝x
eq
\s\up15(
)
的图像大致为B.
3．(多选)设α∈，则使函数y＝xα的定义域为R，且为奇函数的α的值可以是(　　)
A．－1
B.
C．1
D．3
答案　CD
解析　对于A，当α＝－1时，y＝x－1，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，不满足题意；对于B，当α＝时，y＝x
eq
\s\up15(
)
，定义域为[0，＋∞)，不满足题意；对于C，当α＝1时，y＝x，定义域为R，且为奇函数，满足题意；对于D，当α＝3时，y＝x3，定义域为R，且为奇函数，满足题意．故选CD.
4．设a＝
eq
\s\up15(
)
，b＝
eq
\s\up15(
)
，c＝
eq
\s\up15(
)
，则a，b，c的大小关系是________(用“<”连接)．
答案　b解析　a＝
eq
\s\up15(
)
，b＝
eq
\s\up15(
)
，可利用幂函数的性质，得a>b，a与c可由指数函数的单调性得c>a，∴b5．已知幂函数f(x)＝x3m－9(m∈N
)的图像关于y轴对称，且在区间(0，＋∞)上是减函数，求f(x)的解析式．
解　∵幂函数f(x)＝x3m－9在(0，＋∞)上是减函数，
∴3m－9<0，即m<3.
又∵m∈N
，∴m＝1,2.
又f(x)＝x3m－9的图像关于y轴对称，即该函数是偶函数，
∴3m－9是偶数，∴m＝1.∴f(x)＝x－6.
一、选择题
1．下列命题中正确的是(　　)
A．当α＝0时，函数y＝xα的图像是一条直线
B．幂函数的图像都经过(0,0)，(1,1)两点
C．若幂函数y＝xα的图像关于原点对称，则y＝xα在定义域上是增函数
D．幂函数的图像不可能在第四象限
答案　D
解析　当α＝0时，函数y＝xα的定义域为{x|x≠0，x∈R}，其图像为直线y＝1去掉(0,1)点，故A不正确；当α<0时，幂函数y＝xα
的图像不过(0,0)点，故B不正确；幂函数y＝x－1的图像关于原点对称，但其在定义域内不是增函数，故C不正确；当x>0，α∈R时，y＝xα>0，所以幂函数的图像都不过第四象限，故D正确．
2.
已知幂函数y＝xn在第一象限内的图像如图所示，已知n取±2，±四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的n依次为(　　)
A．－2，－，，2
B．2，，－，－2
C．－，－2,2，
D．2，，－2，－
答案　B
解析　图中曲线C1的指数n>1，曲线C2的指数0eq
\s\up15(－)
>2－2知B正确．
3．下列函数中，其定义域和值域不同的函数是(　　)
A．y＝x
eq
\s\up15(
)
B．y＝x
eq
\s\up15(－)
C．y＝x
eq
\s\up15(
)
D．y＝x
eq
\s\up15(
)
答案　D
解析　A中，y＝x
eq
\s\up15(
)
＝，定义域、值域都为R；B中，y＝x
eq
\s\up15(－)
＝的定义域与值域都为(0，＋∞)；C中，y＝x
eq
\s\up15(
)
的定义域、值域也都为R；D中，y＝x
eq
\s\up15(
)
＝的定义域为R，而值域为[0，＋∞)．故选D.
4．(多选)函数f(x)＝x
eq
\s\up15()
在[－1,1]上是(　　)
A．奇函数
B．偶函数
C．减函数
D．增函数
答案　AD
解析　∵f(x)＝x
eq
\s\up15()
，∴f(－x)＝(－x)
eq
\s\up15()
＝－x
eq
\s\up15()
＝－f(x)．∴函数f(x)为奇函数．又由函数单调性的定义可证函数f(x)在[－1,1]上为增函数．故选AD.
5．设a＝
eq
\s\up15()
，b＝
eq
\s\up15()
，c＝
eq
\s\up15()
，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a>c>b
B．a>b>c
C．c>a>b
D．b>c>a
答案　A
解析　∵y＝x
eq
\s\up15()
(x>0)为增函数，又>，∴a>c.∵y＝x(x∈R)为减函数，又<，∴c>b.∴a>c>b.
二、填空题
6．若幂函数y＝(m2－2m－2)xm2－2m－1在(0，＋∞)上是增函数，则m＝________.
答案　－1或3
解析　由幂函数的定义可知，m2－2m－2＝1，解得m＝－1或m＝3，当m＝－1时，y＝x2，在(0，＋∞)上是增函数，符合题意；当m＝3时，y＝x2，符合题意，所以m＝－1或3.
7．已知幂函数f(x)＝x
eq
\s\up15(－)
，若f(a＋1)答案　(3,5)
解析　∵f(x)＝x
eq
\s\up15(－)
＝(x>0)，易知f(x)在(0，＋∞)上为减函数，又f(a＋1)∴解得∴38．已知函数f(x)＝若c＝0，则f(x)的值域是________；若f(x)的值域是，则实数c的取值范围是________．
答案　　
解析　若c＝0，由二次函数的性质可得x2＋x∈，∈，∴f(x)的值域为；若f(x)的值域为.由于当c0.∵当x＝－2时，x2＋x＝2，且当x＝－时，x2＋x＝－，要使f(x)的值域为，则∴≤c≤1，∴c的取值范围为.
三、解答题
9．比较下列各组数的大小：
(1)3
eq
\s\up15(－)
和3.1
eq
\s\up15(－)
；
(2)－8
eq
\s\up15(－)
和－
eq
\s\up15(
)
；
(3)
eq
\s\up15(－)
和
eq
\s\up15(－)
.
解　(1)函数y＝x－在(0，＋∞)上为减函数，
因为3<3.1，所以3
eq
\s\up15(－)
>3.1
eq
\s\up15(－)
.
(2)－8
eq
\s\up15(－)
＝－
eq
\s\up15(
)
，函数y＝x
eq
\s\up15(
)
在(0，＋∞)上为增函数，
因为>，所以
eq
\s\up15(
)
>
eq
\s\up15(
)
.
从而－8
eq
\s\up15(－)
<－
eq
\s\up15(
)
.
(3)
eq
\s\up15(－)
＝
eq
\s\up15(－)
，
eq
\s\up15(－)
＝
eq
\s\up15(－)
，
函数y＝x－在(0，＋∞)上为减函数，
因为>，所以
eq
\s\up15(－)
<
eq
\s\up15(－)
，
即
eq
\s\up15(－)
<
eq
\s\up15(－)
.
10．已知幂函数f(x)＝(m2－5m＋7)xm－1为偶函数．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若g(x)＝f(x)－ax－3在[1,3]上不是单调函数，求实数a的取值范围．
解　(1)由题意，得m2－5m＋7＝1，
解得m＝2或3.
因为函数f(x)是偶函数，故f(x)＝x2.
(2)g(x)＝f(x)－ax－3＝x2－ax－3，
g(x)的对称轴是x＝，
若g(x)在[1,3]上不是单调函数，
则1<<3，解得21．若点(，2)在幂函数f(x)的图像上，点在幂函数g(x)的图像上．
(1)求f(x)和g(x)的解析式；
(2)定义h(x)＝求函数h(x)的最大值及单调区间．
解　(1)设f(x)＝xα，因为点(，2)在幂函数f(x)的图像上，所以()α＝2，解得α＝2，即f(x)＝x2.
设g(x)＝xβ，因为点在幂函数g(x)的图像上，所以2β＝，解得β＝－1，即g(x)＝x－1.
(2)在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)＝x2和g(x)＝x－1的图像，可得函数h(x)的图像如图所示．由题意及图像可知h(x)＝
根据函数h(x)的解析式及图像可知，函数h(x)的最大值为1，单调递增区间为(0,1]，单调递减区间为(－∞，0)和(1，＋∞)．
2.
如图所示，函数F(x)的图像是由指数函数f(x)＝ax与幂函数g(x)＝xb的图像“拼接”而成的．
(1)求F(x)的解析式；
(2)比较ab与ba的大小；
(3)已知(m＋4)－b<(3－2m)－b，求实数m的取值范围．
解　(1)将点分别代入f(x)＝ax与g(x)＝xb，得eq
\b\lc\{\rc\
(\a\vs4\al\co1(a
eq
\s\up15(
)
＝\f(1,2)，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))b＝\f(1,2)，))解得
∴F(x)＝eq
\b\lc\{\rc\
(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)))x，x≤\f(1,4)，,x
eq
\s\up15(
)
，x>\f(1,4).))
(2)ab＝
eq
\s\up15(
)
＝2，ba＝
eq
\s\up15(
)
，
又函数y＝x在R上是减函数，2>，
∴2>
eq
\s\up15(
)
，即ab(3)由(1)可得(m＋4)
eq
\s\up15(－)
<(3－2m)
eq
\s\up15(－)
，
又幂函数y＝x
eq
\s\up15(－)
在其定义域(0，＋∞)上是减函数，
∴解得－∴实数m的取值范围是.