人教B版（2019）必修第二册高中数学第四章指数函数、对数函数与幂函数章末复习 讲义

章末
知识系统整合
堵点自记：
规律方法收藏
1．指数幂、对数式的运算、求值、化简、证明等问题主要依据指数幂、对数的运算性质，在进行指数、对数的运算时还要注意相互间的转化．
2．指数函数和对数函数的性质及图像特点是这部分知识的重点，而底数a的不同取值对函数的图像及性质的影响则是重中之重，要熟知a在(0,1)和(1，＋∞)两个区间取值时函数的单调性及图像特点．
3．幂函数与指数函数的主要区别：幂函数的底数为变量，指数函数的指数为变量．因此，当遇到一个有关幂的形式的问题时，就要看变量所在的位置从而决定是用幂函数知识解决，还是用指数函数知识去解决．
4．比较几个数的大小是幂函数、指数函数、对数函数性质应用的常见题型，在具体比较时，可以首先将它们与零比较，分出正数、负数；再将正数与1比，分出大于1还是小于1；然后在各类中两两相比较．
5．求含有指数函数和对数函数的复合函数的最值或单调区间时，首先要考虑指数函数、对数函数的定义域，再由复合函数的单调性来确定其单调区间，要注意单调区间是函数定义域的子集．其次要结合函数的图像，观察确定其最值或单调区间．
6．函数图像是高考考查的重点内容，在历年高考中都有涉及．考查形式有知式选图、知图选式、图像变换以及用图像解题．函数图像形象地显示了函数的性质．在解方程或不等式时，特别是非常规的方程或不等式，画出图像，利用数形结合能起到十分快捷的效果．
7．在建立函数模型解决实际问题中，某些实际问题提供的变量关系是确定的，即设自变量为x，因变量为y，它们已建立了函数模型，我们可以利用该函数模型得出实际问题的答案．具体解题步骤为：
第一步，审题，引进数学符号，建立函数模型．了解变量的含义，若模型中含有待定系数，则需要进一步用待定系数法或其他方法确定．
第二步，求解函数模型．利用所学数学知识，如函数的单调性、最值等，对函数模型进行解答．
第三步，转译成实际问题的解．
学科思想培优
一、指数、对数、幂函数的典型问题及求解策略
指数函数、对数函数、幂函数的性质主要是指函数的定义域、值域、单调性等，其中单调性是高考考查的重点，并且经常以复合函数的形式考查，求解此类问题时，要以基本函数的单调性为主，结合复合函数单调性判断法则，在函数定义域内进行讨论．
求定义域
[典例1]　(1)函数y＝的定义域是(　　)
A．[－2，＋∞)
B．[－1，＋∞)
C．(－∞，－1]
D．(－∞，－2]
(2)函数f(x)＝＋的定义域为(　　)
A．[－2,0)∪(0,2]
B．(－1,0)∪(0,2]
C．[－2,2]
D．(－1,2]
比较大小问题
比较几个数的大小是指数、对数、幂函数的又一重要应用，其基本方法是：将两个需要比较大小的实数看成某类函数的函数值，然后利用该类函数的单调性进行比较；有时也采用搭桥法、图像法、特殊值法、作图法等．
[典例2]　若0A．3y<3x
B．logx3C．log4xD.x[典例3]　比较三个数0.32，log20.3,20.3的大小．
与指数、对数函数相关的单调性问题
[典例4]　是否存在实数a，使函数f(x)＝loga(ax2－x)在区间[2,4]上是增函数？如果存在，求出a的取值范围；如果不存在，请说明理由．
二、函数的图像问题
对于给定的函数图像，要能从函数左右、上下的分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质．注意图像与函数解析式中参数的关系，能够通过变换画出函数的图像．
图像的变换
[典例5]　为了得到函数y＝lg
的图像，只需把函数y＝lg
x的图像上所有的点(　　)
A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
根据图像比较底数或指数的大小
[典例6]　如图是幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在第一象限内的图像，则a，b，c，d的大小关系为(　　)
A．aB．aC．bD．b根据函数解析式确定图像
[典例7]　已知f(x)＝ax－2，g(x)＝loga|x|(a>0，a≠1)，若f(4)·g(－4)<0，则y＝f(x)，y＝g(x)在同一平面直角坐标系内的大致图像是(　　)
三、数学思想方法
在解决与指数函数、对数函数、幂函数相关的问题中，常常用到多种思想方法．如比较大小、解不等式要对底数或其中的参数进行分类讨论；复合函数常常要转化成简单的二次函数、一次函数；方程不等式往往转化成函数来解决，同时利用函数图像，也体现了数形结合思想，等等．
函数与方程思想
[典例8]　若方程lg
(x－1)＋lg
(3－x)＝lg
(a－x)(a∈R)有解，求实数a的取值范围．
数形结合思想
[典例9]　方程log3x＋x＝3的解所在的区间为(　　)
A．(0,1)
B．(2,3)
C．(1,2)
D．(3，＋∞)
等价转化思想
[典例10]　已知函数f(x)＝x，当x∈[－1,1]时，求函数y＝[f(x)]2－2af(x)＋3的最小值g(a)．
分类讨论思想
[典例11]　设a>0且a≠1，若P＝loga(a3＋1)，Q＝loga(a2＋1)，试比较P，Q的大小．
章末
知识系统整合
堵点自记：
规律方法收藏
1．指数幂、对数式的运算、求值、化简、证明等问题主要依据指数幂、对数的运算性质，在进行指数、对数的运算时还要注意相互间的转化．
2．指数函数和对数函数的性质及图像特点是这部分知识的重点，而底数a的不同取值对函数的图像及性质的影响则是重中之重，要熟知a在(0,1)和(1，＋∞)两个区间取值时函数的单调性及图像特点．
3．幂函数与指数函数的主要区别：幂函数的底数为变量，指数函数的指数为变量．因此，当遇到一个有关幂的形式的问题时，就要看变量所在的位置从而决定是用幂函数知识解决，还是用指数函数知识去解决．
4．比较几个数的大小是幂函数、指数函数、对数函数性质应用的常见题型，在具体比较时，可以首先将它们与零比较，分出正数、负数；再将正数与1比，分出大于1还是小于1；然后在各类中两两相比较．
5．求含有指数函数和对数函数的复合函数的最值或单调区间时，首先要考虑指数函数、对数函数的定义域，再由复合函数的单调性来确定其单调区间，要注意单调区间是函数定义域的子集．其次要结合函数的图像，观察确定其最值或单调区间．
6．函数图像是高考考查的重点内容，在历年高考中都有涉及．考查形式有知式选图、知图选式、图像变换以及用图像解题．函数图像形象地显示了函数的性质．在解方程或不等式时，特别是非常规的方程或不等式，画出图像，利用数形结合能起到十分快捷的效果．
7．在建立函数模型解决实际问题中，某些实际问题提供的变量关系是确定的，即设自变量为x，因变量为y，它们已建立了函数模型，我们可以利用该函数模型得出实际问题的答案．具体解题步骤为：
第一步，审题，引进数学符号，建立函数模型．了解变量的含义，若模型中含有待定系数，则需要进一步用待定系数法或其他方法确定．
第二步，求解函数模型．利用所学数学知识，如函数的单调性、最值等，对函数模型进行解答．
第三步，转译成实际问题的解．
学科思想培优
一、指数、对数、幂函数的典型问题及求解策略
指数函数、对数函数、幂函数的性质主要是指函数的定义域、值域、单调性等，其中单调性是高考考查的重点，并且经常以复合函数的形式考查，求解此类问题时，要以基本函数的单调性为主，结合复合函数单调性判断法则，在函数定义域内进行讨论．
求定义域
[典例1]　(1)函数y＝的定义域是(　　)
A．[－2，＋∞)
B．[－1，＋∞)
C．(－∞，－1]
D．(－∞，－2]
(2)函数f(x)＝＋的定义域为(　　)
A．[－2,0)∪(0,2]
B．(－1,0)∪(0,2]
C．[－2,2]
D．(－1,2]
解析　(1)由题意得2x－1－27≥0，所以2x－1≥27，即2x－1≥－3，又指数函数y＝x为R上的单调减函数，所以2x－1≤－3，解得x≤－1.
(2)要使函数有意义，需
即解得x∈(－1,0)∪(0,2]．
答案　(1)C　(2)B
比较大小问题
比较几个数的大小是指数、对数、幂函数的又一重要应用，其基本方法是：将两个需要比较大小的实数看成某类函数的函数值，然后利用该类函数的单调性进行比较；有时也采用搭桥法、图像法、特殊值法、作图法等．
[典例2]　若0A．3y<3x
B．logx3C．log4xD.x解析　因为0对于A，函数y＝3x在R上单调递增，故3x<3y，错误．
对于B，根据底数a对对数函数y＝logax的影响：当0logy3，错误．
对于C，函数y＝log4x在(0，＋∞)上单调递增，故log4x对于D，函数y＝x在R上单调递减，故x>y，错误．
答案　C
[典例3]　比较三个数0.32，log20.3,20.3的大小．
解　解法一：∵0<0.32<12＝1，log20.320＝1，∴log20.3<0.32<20.3.
解法二：作出函数y＝x2，y＝log2x，y＝2x的大致图像，如图所示，画出直线x＝0.3，根据直线与三个函数图像的交点位置，即可看出log20.3<0.32<20.3.
与指数、对数函数相关的单调性问题
[典例4]　是否存在实数a，使函数f(x)＝loga(ax2－x)在区间[2,4]上是增函数？如果存在，求出a的取值范围；如果不存在，请说明理由．
解　设g(x)＝ax2－x，假设符合条件的a存在．
当a>1时，为使函数f(x)＝loga(ax2－x)在区间[2,4]上是增函数，只需g(x)＝ax2－x在区间[2,4]上是增函数，故应满足解得a>，∴a>1.
当0综上可知，当a>1时，f(x)＝loga(ax2－x)在区间[2,4]上为增函数．
二、函数的图像问题
对于给定的函数图像，要能从函数左右、上下的分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质．注意图像与函数解析式中参数的关系，能够通过变换画出函数的图像．
图像的变换
[典例5]　为了得到函数y＝lg
的图像，只需把函数y＝lg
x的图像上所有的点(　　)
A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
解析　∵y＝lg
＝lg
(x＋3)－1，∴只需将函数y＝lg
x
的图像上所有的点向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，即可得到函数y＝lg
的图像．
答案　C
根据图像比较底数或指数的大小
[典例6]　如图是幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在第一象限内的图像，则a，b，c，d的大小关系为(　　)
A．aB．aC．bD．b解析　作直线x＝2，如图所示，直线与4个幂函数图像交点的纵坐标分别为2a,2b,2c,2d.由图可知2a<2b<2c<2d，而函数y＝2x为增函数，所以a答案　A
根据函数解析式确定图像
[典例7]　已知f(x)＝ax－2，g(x)＝loga|x|(a>0，a≠1)，若f(4)·g(－4)<0，则y＝f(x)，y＝g(x)在同一平面直角坐标系内的大致图像是(　　)
解析　由f(4)·g(－4)<0知a2·loga4<0，∴loga4<0，∴0答案　B
三、数学思想方法
在解决与指数函数、对数函数、幂函数相关的问题中，常常用到多种思想方法．如比较大小、解不等式要对底数或其中的参数进行分类讨论；复合函数常常要转化成简单的二次函数、一次函数；方程不等式往往转化成函数来解决，同时利用函数图像，也体现了数形结合思想，等等．
函数与方程思想
[典例8]　若方程lg
(x－1)＋lg
(3－x)＝lg
(a－x)(a∈R)有解，求实数a的取值范围．
解　原方程等价于
即
设函数f(x)＝－x2＋5x－3，因为1数形结合思想
[典例9]　方程log3x＋x＝3的解所在的区间为(　　)
A．(0,1)
B．(2,3)
C．(1,2)
D．(3，＋∞)
解析　∵方程log3x＋x＝3可变形为log3x＝3－x，而方程log3x＝3－x的解，就是函数y＝log3x和函数y＝3－x的交点的横坐标，根据两个函数的图像可知两个函数图像的交点的横坐标一定在区间(1,3)内．
因函数f(x)＝log3x＋x－3在区间(1,2)上不满足f(1)·f(2)<0，所以方程log3x＋x＝3的解所在的区间是(2,3)．故选B.
答案　B
等价转化思想
[典例10]　已知函数f(x)＝x，当x∈[－1,1]时，求函数y＝[f(x)]2－2af(x)＋3的最小值g(a)．
解　∵x∈[－1,1]，∴x∈.
∴y＝[f(x)]2－2af(x)＋3＝2x－2ax＋3
＝2＋3－a2.
令t＝x，则t∈.
若a<，则当t＝，
即x＝1时，ymin＝－＋3＝－.
若≤a≤3，则当t＝a，即x＝loga时，ymin＝3－a2.
若a>3，则当t＝3，即x＝－1时，
ymin＝9－6a＋3＝12－6a.
综上可知，g(a)＝
分类讨论思想
[典例11]　设a>0且a≠1，若P＝loga(a3＋1)，Q＝loga(a2＋1)，试比较P，Q的大小．
解　当0又当0∴loga(a3＋1)>loga(a2＋1)，即P>Q.
当a>1时，有a3>a2，即a3＋1>a2＋1.
又当a>1时，y＝logax在(0，＋∞)上单调递增，
∴loga(a3＋1)>loga(a2＋1)，即P>Q.
综上可得，P>Q.