（机构适用）6.2排列与组合-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册学案（Word含答案）

1了解排列、组合的意义
2.理组合数的两个性质
3.会排列数、组合数计算公式
一、排列与组合
排列的定义
一般地，从n
个不同元素中取出m(m≤n)个元素,并按照一定的顺序排成一列，
叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列
二、排列数
1.排列数的定义
从n
个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n
个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示
2.排列数公式
（1）排列数公式：=n（n-1）（n-2）...（n-m+1）
（2）全排列：=n（n-1）（n-2）×...×3×2×1
（3）阶乘：=n！规定0！=1
（4）排列数的性质：=n，=m+
三、组合
1.组合的定义
一般地，从n
个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合
2.组合数的定义
从n
个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n
个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示
组合数公式
（1）组合数公式：==还可以写成
=
规定=1
（2）组合数的两个性质
性质1：=
性质2：=+
1.7个人排成一排，在下列情况下，各有多少种不同排法？
（1）甲不在两端；
（2）甲、乙、丙三个必须在一起；
（3）甲、乙必须在一起，且甲、乙都不能与丙相邻．
【答案】
（1）解：甲不排头，也不排尾，则甲有5个位置供选择，有5种情况；
将其余6人全排列，安排到其他位置，有
种排法.
共有
种排法
（2）解：采用捆绑法：先将甲、乙、丙三人看成一个整体，有
种排法，将这个整体与其他四人全排列，有
种排法
（3）解：先捆绑法：先将甲、乙二人看成一个整体，有
种排法，再将这个整体与丙插入其他四人所形成的空中（包括两端），共有
种.
因此，共有
种排法
【考点】排列、组合及简单计数问题
【解析】（1）利用已知条件结合排列数公式，再结合分步乘法计数原理，进而求出甲不在两端的排法种数。
（2）利用已知条件结合排列数公式，再结合分步乘法计数原理合捆绑法，进而求出甲、乙、丙三个必须在一起的排法种数。
（3）利用已知条件结合排列数公式，再结合分步乘法计数原理合捆绑法，进而求出甲、乙必须在一起，且甲、乙都不能与丙相邻的排法种数。
?
2.已知
的展开式中，第4项的系数与倒数第4项的系数之比为
.
（1）求m的值；
（2）求展开式中所有项的系数和与二项式系数和；
（3）将展开式中所有项重新排列，求有理项不相邻的概率.
【答案】
（1）解：展开式的通项为
，
∴展开式中第4项的系数为
，倒数第4项的系数为
，
，即
（2）解：令
可得展开式中所有项的系数和为
，展开式中所有项的二项式系数和为
（3）解：展开式共有8项，由（1）可得当
为整数，即
时为有理项，共4项，
∴由插空法可得有理项不相邻的概率为
【考点】古典概型及其概率计算公式，排列、组合及简单计数问题，二项式系数的性质，二项式定理的应用
【解析】（1）利用二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用通项公式求出
的展开式中，第4项的系数与倒数第4项的系数，再结合
的展开式中，第4项的系数与倒数第4项的系数之比为
，
进而求出m的值。
（2）利用二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用通项公式和二项式系数的性质，进而求出展开式中所有项的系数和与二项式系数和。
（3）
将展开式中所有项重新排列，
再结合有理项定义，再利用二项式定理求出展开式中的通项公式，再结合通项公式求出有理项，再利用排列数公式结合古典概型求概率公式，进而由插空法可得有理项不相邻的概率。
?
3.用0、1、2、3、4这五个数字组成无重复数字的自然数．
（1）在组成的三位数中，求所有偶数的个数；
（2）在组成的三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如301、432等都是“凹数”，试求“凹数”的个数．
【答案】
（1）解：偶数分为二类：
若个位数
，则共有
个；
若个位数是2或4，则首位数不能为0，则共有
个；
所以，符合条件的三位偶数的个数为
（2）解：“凹数”分三类：
若十位是1，则有
个；
若十位是1，则有
个；
若十位是2，则有
个；
所以，符合条件的“凹数”的个数为
．
【考点】排列、组合及简单计数问题
【解析】（1）对
个位数是否为?进行分类讨论，结合分步乘法计数原理和分类加法计数原理可求得结果；
（2）对十位数字进行分类讨论，结合“凹数”的定义与分类加法计数原理可求得答案。
4.从2021年起，重庆市将进行新高考改革，在选科方式、试卷形式、考查方法等方面都有很大的变化．在数学学科上，有如下变化：新高考不再分文理科数学，而是采用一套试题测评；新高考增加了多选题，给各种层次的学生更大的发挥空间；新高考引入开放性试题，能有效地考查学生建构数学问题、分析问题、解决向题的能力．已知新高考数学共4道多选题，评分标准是每题满分5分，全部选对得5分，部分选对得3分，有错选或不选的得0分．每道多选题共有4个选项，正确答案往往为2项或3项．为了研究多选题的答题规律，某数学兴趣小组研究发现：多选题正确答案是“选两项”的概率为
，正确答案是“选三项”的概率为
．现有学生甲、乙两人，由于数学基础很差，多选题完全没有思路，只能靠猜．
（1）在已知某题正确答案是“选两项”的条件下，学生甲乱猜该题，求他不得0分的概率；
（2）学生甲的答题策略是“猜一个选项”，学生乙的策略是“猜两个选项”，试比较两个同学的策略，谁的策略能得更高的分数？并说明理由．
【答案】
（1）解：分两类：乱猜一个选项得3分，乱猜两个选项得5分．
①猜一个选项得3分的概率为
；
②猜两个选项得5分的概率为
，
故学生甲不得0分的概率
（2）解：设甲、乙两人的得分分别为
，
，
两人的得分期望分别为
，
，
学生甲：
，
，
学生甲的得分
的分布列为
0
3
故
．
学生乙：
，
，
，
学生乙的得分
的分布列为
0
3
5
故
，
因为
，所以学生甲的策略最好．
【考点】互斥事件的概率加法公式，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差，排列、组合及简单计数问题
【解析】（1）分两类：乱猜一个选项得3分，乱猜两个选项得5分．求出猜一个选项得3分的概率与猜两个选项得5分的概率，可得故学生甲不得0分的概率；（2）（2）设甲、乙两人的得分分别为
，
，两人的得分期望分别为
，
，分别列出学生甲的得分
的分布列，学生乙的得分
的分布列为，求出
，
，可得答案.
1.有7名学生参加“学党史知识竞赛”，咨询比赛成绩，老师说：“甲的成绩是最中间一名，乙不是7人中成绩最好的，丙不是7人中成绩最差的，而且7人的成绩各不相同”.那么他们7人不同的可能位次共有（???
）
A.?120种?????????????????????????????????B.?216种?????????????????????????????????C.?384种?????????????????????????????????D.?504种
2.小明同学从9种有氧运动和3种无氧运动中选4种运动进行体育锻炼，则他至少选中1种无氧运动的选法有（???
）
A.?261种?????????????????????????????????B.?360种?????????????????????????????????C.?369种?????????????????????????????????D.?372种
3.从正方体的12条棱中任选3条棱，则这3条棱两两异面的概率为（???
）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
4.现有5名志愿者被分配到3个不同巡查点进行防汛抗洪志愿活动，要求每人只能去一个巡查点，每个巡查点至少有一人，则不同分配方案的总数为（???
）
A.?120??????????????????????????????????????B.?150??????????????????????????????????????C.?240??????????????????????????????????????D.?300
参考答案
1.【答案】
D
【解析】
因为甲的成绩是中间一名，
所以只需安排其余6人位次，
因为乙不排第一名，丙不排最后一名，
所以由间接法可得
,
2.【答案】
C
【解析】
解：从9种有氧运动和3种无氧运动中选4种运动进行体育锻炼，则他至少选中1种无氧运动的选法有
（种）．
3.【答案】
A
【解析】
从正方体的12条棱中任选3条棱，共有
种，
其中，每条棱都有4条棱与其异面，
例如，
与
异面，有
和
两组构成两两异面，
对于
构成的平面，每条棱都可以构成2组两两异面，
因此共有
种组合公式构成两两异面，
故这
条棱两两异面的概率为
。
4.【答案】
B
【解析】
有5名志愿者被分配到3个不同巡查点进行防汛抗洪志愿活动，
要求每人只能去一个巡查点，每个巡查点至少有一人，
包括两种情况：
一是按照2，2，1分配，有
种结果，
二是按照3，1，1分配，有
种结果．
不同分配方案的总数为
。