四川省成都外国语学校2012届高三3月月考（数学文理）

成都外国语学校高2012级第5次月考试题
数学试题（文、理科）
命题人：全 鑫 审题人：于开选
试题分第Ｉ卷和第Ⅱ卷两部分。满分150分，考试时间120 分钟。
注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、考号准确无误地填写、填涂在答题卡规定的位置上；
2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；
3．答题时，必须使用黑色签字笔，将答案规范、整洁地书写在答题卡规定的位置上；[来源:21世纪教育网]
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效；
5．考试结束后将答题卡交回，不得折叠、损毁答题卡。
第Ｉ卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一项是符合题目要求的）
1（文科）如果，那么( )
A. 0 B. C. D.
（理科）已知复数，则复数的虚部为（ ）
A . B. C. D.
2已知且，则角是（ ）
A.第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角
3. 设m、n是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列四个命题中正确的序号是（ ）
①//，则； ②；
③ ； ④．
A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和④
4．若，，则（ ）
A． B. C. D.
5.（文科）函数的反函数为（ ）
A. B.
C. D.
（理科）函数是连续函数，则( )[来源:21世纪教育网]
A 0 B 3 C -3 D 7 21世纪教育网
6.（文科）4名毕业生到两所不同的学校实习，每名毕业生只能选择一所学校实习，且每所学校至少有一名毕业生实习，其中甲、乙两名毕业生不能在同一所学校实习，则不同安排方法有（ ） A. 12 B. 10 C. 8 D.6
（理科）已知,那么的取值范围是( )
A. B. 且 C. D. 或
7.已知函数的定义域为，,且，则满足条件的函数的个数为（ ）
A. 1 B. 1023 C. 1024 D.
8.已知点、分别是双曲线的左、右焦点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于、两点，若为锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是
A． B． C．（1，2） D．
9如果数列对任意满足，且，那么（ ）
A．256 B．510 C．512 D． 1024
10.已知，直线交椭圆于A,B两点，的面积为（是坐标原点），则函数的奇偶性（ ）
A. 偶函数 B. 奇函数 C. 不是奇函数也不是偶函数 D. 奇偶性与有关
11.（文科）若实数满足，则（ ）
A.最小值为 B. 最大值为 C. 最大值为 D. 最小值为
（理科）设点如果直线与线段有一个公共点，那么 （ ）
A.最大值为 B. 最大值为 C. 最小值为 D. 最小值为
12.设函数的定义域为，若存在非零实数使得对于任意,有，且，则称为上的高调函数，如果定义域为的函数是奇函数，当时，且函数为上的1高调函数，那么实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答卷的横线上．
13.（文科） 已知函数的最小值为，则二项式的展开式中常数项为第 项。
（理科）已知，则_______
14．根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20~80 mg/100ml（不含80）之间，属于酒后驾车；血液酒精浓度在80mg/100ml（含80）以上时，属醉酒驾车．据《法制晚报》报道，2012年2月1日至3月1日，全国查处酒后驾车和醉酒驾车共28800人，如下图是对这28800人酒后驾车血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图，则属于醉酒驾车的人数约为 ________．
~
15.若A,B,C分别是的三内角，则的最小值为_________.
16.已知数列：，时具有性质对任意的，与两数中至少有一个是该数列中的一项，现给出以下四个命题：
①数列具有性质；
②数列具有性质；21世纪教育网
③数列具有性质，则；
④若数列具有性质，则。
其中真命题的序号为__________.
三、解答题：本大題共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．(本题满分12分）
已知函数的图像过点
（Ⅰ）求函数的最小正周期以及对称中心坐标；
（Ⅱ）内角的对边分别为，若，，且，
试判断的形状，并说明理由。
18.（本题满分12分）
某品牌专卖店准备在国庆期间举行促销活动，根据市场调查，该店决定从2种不同型号的洗衣机，2种不同型号的电视机和3种不同型号的空调中（不同种商品的型号不同），选出4种不同型号的商品进行促销，该店对选出的商品采用的促销方案是有奖销售，即在该商品现价的基础上将价格提高150元，同时，若顾客购买任何一种型号的商品，则允许有3次抽奖的机会，若中奖，则每次中奖都获得元奖金．假设顾客每次抽奖时获奖与否的概率都是，
（Ⅰ）求选出的4种不同型号商品中，洗衣机、电视机、空调都至少有一种型号的概率；
（Ⅱ）（文科）若顾客购买两种不同型号的商品，求中奖奖金至少元的概率；
（理科）设顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额（单位：元）为随机变量.请写出的分布列，并求的数学期望；
（Ⅲ）（理科）在（Ⅱ）的条件下，问该店若想采用此促销方案获利，则每次中奖奖金要低于多少元？
19．（本小题满分12分）
如图，在直三棱柱中，，，是的中点．21世纪教育网
（Ⅰ）求证：∥平面； （Ⅱ）求二面角的余弦值；
（Ⅲ）（理科）试问线段上是否存在点，使与成 角？若存在，确定点位置，若不存在，说明理由．
21世纪教育网
21世纪教育网
20. (本题满分12分）
已知数列中，，
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前项和；
（Ⅲ）（理科）若存在，使得成立，求实数的最小值。
21．(本题满分12分）
已知焦点在轴上椭圆的长轴的端点分别为，为椭圆的中心，为右焦点，且,离心率。
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）记椭圆的上顶点为，直线交椭圆于两点，问：是否存在直线，使点恰好为的垂心？若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由。
22．(本题满分14分）
已知函数是定义在上的奇函数，且在处取得极小值。设表示的导函数，定义数列满足：
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）对任意，若，证明：；
（Ⅲ）（理科）试比较与的大小。
成都外国语学校高2012届三月月考试题数学试题参考答案
选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12[来源:21世纪教育网]
答案 C B D A B C B D D A C理A文 B
填空题
13. 文科：9 理科 14. 4320 15. 16 . ②
三、解答题：
17（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由有
从而，所以 对称中心
（Ⅱ）由（Ⅰ）有
所以，，又因为
所以，，即 由正弦定理：,得故：，（舍去）所以 所以为直角三角形
18：解：（本小题满分12分）
21世纪教育网
所以，顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额的分布列为：21世纪教育网
0
……………9分
于是顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额的数学期望是
． ………………10分
（文科）（Ⅰ）同理科
（Ⅱ）设事件B“若顾客购买两种不同型号的商品，中奖奖金至少元”
则
故：若顾客购买两种不同型号的商品，中奖奖金至少元的概率为。
19. .（本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：连结，交于点，连结.
由 是直三棱柱，
得 四边形为矩形，为的中点.
又为中点，所以为中位线，
所以 ∥，
因为 平面，平面，
所以 ∥平面. ………………4分
（Ⅱ）解：由是直三棱柱，且，故两两垂直.
如图建立空间直角坐标系.
设，则.
所以 ，
设平面的法向量为，则有21世纪教育网
所以 取，得.
易知平面的法向量为.
由二面角是锐角，得 . ………………8分
所以二面角的余弦值为.
（Ⅲ）解：假设存在满足条件的点.
因为在线段上，，，故可设，其中.
所以 ，.
因为与成角，所以.
即，解得，舍去.
所以当点为线段中点时，与成角. ………………12分
20解：（Ⅰ）┄┄┄ ①
┄┄┄ ②
由①-②得：
所以是从第二项起首项为2，公比为3的等比数列，则：
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知当时，
ⅰ当时，
ⅱ当时， ┄┄┄ ③
┄┄┄ ④
由③-④得：
又当时，满足上式
所以：
（Ⅲ）由等价于，由（Ⅰ）可知，当时，
设,则
所以, ，即
所以，又因为
所以, 实数的最小值为。
21解：（Ⅰ）略
（Ⅱ）假设存在直线交椭圆与点两点，且恰为的垂心，设，，因为,故。于是设直线为，由得
所以：，
又
即：
由韦达定理得：
解得或（舍去）
经检验符合条件，故直线的方程为。
22.解：（Ⅰ）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知。因为（当时取等号）。又
（Ⅲ），构造函数，则上式等价于证成立，所以。又令，则当时成立，即得在上单调递减，于是成立，即成立，故成立。所以，由此知单调递减，所以，即，所以
版权所有：高考资源网(www.)
酒精含量
频率
组距
0.02
0.015
0.01
0.005
0
20
30
40
50
60
70
80
90
100
(mg/100ml)