（机构适用）6.3二项式定理-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册学案（Word含答案）

1了解二项式定理
2.理解二项式系数的性质
3.掌握多项式展开式的特定项或系数问题
二项式定理
（1）二项式定理：（a+b）=++...+，n∈N
.
（2）二项式展开式：二项式定理右边的多项式叫做（a+b）的二项式展开式，它共有n+1项.
（3）二项式系数：各项的系数（k=0，1，2，...，n）叫做二项式系数.
（4）二项展开式的通项：二项展开式中第k+1项叫做二项展开式的通项.
1?（1）设
.
①求
；
②求
；
③求
；
（2）求
除以9的余数．
【答案】
（1）解：①令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝(3－1)4＝16.
②令x＝－1得，a0－a1＋a2－a3＋a4＝(－3－1)4＝256，
而a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝(3－1)4＝16，两式相加，得a0＋a2＋a4＝136.
③令x＝0得a0＝(0－1)4＝1，得a1＋a2＋a3＋a4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4－a0＝16－1＝15
（2）解：S＝C
＋C
＋…＋C
＝227－1
＝89－1＝(9－1)9－1＝C
×99－C
×98＋…＋C
×9－C
－1
＝9(C
×98－C
×97＋…＋C
)－2
＝9(C
×98－C
×97＋…＋C
－1)＋7，
显然上式括号内的数是正整数．
故S被9除的余数为7
【考点】二项式系数的性质
【解析】（1）利用赋值法分别求出
，?
和的值。
（2）利用已知条件结合二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用组合数的性质，从而求出
除以9的余数。
2.二项式
的展开式中，有且只有第三项的二项式系数最大.
（1）求所有二项式系数的和；
（2）求展开式中的有理项.
【答案】
（1）解：由题意，二项展开式中，有且只有第三项的二项式系数最大，可得
，
因此所有二项式系数的和
.
（2）解：二项展开式的通项为：
由有理项的定义，可得
，所以
或
，
因此所求有理项为
，
.
【考点】二项式系数的性质，二项式定理的应用
【解析】（1）由二项展开式的性质求得
的值，结合二项式系数的性质，即可求得二项式系数的和；（2）取得二项展开式的通项为：
，根据有理项的定义，求得
或
，代入即可求解.
3.已知
.
（1）求n的值；
（2）求
展开式中
项的系数.
【答案】
（1）解：因为
所以
即
所以
（2）解：由（1）得
中
，
所以
中，
，
所以
，所以
，
所以
系数为
.
【考点】排列及排列数公式，组合及组合数公式，二项式定理
【解析】（1）根据排列数和组合数公式，列方程；（2）写出二项展开式的通项公式，求出
系数为
，即可得到答案；
4.在平面直角坐标系xOy中，点P(x0
，
y0)在曲线y＝x2(x＞0)上．已知A(0，－1)，
，n∈N
．记直线APn的斜率为kn
．
（1）若k1＝2，求P1的坐标；
（2）若k1为偶数，求证：kn为偶数．
【答案】
（1）解：因为k1＝2，所以
，
解得x0＝1，y0＝1，所以P1的坐标为(1，1)．
（2）解：设k1＝2p(p
N
)，即
，
所以
－2px0＋1＝0，所以x0＝p±
．
因为y0＝x02
，
所以kn＝
所以当x0＝p＋
时，
kn＝(p＋
)n＋(
)n＝(p＋
)n＋(p－
)n
．
同理，当
x0＝p－
时，kn＝(p＋
)n＋(p－
)n
．
①当n＝2m(m
N
)时，
kn＝2
，所以kn为偶数．
②当n＝2m＋1(m
N)时，kn＝2
，所以kn为偶数．
综上，
kn为偶数
【考点】二项式定理，分析法和综合法，斜率的计算公式
【解析】（1）由两点间斜率公式得
，解方程得P1的坐标（2）先求出kn＝
，再利用k1为偶数表示x0
，
设k1＝2p(p
N
)，则x0＝p±
．最后利用二项式展开定理证明kn为偶数。
1.
的展开式中含
项的系数为（???
）
A.?12????????????????????????????????????????B.?-12????????????????????????????????????????C.?24????????????????????????????????????????D.?-24
2.已知
的展开式中有常数项，则
的值可能是（???
）
A.?5???????????????????????????????????????????B.?6???????????????????????????????????????????C.?7???????????????????????????????????????????D.?8
3.已知
的展开式中含
项的系数为4，则实数
（???
）
A.?2??????????????????????????????????????????B.?4??????????????????????????????????????????C.?-2??????????????????????????????????????????D.?-4
4.
若
+++...+,则=（
）
A.20
B.-20
C.15
D.-15
参考答案
1.【答案】
B
【解析】
由
，
则二项式
的展开式
当
，此时
，
此时可得
展开式中
项的系数为-12.
2.【答案】
B
【解析】
由题意展开式通项公式为
，
所以关于
的方程
有正整数解，
必是3的整数倍，只有B满足。
3.【答案】
A
【解析】
因为
，所以其展开式中含有
项的系数有两部分：一部分是
展开式中
的系数
，另一部分是
中
的系数与
的乘积即
，所以
解得
.
4.【答案】
B
【解析】
因为
，所以展开式的通项为
，
令
，则
，所以
，