（机构适用）7.2离散型随机变量及其分布列-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册学案（Word含答案）

1了解离散型随机变量的分布列及性质
2.理解两点分布
3掌握离散型随机变量的分布列的求法
一、第一课时离散型随机变量及其分布列
1.随机变量
定义:一般地,对于随机试验样本空间中的每个样本点，都有唯一的实数与之对应，我们称X为随机变量
2.离散型随机变量
可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称为离散型随机变量，通常用大写英文字母表示随机变量，用小写英文字母表示随机变量的取值
3.随机变量和函数的关系
随机变量的定义与函数的定义类似，这里的样本点相当于函数定义中的自变量，而样本空间相当于函数的定义域，不同之处在于不一定是数集
二、第二课时离散型随机变量的分布列及两点分布
1.离散型随机变量的分布列
离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之和
（1）离散型随机变量的分布列
一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1,x2,…，xn我们称X取每一个值xi的概率,为X的概率分布列，简称为分布列
可以用表格来表示X的分布列，如下表
X
P
还可以用图形表示，如下图直观地表示了掷骰子试验中掷出的点数X的分布列，称为X的概率分布图.
2.离散型随机变量的分布列的性质
（1），
（2）
3.两点分布
对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，表示“失败”，定义
如果=p，则=1-p，那么X的分布列如表所示
X
0
1
P
1-P
P
我们称X服从两点分布或0-1分布
1.某校组织一次冬令营活动，有7名同学参加，其中有4名男同学，3名女同学，为了活动的需要，要从这7名同学中随机抽取3名同学去执行一项特殊任务，记其中有X名男同学．
（1）求X的分布列；
（2）求去执行任务的同学中有男有女的概率．
【答案】
（1）解：由题意可知，随机变量X的可能取值有
、
、
、
，
，
，
，
.
所以，随机变量
的分布列如下表所示：
X
1
2
3
P
（2）解：记事件A:去执行任务的同学中有男有女，
则
.
【考点】互斥事件的概率加法公式，离散型随机变量及其分布列
【解析】（1）由题意可知，随机变量
的可能取值有0、1、2、3，计算出随机变量
在不同取值下的概率，进而可得出随机变量
的分布列；（2）由题意可知，事件“去执行任务的同学中有男有女”包括
、
，利用概率的加法公式可求得所求事件的概率.
2.一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1，2，3，4；白色卡片3张，编号分别为2，3，4.从盒子中任取4张卡片（假设取到任何一张卡片的可能性相同）.
（1）求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率.
（2）在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列.
【答案】
（1）解：不含编号为3的卡片的概率
，故
（2）解：随机变量X的可能取值为：
.
；
；
；
.
分布列为：
?
1
2
3
4
?
【考点】互斥事件与对立事件，离散型随机变量及其分布列，排列、组合及简单计数问题
【解析】（1）利用已知条件结合组合数公式，再利用古典概型求概率公式和对立事件求概率公式，进而求出取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率。
（2）利用已知条件求出随机变量X的可能的取值，再利用组合数公式结合古典概型求概率公式，进而求出随机变量X的分布列。
3.甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为
、
、
，三人各射击一次，击中目标的次数记为
.
（1）求甲、乙两人击中，丙没有击中的概率；
（2）求
的分布列.
【答案】
（1）解：记甲、乙两人击中丙没有击中为事件
，则甲，乙两人击中，丙没有击中的概率为：
（2）解：由题意可知，随机变量
的可能取值为0、1、2、3，
，
，
，
.
所以，随机变量
的分布列如下：
0
1
2
3
【考点】相互独立事件的概率乘法公式，离散型随机变量及其分布列
【解析】
（1）记甲、乙两人击中丙没有击中为事件A，利用相互独立事件概率乘法公式能求出甲，乙两人击中，丙没有击中的概率．
（2）由题意可知ξ可取的值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列。
?
?
4.2018年茂名市举办“好心杯”少年美术书法作品比赛，某赛区收到200件参赛作品，为了解作品质量，现从这些作品中随机抽取12件作品进行试评.成绩如下：67,82,78,86,96,81,73,84,76,59,85,93.
（1）求该样本的中位数和方差；
（2）若把成绩不低于85分（含85分）的作品认为为优秀作品，现在从这12件作品中任意抽取3件，求抽到优秀作品的件数的分布列和期望.
【答案】
（1）解：样本数据按顺序为59，67,73,76,78,81,82,84,85,86,93,96.
数据的中位数为：
?
平均数为
?
方差为
（2）解：设抽到优秀作品的个数为
，则
的可能值为0,1，2,3
所以
的分布列为：
0
1
2
3
期望为
【考点】众数、中位数、平均数，极差、方差与标准差，离散型随机变量及其分布列
【解析】（1）首先将样本数据按顺序排列，进而得出数据的中位数以及方差。
（2）首先根据题意得出抽到优秀作品的个数可能值为0,1,2,3
，进而得出其分布列，根据分布列得出数学期望。
1.已知随机变量
的分布列如下，则
（???
）
X
0
1
2
3
P
p
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
2.若随机变量
的分布列如下：
-2
-1
0
1
2
3
0.1
0.2
0.2
0.3
0.1
0.1
则
（???
）
A.?0.8????????????????????????????????????????B.?0.5????????????????????????????????????????C.?0.3????????????????????????????????????????D.?0.2
3.若随机变量
的分布列如下表所示，则
等于（???
）
-2
2
4
P
A.?0????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?1
4.设随机变量
的概率分布表如下图，则
（???
）
?
1
2
3
4
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
参考答案
1.【答案】
D
【解析】
由题意可得
，则
2.【答案】
B
【解析】
解：由随机变量
的分布列知：
．
3.【答案】
C
【解析】
根据分布列的性质，可得
，解得
，解得
.
4.【答案】
C
【解析】
由
，可得
或
.
再由分布列性质可得
则
.