山东省滕州市洪绪中学2020--2021学年八年级数学下册第一章三角形的证明 复习测试（word解析版）

北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明
同步测试
一．选择题
1．如图，已知每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的格点（顶点）上，请在图中找一个格点C，使△ABC是以AB为腰的等腰三角形，这样的格点C有（　　）
A．4个
B．5个
C．6个
D．7
2．如图，在中，已知，的平分线交于点．若，则点到的距离是（
?）.
????A.
?B.
?C.
??D.
3．如图，△ABC中，∠C＝90°，ED垂直平分AB，若AC＝12，EC＝5，且△ACE的周长为30，则BE的长为（　　）
A．5
B．10
C．12
D．13
4．下列条件中，能判断两个直角三角形全等的是（　　）
A．有两条边分别相等
B．有一个锐角和一条边相等
C．有一条斜边相等
D．有一直角边和斜边上的高分别相等
5．如图，在△ABC中，AB＝AC＝11，∠BAC＝120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，则DF的长为（　　）
A．4.5
B．5
C．5.5
D．6
6．如图，在中，已知是边上的高线，平分，交于点，，，则
的面积等于(???
).
????A.
?B.
???
???C.
???
??D.
???
7．在课堂上，老师在黑板上画出了如图所示的3个三角形，让同学们根据它们的边长进行分类，其中搭配错误的是：（　　）
A．①﹣﹣不等边三角形
B．②③﹣﹣等腰三角形
C．③﹣﹣等边三角形
D．②③﹣﹣等边三角形
8．如图，已知△ABC的周长是18cm，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，OD⊥BC于点D，若OD＝3cm，则△ABC的面积是（　　）cm2．
A．24
B．27
C．30
D．33
9．如图，中，，，则（　　）
????A.
?B.
???C.
D.
10．下列命题中，是真命题的是（　　）
A．内错角相等
B．对顶角相等
C．若x2＝4，则x＝2
D．若a＞b，则a2＞b2
11．如图，直线l是线段AB的垂直平分线，点C在直线l外，且与A点在直线l的同一侧，点P是直线l上的任意点，连接AP，BC，CP，则BC与AP+PC的大小关系是（　　）
A．＞
B．＜
C．≥
D．≤
12．用反证法证明命题“一个三角形中至多有一个角是直角”，应先假设这个三角形中（　　）
A．至少有两个角是直角
B．没有直角
C．至少有一个角是直角
D．有一个角是钝角，一个角是直角
二．填空题
13．如图，OA的方向是北偏东15°，OB的方向是北偏西40°，OA平分∠BOC，则OC的方向是　
　．
14．如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝45°，AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，则∠DAE＝　
．
15．在中，已知，，垂足为，是中点，若，则的长为????????????.
16．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC长是　
　．
17．如图，已知点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，3），在第一象限内找一点P（a，b），使△PAB为等边三角形，则2（a﹣b）＝　
　．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E，若∠E＝37°，则∠BAC＝　
　．
三．解答题
19．如图，点O为直线AB上一点，∠BOC＝36°，OD平分∠AOC，∠DOE＝90°，求∠AOE的度数．
20．如图，在等腰三角形中，已知边的垂直平分线交于点，，，求的周长.
21．已知△ABC中，∠B＝50°，∠C＝70°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E点．
（1）求∠EDA的度数；
（2）AB＝10，AC＝8，DE＝3，求S△ABC．
22．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D，点E在边BC上，且满足AD＝BD，AE平分∠BAD，若∠CAE＝42°．求∠AEC和∠B的度数．
23．概念学习．已知△ABC，点P为其内部一点，连接PA．PB．PC，在△PAB．△PBC．△PAC中，如果存在一个三角形，其内角与△ABC的三个内角分别相等，那么就称点P为△ABC的等角点．
理解应用
（1）判断以下两个命题是否为真命题，若为真命题，则在相应横线内写“真命题”；反之，则写“假命题”．
①内角分别为30°．60°．90°的三角形存在等角点；　
　；
②任意的三角形都存在等角点；　
　；
（2）如图①，点P是锐角△ABC的等角点，若∠BAC＝∠PBC，探究图①中，∠BPC．∠ABC．∠ACP之间的数量关系，并说明理由．
解决问题
如图②，在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C，若△ABC的三个内角的角平分线的交点P是该三角形的等角点，求△ABC三角形三个内角的度数．
北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明
同步测试答案
一．选择题
1．如图，已知每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的格点（顶点）上，请在图中找一个格点C，使△ABC是以AB为腰的等腰三角形，这样的格点C有（　　）
A．4个
B．5个
C．6个
D．7
解：当AB为腰时，分别以A．B点为顶点，以AB为半径作圆，可找出格点点C的个数有6个；
使△ABC是以AB为腰的等腰三角形，这样的格点C有6个．
故选：C．
2．如图，在中，已知，的平分线交于点．若，则点到的距离是（
?）.
????A.
?B.
?C.
??D.
解：过点作，交于点，
则的长度即为点到直线的距离.
，
，
是的平分线，且，，
，
已知，
.
即点到的距离为.
故正确答案应选：.
3．如图，△ABC中，∠C＝90°，ED垂直平分AB，若AC＝12，EC＝5，且△ACE的周长为30，则BE的长为（　　）
A．5
B．10
C．12
D．13
解：∵ED垂直平分AB，
∴BE＝AE，
∵AC＝12，EC＝5，且△ACE的周长为30，
∴12+5+AE＝30，
∴AE＝13，
∴BE＝AE＝13，
故选：D．
4．下列条件中，能判断两个直角三角形全等的是（　　）
A．有两条边分别相等
B．有一个锐角和一条边相等
C．有一条斜边相等
D．有一直角边和斜边上的高分别相等
解：A．两边分别相等，但是不一定是对应边，不能判定两直角三角形全等，故此选项不符合题意；
B．一条边和一锐角对应相等，不能判定两直角三角形全等，故此选项不符合题意；
C．有一条斜边相等，两直角边不一定对应相等，不能判定两直角三角形全等，故此选项不符合题意；
D．有一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等，故此选项符合题意；
故选：D．
5．如图，在△ABC中，AB＝AC＝11，∠BAC＝120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，则DF的长为（　　）
A．4.5
B．5
C．5.5
D．6
解：∵△ABC是等腰三角形，D为底边的中点，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，
∵∠BAC＝120°，
∴∠BAD＝60°，∠ADB＝90°，
∵AE是∠BAD的角平分线，
∴∠DAE＝∠EAB＝30°．
∵DF∥AB，
∴∠F＝∠BAE＝30°．
∴∠DAF＝∠F＝30°，
∴AD＝DF．
∵AB＝11，∠B＝30°，
∴AD＝5.5，
∴DF＝5.5
故选：C．
6．如图，在中，已知是边上的高线，平分，交于点，，，则
的面积等于(???
).
????A.
?B.
???
???C.
???
??D.
???
解：作于，
∵平分，
，
，
∴，
∴，
，
，
故答案应选：.
7．在课堂上，老师在黑板上画出了如图所示的3个三角形，让同学们根据它们的边长进行分类，其中搭配错误的是：（　　）
A．①﹣﹣不等边三角形
B．②③﹣﹣等腰三角形
C．③﹣﹣等边三角形
D．②③﹣﹣等边三角形
解：由图可得：
①2≠3≠4，故①﹣﹣不等边三角形，故A选项不符合题意；
②3＝3≠4，故②﹣﹣等腰三角形，③3＝3＝3，故③﹣﹣等边三角形，故B选项不符合题意；C选项不符合题意；
D选项符合题意．
故选：D．
8．如图，已知△ABC的周长是18cm，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，OD⊥BC于点D，若OD＝3cm，则△ABC的面积是（　　）cm2．
A．24
B．27
C．30
D．33
解：过O点作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，如图，
∵OB平分∠ABC，OD⊥BC，OE⊥AB，
∴OE＝OD＝3，
同理可得OF＝OD＝3，
∴S△ABC＝S△OAB+S△OBC+S△OAC
＝×OE×AB+×OD×BC+×OF×AC
＝（AB+BC+AC），
∵△ABC的周长是18，
∴S△ABC＝×18＝27（cm2）．
故选：B．
9．如图，中，，，则（　　）
????A.
?B.
???C.
D.
解：，，，
．
10．下列命题中，是真命题的是（　　）
A．内错角相等
B．对顶角相等
C．若x2＝4，则x＝2
D．若a＞b，则a2＞b2
解：A．两直线平行，内错角相等，原命题是假命题；
B．对顶角相等，是真命题；
C．若x2＝4，则x＝±2，原命题是假命题；
D．若a＞0＞b，a＝1，b＝﹣2，则a2＜b2，原命题是假命题；
故选：B．
11．如图，直线l是线段AB的垂直平分线，点C在直线l外，且与A点在直线l的同一侧，点P是直线l上的任意点，连接AP，BC，CP，则BC与AP+PC的大小关系是（　　）
A．＞
B．＜
C．≥
D．≤
解：连接BP，
∵直线l是线段AB的垂直平分线，
∴AP＝BP，
∴AP+PC＝BP+PC，
当点P在BC与l的交点处时，AP+PC＝CB，
当点P不在BC与l的交点处时，AP+PC＝BP+PC＞BC，
∴BC≤AP+PC，
故选：D．
12．用反证法证明命题“一个三角形中至多有一个角是直角”，应先假设这个三角形中（　　）
A．至少有两个角是直角
B．没有直角
C．至少有一个角是直角
D．有一个角是钝角，一个角是直角
解：用反证法证明“一个三角形中不能有两个角是直角”，应先假设这个三角形中有两个角是直角．
故选：A．
二．填空题
13．如图，OA的方向是北偏东15°，OB的方向是北偏西40°，OA平分∠BOC，则OC的方向是　北偏东70°　．
解：∵OA的方向是北偏东15°，OB的方向是北偏西40°，
∴∠NOA＝15°，NOB＝40°，
∴∠BOA＝∠BON+∠NOA＝55°，
∵OA平分∠BOC，
∴∠AOC＝∠BOA＝55°，
∴∠NOC＝∠NOA+∠AOC
＝70°
即OC在北偏东70°方向上．
故答案为：北偏东70°
14．如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝45°，AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，则∠DAE＝　10°　．
解：∵点D．E分别是AB．AC边的垂直平分线与BC的交点，
∴AD＝BD，AE＝CE，
∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE，
∵∠B＝40°，∠C＝45°，
∴∠B+∠C＝85°，∠BAC＝95°，
∴∠BAD+∠CAE＝85°，
∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠BAD+∠CAE）＝95°﹣85°＝10°，
故答案为：10°
15．在中，已知，，垂足为，是中点，若，则的长为????????????.
解：，
，
为直角三角形，
又知是中点，
是直角三角形斜边上的中线，
，
即，
已知，
，
.
正确答案是：.
16．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC长是　3　．
解：∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
∴S△ABC＝×4×2+AC?2＝7，
解得AC＝3．
故答案为：3．
17．如图，已知点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，3），在第一象限内找一点P（a，b），使△PAB为等边三角形，则2（a﹣b）＝　1﹣　．
解：过点P作PM⊥x轴，PN⊥y轴，垂足分别为M．N，
∵点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，3），
∴OA＝4，OB＝3，
∴AB＝＝5，
∵点P（a，b）在第一象限，
∴OM＝PN＝a，ON＝PM＝b，
∴AM＝a﹣4，BN＝b﹣3，
∵△PAB是等边三角形，
∴AB＝BP＝PA＝5，
由PN2+BN2＝BP2＝PA2＝PM2+AM2得，
b2+（a﹣4）2＝a2+（b﹣3）2＝25，
由b2+（a﹣4）2＝a2+（b﹣3）2，整理得，8a+9＝6b+16，即，b＝①，
将b＝代入a2+（b﹣3）2＝25，整理得，4a2﹣16a﹣11＝0，解得a＝，或a＝＜0（舍去），
把a＝代入①得，b＝，
∴2（a﹣b）＝4+3﹣4﹣3＝1﹣，
故答案为：1﹣．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E，若∠E＝37°，则∠BAC＝　32°　．
解：∵AE∥BD，
∴∠DBC＝∠E＝37°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠DBC＝74°，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC＝74°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝32°．
故答案为：32°．
三．解答题
19．如图，点O为直线AB上一点，∠BOC＝36°，OD平分∠AOC，∠DOE＝90°，求∠AOE的度数．
解：∵O为AB上一点，∠BOC＝36°，
∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣36°＝144°，
∵OD平分∠AOC，
∴∠AOD＝∠AOC＝＝72°，
又∵∠DOE＝90°，
∴∠AOE＝∠DOE﹣∠AOD＝90°﹣72°＝18°．
∠AOE的度数为：18°．
20．如图，在等腰三角形中，已知边的垂直平分线交于点，，，求的周长.
解：是的垂直平分线，
，
而，
，
已知，
，
又知，
的周长为：
.
正确答案是：.
21．已知△ABC中，∠B＝50°，∠C＝70°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E点．
（1）求∠EDA的度数；
（2）AB＝10，AC＝8，DE＝3，求S△ABC．
解：（1）∵∠B＝50°，∠C＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣50°﹣70°＝60°，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD＝∠BAC＝×60°＝30°，
∵DE⊥AB，
∴∠DEA＝90°，
∴∠EDA＝180°﹣∠BAD﹣∠DEA＝180°﹣30°﹣90°＝60°；
（2）如图，过D作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，
∴DF＝DE＝3，
又∵AB＝10，AC＝8，
∴S△ABC＝×AB×DE+×AC×DF＝×10×3+×8×3＝27．
22．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D，点E在边BC上，且满足AD＝BD，AE平分∠BAD，若∠CAE＝42°．求∠AEC和∠B的度数．
解：∵∠C＝90°，∠CAE＝42°，
∴∠AEC＝90°﹣∠CAE＝48°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE＝∠BAE，
设∠DAE＝x，
∵AD＝BD，
∴∠DAB＝∠B＝2x，
∴∠AEC＝∠B+∠BAE＝3x
∴3x＝48°，∴x＝16°，∴∠B＝2x＝32°．
23．概念学习．已知△ABC，点P为其内部一点，连接PA．PB．PC，在△PAB．△PBC．△PAC中，如果存在一个三角形，其内角与△ABC的三个内角分别相等，那么就称点P为△ABC的等角点．
理解应用
（1）判断以下两个命题是否为真命题，若为真命题，则在相应横线内写“真命题”；反之，则写“假命题”．
①内角分别为30°．60°．90°的三角形存在等角点；　真命题　；
②任意的三角形都存在等角点；　假命题　；
（2）如图①，点P是锐角△ABC的等角点，若∠BAC＝∠PBC，探究图①中，∠BPC．∠ABC．∠ACP之间的数量关系，并说明理由．
解决问题
如图②，在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C，若△ABC的三个内角的角平分线的交点P是该三角形的等角点，求△ABC三角形三个内角的度数．
解：理解应用
（1）①内角分别为30．60．90的三角形存在等角点是真命题；
②任意的三角形都存在等角点是假命题，如等边三角形不存在等角点；
故答案为：真命题，假命题；
（2）如图①，∵在△ABC中，∠BPC＝∠ABP+∠BAC+∠ACP，∠BAC＝∠PBC，
∴∠BPC＝∠ABP+∠PBC+∠ACP＝∠ABC+∠ACP；
解决问题
如图②，连接PB，PC
∵P为△ABC的角平分线的交点，
∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，
∵P为△ABC的等角点，
∴∠PBC＝∠BAC，∠BCP＝∠ABC＝2∠PBC＝2∠BAC，∠ACB＝∠BPC＝4∠A，
又∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠A+2∠A+4∠A＝180°，
∴∠A＝，
∴该三角形三个内角的度数分别为，，．