葫芦岛八中2020–2021学年度下学期高一期中考试数学试卷
答题时间:120分钟 总分数:150分
单选题(本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.在①160°;②480°;③-960°;④1530°这四个角中,属于第二象限角的是( )
A.① B.①②
C.①②③ D.①②③④
2.将转化为弧度为( )
A. B. C. D.
3.《九章算术》成书于公元一世纪,是中国古代乃至东方的第一部自成体系的数学专著.书中记载这样一个问题“今有宛田,下周三十步,径十六步.问为田几何?”(一步=1.5米)意思是现有扇形田,弧长为45米,直径为24米,那么扇形田的面积为( )
A.135平方米 B.270平方米 C.540平方米 D.1080平方米
4.已知向量a=(1,-1),b=(2,x),若a·b=1,则x等于( )
A.1 B. C.- D.-1
5.若,则 ( )
A.1 B. C. D.
6.cosα,α∈(,π),sinβ,β是第三象限角,则cos(β﹣α)=( )
A. B. C. D.
7.已知|a|=2,|b|=1,a与b之间的夹角为60°,那么|a-4b|2=( )
A.2 B.2 C.6 D.12
8.函数y=2sin的图像( )
A.关于原点成中心对称 B.关于y轴成轴对称
C.关于点成中心对称 D.关于直线x=成轴对称
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中,有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
9.若sin α=,且α为锐角,则下列选项中正确的有( )
A.tan α= B.cos α= C.sin α+cos α= D.sin α-cos α=-
10.已知向量a=(3,4),b=(-4,-3),则下列说法正确的是( )
A.a与b的夹角是直角 B.|a+b|为2
C.a+b与a-b的夹角是直角
D.a在b上投影的数量等于b在a上投影的数量
11.已知函数f(x)=cos2x-sin2x+1,则( )
A.f(x)的对称轴为x=(k∈Z) B.f(x)的对称轴为x=(k∈Z)
C.f(x)的最小正周期为π,最大值为2 D.f(x)的最小正周期为2π,最大值为1
12.将函数f(x)的图像向右平移个单位,再将所得函数图像上的所有点的横坐标缩短到原来的,得到函数g(x)=Asin(ωx+φ)的图像.已知函数g(x)的部分图像如图所示,则函数f(x)( )
A.最小正周期为π,最大值为2
B.最小正周期为π,图像关于点中心对称
C.最小正周期为π,图像关于直线x=对称
D.最小正周期为π,在区间上单调递减
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中横线上)
13.函数y=tan的定义域为________.
14.已知sin αcos α=,则sin α-cos α=________.
15.已知向量a=(1,-),b=(-,1),则a与b夹角的大小为________.
16.已知4sin(α)+4cos(α)=3,则cos(2α)= .
四、解答题(本题共6小题,共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)已知α是第三象限角,且f(α)=
.
(1)化简f(α);
(2)若tan(π-α)=-2,求f(α)的值.
18.(本小题满分12分)已知函数f(x)=2sin.
(1)求f(x)最小正周期及单调递增区间;
(2)当时,求f(x)的最大值和最小值.
19.(本小题满分12分) 已知向量|a|=1,|b|=2.
(1)若a与b的夹角为,求|a+2b|;
(2)若(2a-b)·(3a+b)=3,求a与b的夹角.
(本小题满分12分)设a=(1,2),b=(-2,-3),又c=2a+b,d=a+mb,若c与d的夹角为45°,求实数m的值.
21.(本小题满分12分)已知向量a=(1,2),b=(-3,4),c=a+λb,λ∈R.
(1)求λ为何值时, |c|最小?此时b与c的位置关系如何?
(2)求λ为何值时, a与c的夹角最小? 此时a与c的位置关系如何?
22.(本小题满分12分)在已知函数f(x)=Asin(ωx+φ),x∈R
的图像与x轴的交点中,相邻两个交点之间的距离为,且图像上一个最低点为M.
(1)求f(x)的解析式;
(2)当x∈时,求f(x)的值域.
数学答案
1.C 2.D 3. B 4. A 5. A 6. A 7. D 8. C
9. AB 10. CD 11. BC 12. ACD
{x≠+ ,k∈Z}
±
(1)f(α)==-cos α..............................................4分
(2)由已知得tan α=2,=2,sin α=2cos α,sin2α=4cos2α,
1-cos2α=4cos2α,cos2α=.............................7分
因为α是第三象限角,所以cos α<0,所以cos α=-,所以f(α)=-cos α=..................................................................................................................10分
18 .(1)由于函数sincos2sin()....3分
可得周期T4π....................................................................................................4分
令 2kπ2kπ,k∈z,求得 4kπx≤4kπ,k∈z,
可得函数的增区间为[4kπ,4kπ],k∈z..........................................................6分
(2)当时,,.................................................................8分
故当时,f(x)=2sin() 取得最小值为,.................10分
当 时,f(x)=2sin() 取得最大值为2.......................12分
19 .(1)|a+2b|2=a2+4a·b+4b2....................................................2分
=1+4×1×2×cos +4×4
=1+4+16=21,
所以|a+2b|=...............................................4分
(2)因为(2a-b)·(3a+b)=3,
所以6a2-3a·b+2a·b-b2=3,
所以6a2-a·b-b2=3,.............................................................................8分
所以6-1×2×cos〈a,b〉-4=3,
所以cos〈a,b〉=-................................................................................10分
因为0≤〈a,b〉≤π,所以〈a,b〉=..........................................12分
20 .因为a=(1,2),b=(-2,-3),
所以c=2a+b=2(1,2)+(-2,-3)=(0,1),
d=a+mb=(1,2)+m(-2,-3)=(1-2m,2-3m),.................................4分
所以c·d=0×(1-2m)+1×(2-3m)=2-3m
又|c|=1,|d|=,c与d的夹角为45°,
所以2-3m=1×cos 45°,......................................8分
即=(2-3m),
等价于
解得m=..........................................................................................................12分
21 .(1)由a=(1,2),b=(-3,4),得
c=a+λb=(1-3λ,2+4λ),................................................................2分
|c|2=c2=(1-3λ)2+(2+4λ)2=5+10λ+25λ2
=25+4,
当λ=-时,|c|最小,此时c=,
b·c=0,所以b⊥c.......................................................................................6分
(2)设向量a与c的夹角为θ,则
cos θ===,.........................8分
要使向量a与c的夹角最小,则cos θ最大,
于θ∈[0, π],所以cos θ的最大值为1,此时θ=0,=1,
解得λ=0,c=(1,2).
所以当λ=0时,a与c的夹角最小,此时a=c...............................................12分
22 .(1)由最低点为M得A=2............................................................1分
由x轴上相邻两个交点之间的距离为,
得=,即T=π,所以ω===2..................................................3分
由点M在图像上得2sin=-2,
即sin=-1,故+φ=2kπ-(k∈Z),
所以φ=2kπ-(k∈Z).
又φ∈,所以φ=,故f(x)=2sin.....................................6分
(2)因为x∈,所以2x+∈,..........................................8分
当2x+=,即x=时,f(x)取得最大值2;
当2x+=,即x=时,f(x)取得最小值-1,.....................................10分
故f(x)的值域为[-1,2].....................................................................................12分