北师大版九年级数学下册：3.3 垂径定理 教案（2课时）
文档属性
| 名称 | 北师大版九年级数学下册：3.3 垂径定理 教案（2课时） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 75.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-05-14 15:00:45 | ||
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文档简介
3
垂径定理
第1课时 垂径定理(1)
课标要求
【知识与技能】
掌握垂径定理．学会运用垂径定理解决一些有关证明、计算和作图问题．
【过程与方法】
经历探索发现圆的对称性，证明垂径定理的过程，锻炼学生的思维品质，学习证明的方法．
【情感态度】
在学生通过观察、操作、变换和研究的过程中进一步培养学生的思维能力、创新意识和良好的运用数学的习惯和意识．
【教学重点】
垂径定理的发现、记忆与证明．
【教学难点】
垂径定理的运用．
教学过程
一、情景导入，初步认识
1．将手中的圆垂直于直径向上折，你会发现折痕是圆的一条弦，这条弦被直径怎样了？
2．—个残缺的圆形物件，你能找到它的圆心吗？
3．赵州桥是我国古代桥梁史的骄傲，我们能求出主桥拱的半径吗？
【教学说明】
前两个问题可以由学生动手操作，并观察结果，得到初步结论．后两个问题作为问题情境，激发学生学习兴趣，引导学生进一步的学习．
二、思考探究，获取新知
垂径定理
(思考)如图，ab是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足E.
(1)这个图形是对称图形吗？
(2)你能发现图中有哪些相等的线段和弧？请说明理由．
(3)你能用一句话概括这些结论吗？
(4)你能用几何方法证明这些结论吗？
(5)你能用符号语言表达这个结论吗？
【归纳结论】
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
【教学说明】
教师循序渐进地将一个个的问题拋出，引导学生一步步地进行思考和总结，师生一起总结垂径定理．
三、运用新知，深化理解
1．见教材P75的例题．
2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不一定成立的是( )
A．CM＝DM
B.＝
C．∠ACD＝∠ADC
D．OM＝MD
解析：根据垂径定理得：CM＝DM，＝，AC＝AD，由AC＝AD得∠ACD＝∠ADC，而OM＝MD不一定成立．
答案：D
3．如图，一条公路的转弯处是一段圆弦(即图中，点O是的圆心，其中CD＝600
m，E为上一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF＝90
m，求这段弯路的半径．
分析：利用垂径定理，解题过程中可以使用列方程的方法．
解：如图，连接OC，
设弯路的半径为R，则OF＝(R－90)
m.
∵OE⊥CD，∴CF＝CD＝×600＝300(m)．
根据勾股定理，得：OC2＝CF2＋OF2.
即R2＝3002＋(R－90)2，
解得R＝545.∴这段弯路的半径为545
m.
四、师生互动，课堂小结
1．本节课你学到了哪些数学知识？
2．在利用垂径定理解决问题时，你掌握了哪些数学方法？
3．这些方法中你又用到了哪些数学思想？
课后作业
1．作业：教材“习题3.3”中第2、4题．
2．完成练习册中本课时的练习．
第2课时 垂径定理(2)
课标要求
【知识与技能】
使学生掌握垂径定理的两个推论及其简单的应用
【过程与方法】
渗透一般到特殊、特殊到一般的辩证关系．
【情感态度】
通过对推论的探讨，逐步培养学生观察、比较、分析、发现问题，概括问题的能力，促进学生创新思维水平的发展和提高．
【教学重点】
垂径定理推论．
【教学难点】
对推论的探究方法．
教学过程
一、情景导入，初步认识
复习提问：上节课所学的垂径定理是什么？
学生回答：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对应的两条弧．
二、思考探究，获取新知
AB是⊙O的一条弦(非直径)，且AM＝BM.过点M作直径CD.
如图(1)是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？
你能发现图中有哪些等量关系？与同伴说说你的想法和理由．我们发现图中有：
由
理由是：如图(2)连接OA，OB，则OA＝OB.
在△OAM和△OBM中，
∵OA＝OB，OM＝OM，AM＝BM.
∴△OAM≌△OBM.
∴∠AMO＝∠BMO.∴CD⊥AB.
∵⊙O关于直径CD对称，
∴当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合，
和重合，和重合．
∴＝，＝.
【归纳结论】
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
还有如下正确结论：
由
【教学说明】
根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说．如果具备(1)过圆心；(2)垂直于弦；(3)平分弦；(4)平分弦所对的优弧；(5)平分弦所对的劣弧．上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论．
【归纳结论】
垂径定理的逆定理：
(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
(3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
三、运用新知，深化理解
如图所示，OC交AB于点D，AD＝DB，AB＝6
cm，CD＝1
cm，求⊙O的半径长．
分析：根据垂径定理的推论“平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦对应的两条弧”可知，OC⊥AB，此时便可用勾股定理，得OB＝.
解：设圆的半径为r，则OB＝OC＝r，
∴32＋(r－1)2＝r2，解得r＝5
cm.
即⊙O的半径长为5
cm.
四、师生互动，课堂小结
垂径定理的推论有哪些？
课后作业
完成练习册中本课时的练习．
垂径定理
第1课时 垂径定理(1)
课标要求
【知识与技能】
掌握垂径定理．学会运用垂径定理解决一些有关证明、计算和作图问题．
【过程与方法】
经历探索发现圆的对称性，证明垂径定理的过程，锻炼学生的思维品质，学习证明的方法．
【情感态度】
在学生通过观察、操作、变换和研究的过程中进一步培养学生的思维能力、创新意识和良好的运用数学的习惯和意识．
【教学重点】
垂径定理的发现、记忆与证明．
【教学难点】
垂径定理的运用．
教学过程
一、情景导入，初步认识
1．将手中的圆垂直于直径向上折，你会发现折痕是圆的一条弦，这条弦被直径怎样了？
2．—个残缺的圆形物件，你能找到它的圆心吗？
3．赵州桥是我国古代桥梁史的骄傲，我们能求出主桥拱的半径吗？
【教学说明】
前两个问题可以由学生动手操作，并观察结果，得到初步结论．后两个问题作为问题情境，激发学生学习兴趣，引导学生进一步的学习．
二、思考探究，获取新知
垂径定理
(思考)如图，ab是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足E.
(1)这个图形是对称图形吗？
(2)你能发现图中有哪些相等的线段和弧？请说明理由．
(3)你能用一句话概括这些结论吗？
(4)你能用几何方法证明这些结论吗？
(5)你能用符号语言表达这个结论吗？
【归纳结论】
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
【教学说明】
教师循序渐进地将一个个的问题拋出，引导学生一步步地进行思考和总结，师生一起总结垂径定理．
三、运用新知，深化理解
1．见教材P75的例题．
2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不一定成立的是( )
A．CM＝DM
B.＝
C．∠ACD＝∠ADC
D．OM＝MD
解析：根据垂径定理得：CM＝DM，＝，AC＝AD，由AC＝AD得∠ACD＝∠ADC，而OM＝MD不一定成立．
答案：D
3．如图，一条公路的转弯处是一段圆弦(即图中，点O是的圆心，其中CD＝600
m，E为上一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF＝90
m，求这段弯路的半径．
分析：利用垂径定理，解题过程中可以使用列方程的方法．
解：如图，连接OC，
设弯路的半径为R，则OF＝(R－90)
m.
∵OE⊥CD，∴CF＝CD＝×600＝300(m)．
根据勾股定理，得：OC2＝CF2＋OF2.
即R2＝3002＋(R－90)2，
解得R＝545.∴这段弯路的半径为545
m.
四、师生互动，课堂小结
1．本节课你学到了哪些数学知识？
2．在利用垂径定理解决问题时，你掌握了哪些数学方法？
3．这些方法中你又用到了哪些数学思想？
课后作业
1．作业：教材“习题3.3”中第2、4题．
2．完成练习册中本课时的练习．
第2课时 垂径定理(2)
课标要求
【知识与技能】
使学生掌握垂径定理的两个推论及其简单的应用
【过程与方法】
渗透一般到特殊、特殊到一般的辩证关系．
【情感态度】
通过对推论的探讨，逐步培养学生观察、比较、分析、发现问题，概括问题的能力，促进学生创新思维水平的发展和提高．
【教学重点】
垂径定理推论．
【教学难点】
对推论的探究方法．
教学过程
一、情景导入，初步认识
复习提问：上节课所学的垂径定理是什么？
学生回答：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对应的两条弧．
二、思考探究，获取新知
AB是⊙O的一条弦(非直径)，且AM＝BM.过点M作直径CD.
如图(1)是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？
你能发现图中有哪些等量关系？与同伴说说你的想法和理由．我们发现图中有：
由
理由是：如图(2)连接OA，OB，则OA＝OB.
在△OAM和△OBM中，
∵OA＝OB，OM＝OM，AM＝BM.
∴△OAM≌△OBM.
∴∠AMO＝∠BMO.∴CD⊥AB.
∵⊙O关于直径CD对称，
∴当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合，
和重合，和重合．
∴＝，＝.
【归纳结论】
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
还有如下正确结论：
由
【教学说明】
根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说．如果具备(1)过圆心；(2)垂直于弦；(3)平分弦；(4)平分弦所对的优弧；(5)平分弦所对的劣弧．上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论．
【归纳结论】
垂径定理的逆定理：
(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
(3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
三、运用新知，深化理解
如图所示，OC交AB于点D，AD＝DB，AB＝6
cm，CD＝1
cm，求⊙O的半径长．
分析：根据垂径定理的推论“平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦对应的两条弧”可知，OC⊥AB，此时便可用勾股定理，得OB＝.
解：设圆的半径为r，则OB＝OC＝r，
∴32＋(r－1)2＝r2，解得r＝5
cm.
即⊙O的半径长为5
cm.
四、师生互动，课堂小结
垂径定理的推论有哪些？
课后作业
完成练习册中本课时的练习．