（机构适用）6.1分类加法计数原理与分布乘法计数原理-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册学案（Word含答案）

1了解学习本章的意义,激发学生的兴趣.
2.理解分类计数原理与分步计数原理,培养学生的归纳概括能力.
3.会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题.
1.分类加法计算原理
基本原理
N=m+n
原理推广
N=+...+
提醒：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，每一类中的各种方法相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事，从甲地去乙地共有两类不同方案，方案1中公路线共有4条，方案2中火车线共有2条，从甲地去乙地共有4+2（种）不同的方法。
2.分数乘法计算原理
基本原理
N=m×n，原理推广
N=·...·
两个计数原理的区别
1.区别一
分类加法计数原理：成一件事，共有n类方法，关键词是‘分类’
分类乘法计数原理；完成一件事，共有n各步骤，关键词是‘分步’
2.区别二
分类加法计数原理：每类方法都能独立完成这件事，且每类方法得到的都是最后结果，只需一种方法就可以完成这件事
分类乘法计数原理；任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步也不能完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事
3.区别三
分类加法计数原理；各类方法之间是互拆的、并列的、独立的
分类乘法计数原理；各步之间是关联的、独立的，‘关联’确保不遗漏。‘独立’确保不重复
1.在一次演唱会上共10
名演员（每名演员都会唱歌或跳舞），其中7人能唱歌，6人会跳舞.
（1）问既能唱歌又会跳舞的有几人？
（2）现要选出一个2人唱歌2人伴舞的节目，有多少种选派方法？
【答案】
（1）解：设既能唱歌又会跳舞的有
人，
，
设既能唱歌又会跳舞的有3人。
（2）解：由（1）得：有3人既能唱歌又会跳舞，4人只能唱歌，3人只会跳舞，
①只能唱歌选0人，
，
②只能唱歌选1人，
，
③只能唱歌选2人，
，
有228种选派方法.
【考点】分类加法计数原理，计数原理的应用
【解析】（1）设既能唱歌又会跳舞的有x人，再列出关于x的方程，即可得答案；（2）由（1）得：有3人既能唱歌又会跳舞，4人只能唱歌，3人只会跳舞，以仅会唱歌为分类标准，利用计算原理计算即可得答案；
2.三个女生和五个男生排成一排，
（1）如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？
（2）如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？
（3）如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？
.【答案】
（1）解：将女生捆绑在一起当个元素使用，与五个男生共6个元素作全排列，故有
种；
（2）解：先排五个男生，再将三个女生插进去，故有
种；
（3）解：两端先排女生，其余位置随便排，故有
种.
【考点】分步乘法计数原理
【解析】
（1）分捆绑法2步进行分析：①、先把三个女生看成一个整体，考虑其之间的顺序，②将这个整体与五个男生全排列，由分步计数原理计算可得答案；
（2）用插空法分析：①、先把五个男生排好，分析其空位的数目，②、再把三个女生插入这六个位置中，由分步计数原理计算可得答案；
（3）分2步进行分析：①、在5个男生中挑选2个安排在两端，②、将其余6人全排列，安排在其他位置，由分步计数原理计算可得答案．
3.某次文艺晚会上共演出7个节目，其中2个歌曲，3个舞蹈，2个曲艺节目，求分别满足下列条件的节自编排方法有多少种？（用数字作答）
（1）一个歌曲节目开头，另个歌曲节目放在最后压台；
（2）2个歌曲节目相邻且2个曲艺节目不相邻．
【答案】
（1）解：根据题意，分2步进行分析：
①要求2个歌曲节目1个在开头，另一个在最后，有
种安排方法，
②将剩下的5个节目全排列，安排在中间，有
种安排方法，
则一共有
种安排方法
（2）解：根据题意，分3步进行分析：
①2个歌曲节目相邻，将其看成一个整体，有
种情况，
②将这个整体与3个舞蹈节目全排列，有
种情况，排好后有5个空位，
③在5个空位中任选2个，安排2个曲艺节目，有
种情况，
则一共有
种安排方法．
【考点】分步乘法计数原理，计数原理的应用
【解析】（1）利用分步加法计数原理结合排列数公式和已知条件，求出一个歌曲节目开头，另个歌曲节目放在最后压台的安排方法种数。
（2）利用分步加法计数原理结合排列数公式和已知条件，求出2个歌曲节目相邻且2个曲艺节目不相邻的方法种数。
4.某班有男生28名、女生20名，从该班选出学生代表参加校学代会．
（1）若学校分配给该班1名代表，则有多少种不同的选法？
（2）若学校分配给该班2名代表，且男、女生代表各1名，则有多少种不同的选法？
【答案】
（1）解：选出1名代表，可以选男生，也可以选女生，因此完成“选1名代表”这件事分2类：
第1类，从男生中选出1名代表，有28种不同方法；
第2类，从女生中选出1名代表，有20种不同方法．
根据分类加法计数原理，共有28＋20＝48种不同的选法．
（2）解：完成“选出男、女生代表各1名”这件事，可以分2步完成：
第1步，选1名男生代表，有28种不同方法；
第2步，选1名女生代表，有20种不同方法．
根据分步乘法计数原理，共有28×20＝560种不同的选法．
【考点】分类加法计数原理，分步乘法计数原理
【解析】（1）根据分类计数原理，分别求出选择男生和女生的不同方法，最后求和即可；（2）根据分步计数原理，分别求出选择男生和女生的不同方法，最后求积即可；
1.某学校有东、南、西、北四个校门，受新冠肺炎疫情的影响，学校对进入四个校门做出如下规定：学生只能从东门或西门进入校园，教师只能从南门或北门进入校园.现有2名教师和3名学生要进入校园（不分先后顺序），请问进入校园的方式共有（???
）
A.?6种?????????????????????????????????????B.?12种?????????????????????????????????????C.?24种?????????????????????????????????????D.?32种
2.埃及金字塔之谜是人类史上最大的谜，它的神奇远远超过了人类的想象.在埃及金字塔内有一组神秘的数字142857，因为142857×2=285714，142857×3=428571，142857×4=571428，...，所以这组数字又叫“走马灯数”.该组数字还有如下发现：142+857=999，428+571=999，285+714=999，...，若从这组神秘数字中任选3个数字构成一个三位数
，剩下的三个数字构成另一个三位数
，若
，则所有可能的有序实数组
的个数为（???
）
A.?48????????????????????????????????????????B.?60????????????????????????????????????????C.?96????????????????????????????????????????D.?120
3.设
，
与
是
的子集，若
，则称
为一个“理想配集”.那么符合此条件的“理想配集”（规定
与
是两个不同的“理想配集”的个数是（???
）
A.?16???????????????????????????????????????????B.?9???????????????????????????????????????????C.?8???????????????????????????????????????????D.?4
4.有不同颜色的四件上衣与不同颜色的三条长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数(
??)
A.?7?????????????????????????????????????????B.?64?????????????????????????????????????????C.?12?????????????????????????????????????????D.?81
参考答案
1.【答案】
D
【解析】
因为学生只能从东门或西门进入校园，
所以3名学生进入校园的方式共
种.
因为教师只可以从南门或北门进入校园，
所以2名教师进入校园的方式共有
种.
所以2名教师和3名学生要进入校园的方式共有
种情况.
2.【答案】
A
【解析】
∵
这六个数中，
，
，
，共3组
要使六个数字中任意取出3个数字构成一个三位数
，剩下的三个数字构成另一个三位数
，且
，则从每组数字中抽取一个构成
，所以
共有
种情况，
的每个数字对应的同组数字按顺序构成对应的
，故所有可能的有序实数组
的个数也为48.
3.【答案】
B
【解析】
由题意，对子集
分类讨论：
当集合
，集合
可以是
，共4中结果；
当集合
，集合
可以是
，共2种结果；
当集合
，集合
可以是
，共2种结果；
当集合
，集合
可以是
，共1种结果，
根据计数原理，可得共有
种结果.
4.【答案】
C
【解析】
根据题意，由于四件不同款式的上衣与三件不同颜色的长裤，那么先选择裤子有3种，那么在选上衣有4种，根据分步乘法计数原理，得到结论为3×4=12，