（机构适用）7.1条件概率与全概率公式-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册学案（Word含答案）

1了解求条件概率的方法
2.理解全概率公式
3.掌握贝叶斯公式及应用
一、条件概率
1、条件概率的概念
条件概率揭示了P(A)，P(AB)，P()三者之间“知二求一”的关系
一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P()=为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率.
2、概率的乘法公式
由条件概率的定义，对任意两个事件A与B
,若P(A)>0，则,我们称上式为概率的乘法公式.
3、条件概率的性质
设P(A)>0，则
（1）
（2）如果B与C是两个互斥事件，则
（3）设和互为对立事件，则
二、全概率公式
1.全概率公式
一般地，设是一组两两互斥的事件，，且，，则对任意的事件,有
我们称上面的公式为全概率公式，全概率公式是概率论中最基本的公式之一
贝叶斯公式
设是一组两两互斥的事件，，且，，则对任意的事件，，有==，
1.袋中有a个黑球和b个白球，随机地每次从中取出一球，每次取后不放回，记事件A为“直到第k次才取到黑球”，其中1≤k≤b；事件B为“第7次取出的球恰好是黑球”，其中1≤k≤b。
（Ⅰ）若a＝5，b＝3，k＝2，求事件A发生的概率；
（Ⅱ）判断事件B发生的概率是否随k取值的变化而变化？并说明理由；
（Ⅲ）比较a＝5，b＝9时事件A发生的概率与a＝5，b＝10时事件A发生的概率的大小，并说明理由。
【答案】
解：（Ⅰ）基本事件空间中有基本事件
个基本事件，事件A：“直到第2次才取到黑球”有
个基本事件，
；（Ⅱ）基本事件空间中有基本事件
个基本事件，事件B：“第k次取出的球恰好是黑球”有
个基本事件，
；则事件B发生的概率与k取值没有关系；（Ⅲ）a＝5，b＝9时事件A发生的概率
，a＝5，b＝10时事件A发生的概率
，
，所以，当
时，
；当
时，
；当
时，
【考点】条件概率与独立事件
【解析】（Ⅰ）先求出基本事件的个数，再列出事件AD
基本事件个数，两者相处即可求解；
（Ⅱ）列出事件B发生的概率表达式并化简，里面有k则事件B发生的概率与k取值有关系，反之则无关系。
（Ⅲ）分别列出a＝5，b＝9时事件A发生的概率和a＝5，b＝10时事件A发生的概率，然后将他们作比较即可得出结论。
2.一盒子装有4件产品，其中3件一等品，1件二等品．从中取产品两次，每次任取一件，作不放回抽样．设事件A为“第一次取到的是一等品”，事件B为“第二次取到的是一等品”，试求条件概率P（B|A）．
【答案】
解：由题意，P（B|A）===
．
【考点】条件概率与独立事件
【解析】利用P（B|A）=
，
即可得出结论．
3.某班从6名班干部（其中男生4人，女生2人）中，任选3人参加学校的义务劳动．
（1）设所选3人中女生人数为X，求X的分布列；
（2）求男生甲或女生乙被选中的概率；
（3）设“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，求P（B|A）．
【答案】
解：（1）X=0、1、2、3
，
P（X=0）==
，
P（X=1）==
，
P（X=2）==
．
∴ξ的分布列为：
X
0
1
2
P
（2）P=1﹣=1﹣=
（3）P（A）==
，
P（AB）==
，
P（B|A）=
【考点】条件概率与独立事件
【解析】（1）由题设知，X的可有取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列；
（2）利用对立事件的概率公式求解即可；
（3）求出男生甲被选中的概率、男生甲、女生乙都被选中的概率，即可得出结论．
4.容器中盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球．
（1）“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”这两个事件是否相互独立？为什么？
（2）“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“把取出的1个白球放回容器，再从容器中任意取出1个，取出的是黄球”这两个事件是否相互独立？为什么？
【答案】
（1）解：“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为
，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为
；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为
.可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件
（2）解：由于把取出的白球放回容器，故对“从中任意取出1个，取出的是黄球”的概率没有影响，所以二者是相互独立事件
【考点】条件概率与独立事件
【解析】判断两个事件A、B是否相互独立，可以看A的发生对事件B发生的概率是否有影响，也可根据独立事件的定义：P（AB）=P（A）P（B）来判断．
9.将两颗骰子各掷一次，设事件
“两个点数都不相同”，
“至少出现一个5点”，则概率
（???
）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
10.一个袋中装有大小相同的3个白球和3个黑球，若不放回地依次取两个球，设事件A为“第一次取出白球”，事件B为“第二次取出黑球”，则概率
（???
）
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
11.同时抛掷一颗红骰子和一颗蓝骰子，观察向上的点数，记“红骰子向上的点数小于4”为事件A，“两颗骰子的点数之和等于7”为事件B，则
（???
）
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
12.从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，记事件
为“取到的2个数之积为偶数”，事件
为“取到的2个数之和为偶数”，则
（???
）
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
参考答案
1.【答案】
A
【解析】
根据条件概率的含义，
其含义为在
发生的情况下，
发生的概率，
即在“至少出现一个5点”的情况下，“两个点数都不相同”的概率，
“至少出现一个5点”的情况数目为
，
“两个点数都不相同”则只有一个5点，共
种，
故
．
2【答案】
B
【解析】
设事件A为“第一次取出白球”，事件B为“第二次取出黑球”，
，
第一次取出白球的前提下，第二次取出黑球的概率为：
.
3.【答案】
B
【解析】
解：由题意，
为抛掷两颗骰子，红骰子的点数小于4时两骰子的点数之和等于7的概率．
抛掷两颗骰子，红骰子的点数小于4，基本事件有
个，红骰子的点数小于4时两骰子的点数之和等于7，基本事件有3个，分别为（1，6），（2，5），（3，4），
．
4.【答案】
B
【解析】
事件
为“取到的2个数之积为偶数”，
事件
为“取到的2个数之和为偶数”，
则