(
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
(
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
)
(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
一元二次方程复习测试
一、单选题
1.如果方程x2﹣x﹣2＝0的两个根为α，β，那么α2+β﹣2αβ的值为（??
）
A.?7??????????????????????????????????????????B.?6??????????????????????????????????????????C.?﹣2??????????????????????????????????????????D.?0
2.若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣2＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（
??）
A.?m＜
????????????????????????????B.?m＞
????????????????????????????C.?m＞
且m≠1????????????????????????????D.?m≠1
3.若关于x的一元二次方程
的一个根是0，则
的值是(??????
)
A.?1???????????????????????????????????????B.?－1???????????????????????????????????????C.?1或－1???????????????????????????????????????D.?0
4.下列方程中为一元二次方程的是(???????
)
A.????????????????????????B.????????????????????????C.????????????????????????D.?
5.已知关于
的一元二次方程
有两个实数根，则
的取值范围是（??
）
A.?????????????????????????????B.?????????????????????????????C.?????????????????????????????D.?
，且
6.已知
，
是方程2
+2x-3=0的两个根，则
的值为（ ）
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.?1??????????????????????????????????????????D.?
7.把一元二次方程
化成一般形式，则a，b，c的值分别是（??
）
A.???????????????????????????B.???????????????????????????C.???????????????????????????D.?
8.组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛.设比赛组织者应邀请
个队参赛，则
满足的关系式为（??
）
A.??????????????????B.??????????????????C.??????????????????D.?
9.某小组有若干人，新年大家互相发一条微信祝福，已知全组共发微信72条，则这个小组的人数为（??
）
A.?7人??????????????????????????????????????B.?8人??????????????????????????????????????C.?9人??????????????????????????????????????D.?10人
10.初三（3）班同学在临近毕业时，每一个同学都将自己的照片向全班其他同学各送一张以表示纪念，全班共送了1640张照片，如果设全班有x名学生，则根据题意，可列方程(???
)
A.?x(x+1)=1640???????????????B.?x(x－1)=1640???????????????C.?2x(x+1)=1640???????????????D.?x(x－1)=2×1640
11.某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（ ）
A.?x（x+1）=1035???????????B.?x（x-1）=1035x2???????????C.?x（x-1）=1035???????????D.?2x（x+1）=1035
12.参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛110场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（??
）
A.?
x（x+1）＝110????????B.?
x（x﹣1）＝110???????????C.?x（x+1）＝110????????D.?x（x﹣1）＝110
二、填空题
13.方程
的根为________．
14.如果m
、n
是两个不相等的实数，且满足m2-m=3，n2-n=3，那么代数式
=________
15.若一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1＝0有实数根，则实数k的取值范围
________
16.若关于x的一元二次方程
有实数解，则m的取值范围是________.
17.若关于
的一元二次方程
的一根是0，则
＝________.
18.如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有________（填序号）
①方程x2﹣x﹣2＝0是倍根方程；
②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程：则4m2+5mn+n2＝0；
③若p，q满足pq＝2，则关于x的方程px2+3x+q＝0是倍根方程；
④若方程以ax2+bx+c＝0是倍根方程，则必有2b2＝9ac.
三、计算题
19.解方程：
（1）x2－6x－9＝0；
（2）
四、综合题
20.已知关于x的一元二次方程
.
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若
的两边
，
的长是这个方程的两个实数根，第三边
的长为5，当
是直角三角形时，求k的值.
21.已知关于x的方程x2﹣（m+1）x+2（m﹣1）＝0
（1）求证：无论m取何值时，方程总有实数根；
（2）若等腰三角形一边长为4，另两边恰好是此方程的根，求此三角形的另两边长.
22.已知关于x的一元二次方程mx2－2mx＋m－2＝0.
（1）若方程有两个实数根，求m的取值范围；
（2）设方程的两实根为x1
，
x2
，
且|x1－x2|＝1，求m的值．
23.已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+1﹣k＝0有两个不相等的实数根.
（1）求k的取值范围；
（2）若k为负整数，求此时方程的根.
24.已知关于x的一元二次方程x2﹣（a﹣3）x﹣a＝0.
（1）求证：无论a取何值时，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）若该方程两根的平方和为21，求a的值.
25.已知关于x的一元二次方程x2－2x－k＝0有两个不相等的实数根.
（1）求k的取值范围；
（2）若
是该方程的一个实根，求k的值.
26.关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2-1=0有两个实数根。
（1）求m的取值范围；
（2）写出一个m的值，使得该方程有两个不相等的实数根，并求此时方程的根。
27.关于x的一元二次方程
有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）设出
、
是方程的两根，且
，求
的值．
28.已知关于x的一元二次方程kx2+x-2=0有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）设方程两个实数根分别为x1
，
x2
，
且满足x12+x22+3x1?x2=3，求k的值．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】
A
【解析】【解答】解：∵方程x2﹣x﹣2＝0的两个根为α，β，
∴α+β＝1，αβ＝﹣2，α2＝α+2，
∴α2+β﹣2αβ＝α+2+β﹣2αβ＝1+2﹣2×（﹣2）＝7，
故答案为：A.
2.【答案】
C
【解析】【解答】解：由题意可知：△＝4﹣4（m﹣1）×（﹣2）＝8m﹣4＞0，
∴m＞
，
∵m﹣1≠0，
∴m＞
且m≠1，
故答案为：C.
3.【答案】
B
【解析】
【解答】解：∵关于x的一元二次方程
的一个根是0，
∴a2-1=0且a-1≠0，
解之：a=±1且a≠1.
∴a的值为-1.
故答案为：B.
4.【答案】
A
【解析】【解答】解：A、x2=1，此方程是一元二次方程，故A符合题意；
B、将原方程整理为：x2+x-2=x2
，
即x-2=0，此方程是一元一次方程，故B不符合题意；
C、10y=4x2
，
此方程是二元二次方程，故C不符合题意；
D、
，
此方程是分式方程，故D不符合题意；
故答案为：A.
5.【答案】
D
【解析】【解答】由题意得，
4-4
≥0，且
≠0，
解之得，
，且
.
故答案为：D.
6.【答案】
B
【解析】【解答】解：∵
，
是方程2
+2x-3=0的两个根，
∴
＋
=
-1
∴
=
-
-1，
且2
+2
-3=0，
∴
(
+1)=
，
代入要求的式子中,得:
-
=
-
=
-
=
=
.
故答案为：B.
7.【答案】
D
【解析】【解答】解：方程整理得：x2-3x+10=0，
则a=1，b=-3，c=10.
故答案为：D.
8.【答案】
B
【解析】【解答】解：每支球队都需要与其他球队赛（x-1）场，但2队之间只有1场比赛，
∴方程为x(x-1)=28.
故答案为：B.
9.【答案】
C
【解析】【解答】解：设这个小组的人数为x人，则每人需发送（x﹣1）条微信，
依题意得：x（x﹣1）＝72，
整理得：x2﹣x﹣72＝0，
解得：x1＝﹣8（不合题意，舍去），x2＝9.
故答案为：C.
10.【答案】
B
【解析】【解答】解：∵
设全班有x名学生，
∴根据题意，得x(x－1)=1640.
故答案为：B.
11.【答案】
C
【解析】【解答】解：全班有x名同学，根据题意得
x（x-1）=1035.
12.【答案】
D
【解析】【解答】解：设有x个队参赛，则
x（x﹣1）＝110.
故答案为：D.
二、填空题
13.【答案】
【解析】【解答】
，
，
，
或
，
或
，
即
，
故答案为：
．
【解析】
【解答】解：∵
m
、n
是两个不相等的实数，且满足m2-m=3，n2-n=3，
∴m，n是方程x2-x-3=0的两个根，n2=n+3，
∴m+n=1，mn=-3，
∴2n2-mn+2m+2021
=2（n+3）+2m-mn+2021
=2n+6+2m+3+2021
=2（m+n）+2030
=2×1+2030=2032.
故答案为：2032.
15.【答案】
k≤2且k≠1
【解析】【解答】解：
解之：
∴实数k的取值范围是：k≤2且k≠1.
故答案为：k≤2且k≠1.
16.【答案】
m≤1
【解析】【解答】解：∵一元二次方程x2-2x+m=0有实数解，
∴b2-4ac=22-4m≥0，
解得：m≤1，
则m的取值范围是m≤1.
故答案为：m≤1.
17.【答案】
【解析】【解答】解：把
代入方程得：
，且
，
解得：
，
故答案为：
.
18.【答案】
②③④
【解析】【解答】解：①解方程x2﹣x﹣2＝0得，x1＝2，x2＝﹣1，得，x1≠2x2
，
∴方程x2﹣x﹣2＝0不是倍根方程；
故①不正确；
②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，x1＝2，
因此x2＝1或x2＝4，
当x2＝1时，m+n＝0，
当x2＝4时，4m+n＝0，
∴4m2+5mn+n2＝（m+n）（4m+n）＝0，
故②正确；
③∵pq＝2，则：px2+3x+q＝（px+1）（x+q）＝0，
∴x1＝﹣
，x2＝﹣q，
∴x2＝﹣q＝﹣
＝2x1
，
因此是倍根方程，
故③正确；
④方程ax2+bx+c＝0的根为：x1＝
，x2＝
，
若x1＝2x2
，
则，
＝
×2，
即，
﹣
×2＝0，
∴
＝0，
∴
＝0，
∴3
＝﹣b
∴9（b2﹣4ac）＝b2
，
∴2b2＝9ac.
若2x1＝x2时，则，
×2＝
，
即，则，
×2﹣
＝0，
∴
＝0，
∴﹣b+3
＝0，
∴b＝3
，
∴b2＝9（b2﹣4ac），
∴2b2＝9ac.
故④正确，
故答案为：②③④
三、计算题
19.【答案】
（1）解：x1＝
，x2＝
（2）解：x2＝
，x2＝
【解析】【解答】解：（1）x2－6x=9
x2－6x+9=18即（x-3）2=18
∴
解之：；
（2）[3(2x+3)]2=[4(1-3x)]2
∴3(2x+3)=±4(1-3x)
∴3(2x+3)=4(1-3x)，3(2x+3)=-4(1-3x)
解之：
x2＝
，x2＝
.
四、综合题
20.【答案】
（1）证明：∵△=[-（2k+1）]2-4×（k2+k）=1＞0，
∴方程有两个不相等的实数根.
（2）解：∵x2-（2k+1）x+k2+k=0，即（x-k）[x-（k+1）]=0，
解得：x1=k，x2=k+1.
当BC为直角边时，k2+52=（k+1）2
，
解得：k=12；
当BC为斜边时，k2+（k+1）2=52
，
解得：k1=3，k2=-4（不合题意，舍去）.
答：k的值为12或3.
21.【答案】
（1）证明：∵△＝[﹣（m+1）]2﹣4×2（m﹣1）＝m2﹣6m+9＝（m﹣3）2≥0，
∴无论m取何值，这个方程总有实数根；
（2）解：若腰长为4，将x＝4代入原方程，得：16﹣4（m+1）+2（m﹣1）＝0，
解得：m＝5，
∴原方程为x2﹣6x+8＝0，
解得：x1＝2，x2＝4.
组成三角形的三边长度为2、4、4；
若底边长为4，则此方程有两个相等实数根，
∴△＝0，即m＝3，
此时方程为x2﹣4x+4＝0，
解得：x1＝x2＝2，
由于2+2＝4，不能构成三角形，舍去；
所以三角形另外两边长度为4和2
22.【答案】
（1）解：∵关于x的一元二次方程mx2－2mx＋m－2＝0有两个实数根，
∴m≠0且Δ≥0，即（－2m）2－4m（m－2）≥0，解得m≥0，
∴m的取值范围为m>0.
（2）解：∵方程的两实根为x1
，
x2
，
∴x1＋x2＝2，x1x2＝
.
∵|x1－x2|＝1，
∴（x1－x2）2＝1，
∴（x1＋x2）2－4x1x2＝1，
即22－4×
＝1，解得m＝8，
经检验m＝8符合题意，∴m的值为8.
23.【答案】
（1）解：由题可得：（﹣3）2﹣4（1﹣k）＞0，
解得k＞﹣
（2）解：若k为负整数，则k＝﹣1，
此时原方程为x2﹣3x+2＝0，
解得x1＝1，x2＝2
24.【答案】
（1）证明：∵△＝[﹣（a﹣3）]2﹣4（﹣a）＝a2﹣2a+9＝（a﹣1）2+8＞0，
∴无论a取何值时，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：设方程的两根分别为m、n，
∴m+n＝a﹣3，mn＝﹣a，
∴m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝（a﹣3）2+2a，
由题意可得（a﹣3）2+2a＝6，
解得a＝1或a＝3.
25.【答案】
（1）解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k＝0有两个不相等的实数根，
∴△＞0，即(-2)2-4(-k)＞0，解得k＞-1
（2）解：∵
是该方程的一个实根，设另一根为x2
，
可得（
）+
x2=2，（
）·
x2=-k.
解得x2=
，k=1
26.【答案】
（1）解：∵关于x的一元二次方程x2+
(2m+1)x+m2-1=0有两个实数根。
∴△=b2-4ac=(2m+1)2-4(m2-1)-4m+
5≥0，
解得：m≥
，即m的取值范围是m≥
（2）解：∵由(1)知：当m>
时，方程有两个不相等的实数根。
∴取m=1，则方程为x2+3x=0
解得：x1=3，x2=0
即当m=1时，方程的解是x1=-3，x2=0．(答案不唯一)
27.【答案】
（1）根据题意得：
Δ＝（2m）2?4（m2＋m）＞0，
解得：m＜0．
∴m的取值范围是m＜0．
（2）根据题意得：x1＋x2＝?2m，x1x2＝m2＋m，
∵x12＋x22＝12，
∴（x1＋x2）2?2x1x2＝12，
∴（?2m）2?2（m2＋m）＝12，
∴解得：m1＝?2，m2＝3（不合题意，舍去），
∴m的值是?2．
28.【答案】
（1）解：根据题意得k≠0且△=12-4k?（-2）＞0，
解得k＞-
且k≠0；
（2）解：根据题意得x1+x2=-
，x1x2=-
，
∵x12+x22+3x1?x2=3，
∴（x1+x2）2+x1?x2=3，
∴（-
）2-
=3，整理得3k2+2k-1=0，
解得：k1=
，k2=-1，
∵k＞-
且k≠0，
∴k=
(
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)一元二次方程复习测试
一、单选题
1.如果方程x2﹣x﹣2＝0的两个根为α，β，那么α2+β﹣2αβ的值为（??
）
A.?7??????????????????????????????????????????B.?6??????????????????????????????????????????C.?2??????????????????????????????????????????D.?0
2.若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣2＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（
??）
A.?m＜
????????????????????????????B.?m＞
?????????????????????????C.?m＞
且m≠1????????????????????????????D.?m≠1
3.若关于x的一元二次方程
的一个根是0，则
的值是(??????
)
A.?1???????????????????????????????????????B.?－1???????????????????????????????????????C.?1或1???????????????????????????????????????D.?0
4.下列方程中为一元二次方程的是(???????
)
A.?????????????????B.????????????????????????C.?????????????????D.?
5.已知关于
的一元二次方程
有两个实数根，则
的取值范围是（??
）
A.??????????????????B.?????????????????????????????C.?????????????????????????????D.?
，且
6.已知
，
是方程2
+2x-3=0的两个根，则
的值为（ ）
A.????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.?1??????????????????????????????????????????D.?
7.把一元二次方程
化成一般形式，则a，b，c的值分别是（??
）
A.???????????????????????????B.???????????????????????????C.???????????????????????????D.?
8.组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛.设比赛组织者应邀请
个队参赛，则
满足的关系式为（??
）
A.???????B.???????????C.??????????????????D.?
9.某小组有若干人，新年大家互相发一条微信祝福，已知全组共发微信72条，则这个小组的人数为（??
）
A.?7人???????????????????????????B.?8人??????????????????????????????????????C.?9人??????????????????????????????????????D.?10人
10.初三（3）班同学在临近毕业时，每一个同学都将自己的照片向全班其他同学各送一张以表示纪念，全班共送了1640张照片，如果设全班有x名学生，则根据题意，可列方程(???
)
A.?x(x+1)=1640???????????B.?x(x－1)=1640???????????????C.?2x(x+1)=1640???????????????D.?x(x－1)=2×1640
11.某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（ ）
A.?x（x+1）=1035???????????B.?x（x-1）=1035x2???????????C.?x（x-1）=1035???????????D.?2x（x+1）=1035
12.参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛110场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（??
）
A.?
x（x+1）＝110????????B.?
x（x﹣1）＝110???????????C.?x（x+1）＝110????????D.?x（x﹣1）＝110
二、填空题
13.方程
的根为________．
14.如果m
、n
是两个不相等的实数，且满足m2-m=3，n2-n=3，那么代数式
=________
15.若一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1＝0有实数根，则实数k的取值范围
________
16.若关于x的一元二次方程
有实数解，则m的取值范围是________.
17.若关于
的一元二次方程
的一根是0，则
＝________.
18.如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有________（填序号）
①方程x2﹣x﹣2＝0是倍根方程；
②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程：则4m2+5mn+n2＝0；
③若p，q满足pq＝2，则关于x的方程px2+3x+q＝0是倍根方程；
④若方程以ax2+bx+c＝0是倍根方程，则必有2b2＝9ac.
三、计算题
19.解方程：
（1）x2－6x－9＝0；
（2）
四、综合题
20.已知关于x的一元二次方程
.
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若
的两边
，
的长是这个方程的两个实数根，第三边
的长为5，当
是直角三角形时，求k的值.
21.已知关于x的方程x2﹣（m+1）x+2（m﹣1）＝0
（1）求证：无论m取何值时，方程总有实数根；
（2）若等腰三角形一边长为4，另两边恰好是此方程的根，求此三角形的另两边长.
22.已知关于x的一元二次方程mx2－2mx＋m－2＝0.
（1）若方程有两个实数根，求m的取值范围；
（2）设方程的两实根为x1
，
x2
，
且|x1－x2|＝1，求m的值．
23.已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+1﹣k＝0有两个不相等的实数根.
（1）求k的取值范围；
（2）若k为负整数，求此时方程的根.
24.已知关于x的一元二次方程x2﹣（a﹣3）x﹣a＝0.
（1）求证：无论a取何值时，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）若该方程两根的平方和为21，求a的值.
25.已知关于x的一元二次方程x2－2x－k＝0有两个不相等的实数根.
（1）求k的取值范围；
（2）若
是该方程的一个实根，求k的值.
26.关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2-1=0有两个实数根。
（1）求m的取值范围；
（2）写出一个m的值，使得该方程有两个不相等的实数根，并求此时方程的根。
27.关于x的一元二次方程
有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）设出
、
是方程的两根，且
，求
的值．
28.已知关于x的一元二次方程kx2+x-2=0有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）设方程两个实数根分别为x1
，
x2
，
且满足x12+x22+3x1?x2=3，求k的值．
