北师大版九年级数学下册：3.2 圆的对称性 教学设计
文档属性
| 名称 | 北师大版九年级数学下册：3.2 圆的对称性 教学设计 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 164.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-05-14 15:00:45 | ||
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文档简介
第三章 圆
《圆的对称性》教学设计说明
教学内容分析
1、圆的对称性 （1） 圆是轴对称图形，对称轴有无数条（所有经过圆心的直线都是对称轴）；（2） 圆是中心对称图形.对称中心为圆心
2、 圆的有关性质（1）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；（2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
二、教学任务分析
知识与技能
通过探索理解并掌握:（1）圆的旋转不变性；（2）圆心角、弧、弦之间相等关系定理.
教学重点：探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题．
教学难点：圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆”条件的理解及定理的证明．
三、教学设计分析
本节课设计的教学环节：认识圆的对称性（轴对称图形，中心对称图形）、认识圆心角的概念、探索圆心角，弦，弧的关系、合作学习、练习提高。
数学活动一：认识圆的对称性
提问一：我们已经学习过圆，你能说出圆的那些特征？
提问二：圆是对称图形吗？
（1）圆是轴对称图形吗？你怎么验证
圆是轴对称图形，对称轴有无数条（所有经过圆心的直线都是对称轴）
验证方法：折叠
（2）圆是中心对称图形吗？你怎么验证？
同学们请观察老师手中的两个圆有什么特点?
现在老师把这两个圆叠在一起，使它俩重合，将圆心固定． 将上面这个圆旋转任意一个角度，两个圆还重合吗?
通过旋转的方法我们知道：圆具有旋转不变的特性．即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合．圆的中心对称性是其旋转不变性的特例．即圆是中心对称图形.对称中心为圆心．
数学活动二：了解圆心角的定义
如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．
数学活动三、探索圆心角定理
尝试与交流．按下面的步骤做一做：
1．在两张透明纸上，作两个半径相等的⊙O和⊙O′，沿圆周分别将两圆剪下．
2．在⊙O和⊙O′上分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′O′B′ (如下图示)，圆心固定．注意：∠AOB和∠A′O′B′时，要使OB相对于0A的方向与O′B′相对于O′A′的方向一致，否则当OA与O′A′重合时，OB与O′B′不能重合．
3．将其中的一个圆旋转一个角度，使得OA与O′A′重合．
教师叙述步骤，同学们一起动手操作．
通过上面的做一做，你能发现哪些等量关系?同学们互相交流一下，说一说你的理由．
结论可能有：
1．由已知条件可知∠AOB=∠A′O′B′．
2．由两圆的半径相等，可以得到∠OBA=∠O′B′A′=∠OAB和∠O′A′B′．
3．由△AOB≌△A′O′B′可得到AB＝A′B′．
4．由旋转法可知=
刚才到的=理由是一种新的证明弧相等的方法——叠合法．我们在上述做一做的过程中发现，固定圆心，将其中一个圆旋转一个角度，使半径OA与O′A′重合时，由于∠AOB=∠A′O′B′．这样便得到半径OB与O′B′重合．因为点A和点A′重合，点B和点B′重合，所以AB和A′B′重合，弦AB与弦A′B′重合，即AB＝A′B′．
在上述操作过程中，你会得出什么结论?
在等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．
上面的结论，在同圆中也成立．于是得到下面的定理：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．
这就是我们通过实验利用圆的旋转不变性探索到的圆的另一个特性：圆心角、弧、弦之间相等关系定理．
注意：在运用这个定理时，一定不能忘记“在同圆或等圆中”这个前提．否则也不一定有所对的弧相等、弦相等这样的结论．
(通过举反例强化对定理的理解)请同学们画一个只能是圆心角相等的这个条件的图．
如下图示.虽然∠AOB=∠A′O′B′，但AB≠A′B′≠,
下面我们共同想一想．
在同圆或等圆中 弧相等
相等的圆心角 弦相等
如果在同圆或等圆这个前提下，将题设和结论中任何一项交换一下，结论正确吗?你是怎么想的?请你说一说．
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
注意：
（1）不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，否则，丢掉这个前提，虽然圆心角相等，但所对的弧、弦不一定相等．
（2）此定理中的“弧”一般指劣弧．
（3）要结合图形深刻体会圆心角、弧、弦这四个概念和“所对”一词的含义．否则易错用此关系．
（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，择其有关部分．如“在同圆中，等弧所对的圆心角相等”等等．
例题： 如图，AB，DE是⊙O的直径，C是⊙O的一点，且，BE与CE的大小有什么关系？为什么？
（过程见课本）
（补充例题）
例．如图，在⊙O中，AB、CD是两条弦，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为EF．
（1）如果∠AOB=∠COD，那么OE与OF的大小有什么关系？为什么？
（2）如果OE=OF，那么与的大小有什么关系？AB与CD的大小有什么关系？为什么？∠AOB与∠COD呢？
分析：（1）要说明OE=OF，只要在直角三角形AOE和直角三角形COF中说明AE=CF，即说明AB=CD，因此，只要运用前面所讲的定理即可．
（2）∵OE=OF，∴在Rt△AOE和Rt△COF中，
又有AO=CO是半径，∴Rt△AOE≌Rt△COF，
∴AE=CF，∴AB=CD，又可运用上面的定理得到 =
解：（1）如果∠AOB=∠COD，那么OE=OF
理由是：∵∠AOB=∠COD
∴AB=CD ∵OE⊥AB，OF⊥CD ∴AE=，CF= ∴AE=CF
又∵OA=OC ∴Rt△OAE≌Rt△OCF∴OE=OF
（2）如果OE=OF，那么AB=CD，=，∠AOB=∠COD
理由是： ∵OA=OC，OE=OF ∴Rt△OAE≌Rt△OCF ∴AE=CF
又∵OE⊥AB，OF⊥CD ∴AE=，CF= ∴AB=2AE，CD=2CF
∴AB=CD ∴=，∠AOB=∠COD
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《圆的对称性》教学设计说明
教学内容分析
1、圆的对称性 （1） 圆是轴对称图形，对称轴有无数条（所有经过圆心的直线都是对称轴）；（2） 圆是中心对称图形.对称中心为圆心
2、 圆的有关性质（1）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；（2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
二、教学任务分析
知识与技能
通过探索理解并掌握:（1）圆的旋转不变性；（2）圆心角、弧、弦之间相等关系定理.
教学重点：探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题．
教学难点：圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆”条件的理解及定理的证明．
三、教学设计分析
本节课设计的教学环节：认识圆的对称性（轴对称图形，中心对称图形）、认识圆心角的概念、探索圆心角，弦，弧的关系、合作学习、练习提高。
数学活动一：认识圆的对称性
提问一：我们已经学习过圆，你能说出圆的那些特征？
提问二：圆是对称图形吗？
（1）圆是轴对称图形吗？你怎么验证
圆是轴对称图形，对称轴有无数条（所有经过圆心的直线都是对称轴）
验证方法：折叠
（2）圆是中心对称图形吗？你怎么验证？
同学们请观察老师手中的两个圆有什么特点?
现在老师把这两个圆叠在一起，使它俩重合，将圆心固定． 将上面这个圆旋转任意一个角度，两个圆还重合吗?
通过旋转的方法我们知道：圆具有旋转不变的特性．即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合．圆的中心对称性是其旋转不变性的特例．即圆是中心对称图形.对称中心为圆心．
数学活动二：了解圆心角的定义
如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．
数学活动三、探索圆心角定理
尝试与交流．按下面的步骤做一做：
1．在两张透明纸上，作两个半径相等的⊙O和⊙O′，沿圆周分别将两圆剪下．
2．在⊙O和⊙O′上分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′O′B′ (如下图示)，圆心固定．注意：∠AOB和∠A′O′B′时，要使OB相对于0A的方向与O′B′相对于O′A′的方向一致，否则当OA与O′A′重合时，OB与O′B′不能重合．
3．将其中的一个圆旋转一个角度，使得OA与O′A′重合．
教师叙述步骤，同学们一起动手操作．
通过上面的做一做，你能发现哪些等量关系?同学们互相交流一下，说一说你的理由．
结论可能有：
1．由已知条件可知∠AOB=∠A′O′B′．
2．由两圆的半径相等，可以得到∠OBA=∠O′B′A′=∠OAB和∠O′A′B′．
3．由△AOB≌△A′O′B′可得到AB＝A′B′．
4．由旋转法可知=
刚才到的=理由是一种新的证明弧相等的方法——叠合法．我们在上述做一做的过程中发现，固定圆心，将其中一个圆旋转一个角度，使半径OA与O′A′重合时，由于∠AOB=∠A′O′B′．这样便得到半径OB与O′B′重合．因为点A和点A′重合，点B和点B′重合，所以AB和A′B′重合，弦AB与弦A′B′重合，即AB＝A′B′．
在上述操作过程中，你会得出什么结论?
在等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．
上面的结论，在同圆中也成立．于是得到下面的定理：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．
这就是我们通过实验利用圆的旋转不变性探索到的圆的另一个特性：圆心角、弧、弦之间相等关系定理．
注意：在运用这个定理时，一定不能忘记“在同圆或等圆中”这个前提．否则也不一定有所对的弧相等、弦相等这样的结论．
(通过举反例强化对定理的理解)请同学们画一个只能是圆心角相等的这个条件的图．
如下图示.虽然∠AOB=∠A′O′B′，但AB≠A′B′≠,
下面我们共同想一想．
在同圆或等圆中 弧相等
相等的圆心角 弦相等
如果在同圆或等圆这个前提下，将题设和结论中任何一项交换一下，结论正确吗?你是怎么想的?请你说一说．
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
注意：
（1）不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，否则，丢掉这个前提，虽然圆心角相等，但所对的弧、弦不一定相等．
（2）此定理中的“弧”一般指劣弧．
（3）要结合图形深刻体会圆心角、弧、弦这四个概念和“所对”一词的含义．否则易错用此关系．
（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，择其有关部分．如“在同圆中，等弧所对的圆心角相等”等等．
例题： 如图，AB，DE是⊙O的直径，C是⊙O的一点，且，BE与CE的大小有什么关系？为什么？
（过程见课本）
（补充例题）
例．如图，在⊙O中，AB、CD是两条弦，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为EF．
（1）如果∠AOB=∠COD，那么OE与OF的大小有什么关系？为什么？
（2）如果OE=OF，那么与的大小有什么关系？AB与CD的大小有什么关系？为什么？∠AOB与∠COD呢？
分析：（1）要说明OE=OF，只要在直角三角形AOE和直角三角形COF中说明AE=CF，即说明AB=CD，因此，只要运用前面所讲的定理即可．
（2）∵OE=OF，∴在Rt△AOE和Rt△COF中，
又有AO=CO是半径，∴Rt△AOE≌Rt△COF，
∴AE=CF，∴AB=CD，又可运用上面的定理得到 =
解：（1）如果∠AOB=∠COD，那么OE=OF
理由是：∵∠AOB=∠COD
∴AB=CD ∵OE⊥AB，OF⊥CD ∴AE=，CF= ∴AE=CF
又∵OA=OC ∴Rt△OAE≌Rt△OCF∴OE=OF
（2）如果OE=OF，那么AB=CD，=，∠AOB=∠COD
理由是： ∵OA=OC，OE=OF ∴Rt△OAE≌Rt△OCF ∴AE=CF
又∵OE⊥AB，OF⊥CD ∴AE=，CF= ∴AB=2AE，CD=2CF
∴AB=CD ∴=，∠AOB=∠COD
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