（机构适用）7.3离散型随机变量的数字特征-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册学案（Word含答案）

1了解离散型随机变量的均值
2.理解求离散型随机变量的平均值与方差
3.掌握离散型随机变量的方差
一、离散型随机变量的均值
1．离散型随机变量的均值或数学期望
正确地求出离散型随机变量的分布列是求解期望的关键一般地，若离散型随机变
量X的分布列为
X
P
则称为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称为期望.均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，
它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平.
2．两点分布的期望
一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么
3．离散型随机变量的均值的性质
设X的分布列为，
一般地，下面的结论成立:
二、离散型随机变量的方差
离散型随机变量的方差、标准差
设离散型随机变量X的分布列如下表所示：
X
P
考虑X所有可能取值与的偏差的平方,，…,因为X取每个值的概率不尽相同，所以我们用偏差平方关于取值概率的加权平均，来度量随机变量X取值与其均值的偏离程度，我们称为随机变量X的方差，有时也记为，并称为随机变量X的标准差，记为
2.几个常见的结论
（1）
（2）如果随机变量X服从两点分布，那么
1.天问一号火星探测器于2021年2月10日成功被火星捕获，实现了中国在深空探测领域的技术跨越.为提升探测器健康运转的管理水平，西安卫星测控中心组织青年科技人员进行探测器遥控技能知识竞赛，已知某青年科技人员甲是否做对每个题目相互独立，做对
，
，
三道题目的概率以及做对时获得相应的奖金如表所示.
题目
做对的概率
0.8
0.6
0.4
获得的奖金/元
1000
2000
3000
规则如下：按照
，
，
的顺序做题，只有做对当前题目才有资格做下一题.
（1）求甲获得的奖金
的分布列及均值；
（2）如果改变做题的顺序，获得奖金的均值是否相同？如果不同，你认为哪个顺序获得奖金的均值最大？（不需要具体计算过程，只需给出判断）
【答案】
（1）解：分别用
，
，
表示做对题目
，
，
的事件，则
，
，
相互独立.
由题意，
的可能取值为0，1000，3000，6000.
；
；
；
.
所以甲获得的奖金
的分布列为：
0
1000
3000
6000
0.2
0.32
0.288
0.192
（2）解：改变做题的顺序，获得奖金的均值互不相同.
决策的原则是选择期望值
大的做题顺序，这称为期望值原则.做对的概率大表示题目比较容易，做对的概率小表示题目比较难.
猜想：按照由易到难的顺序做题，即按照题目
，
，
的顺序做题，得到奖金的期望值最大
【考点】离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差
【解析】（1）
确定
的可能取值，分别求出对应的概率，列出分布列，由数学期望的计算公式求解即可；
（2）利用期望值原则进行分析判断即可.
2.某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.在购进机器时，可以一次性额外购买几次维修服务，每次维修服务费用200元，另外实际维修一次还需向维修人员支付小费，小费每次50元.在机器使用期间，如果维修次数超过购机时购买的维修服务次数，则每维修一次需支付维修服务费用500元，无需支付小费.现需决策在购买机器时应同时一次性购买几次维修服务，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内的维修次数，得下面统计表：
维修次数
8
9
10
11
12
频数
10
20
30
30
10
以这100台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率，
记
表示1台机器三年内共需维修的次数，
表示购买1台机器的同时购买的维修次数．
（1）求
的分布列；
（2）若要求
，确定
的最小值；
（3）以在维修上所需费用的期望值为决策依据，在
与
之中选其一，应选用哪个？
【答案】
（1）解：由统计表并以频率代替概率可得，
的分布列为
8
9
10
11
12
0.1
0.2
0.3
0.3
0.1
（2）解：因为
，
，
所以
的最小值为11．
（3）解：记当
时，在维修上所需费用为
元，则
的分布列为
2400
2450
2500
3000
3500
0.1
0.2
0.3
0.3
0.1
所以
（元）
记当
时，在维修上所需费用为
元，则
的分布列为
2600
2650
2700
2750
3250
0.1
0.2
0.3
0.3
0.1
所以
（元）???
因为
，所以应选择
．
【考点】离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差
【解析】(1)结合已知条件即可得出X的分布列。
(2)由已知条件代入数值计算出结果即可。
(3)由已知图表中的数据结合期望公式计算出结果，再进行比较即可得出满足题意n的值。
?
3.某射击小组由两名男射手与一名女射手组成，射手的每次射击都是相互独立的，已知每名男射手每次的命中率为
，女射手每次的命中率为
.
（1）当每人射击2次时，求该射击小组共射中目标4次的概率；
（2）当每人射击
次时，规定两名男射手先射击，如果两名男射手都没有射中，那么女射手失去射击资格.一个小组共射中目标
次得100分，射中目标2次得60分，射中目标1次得10分，没有射中目标得-50分.用随机变量
表示这个射击小组的总得分，求
的分布列及数学期望.
【答案】
（1）解：记“该射击小组共射中目标4次”为事件
，
则
（2）解：
的可能取值为100，60，10，-50，
，
，
，
，
所以
的分布列为
100
60
10
-50
故
的数学期望
【考点】离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差
【解析】
（1）利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次概率计算公式能求出当每人射击2次时，该射击小组共射中目标4次的概率．
（2）随机变量X表示这个射击小组的总得分，则X的可能取值为-50，10，60，100，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．
4.李雷、韩梅梅两人进行象棋比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满4局时停止．设李雷在每局中获胜的概率为
，且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为
．
（1）求P的值；
（2）设
表示比赛停止时李雷的总得分，求随机变量
的分布列和数学期望
．
【答案】
（1）解：依题意，当李雷连胜2局或韩梅梅连胜2局时，第二局比赛结束时比赛结束，
∴有
，解得
或
，∵
，∴
（2）解：依题意知，
的所有可能值为0，1，2，3，
∴
∴
∴
∴
∴随机变量
的分布列为：
0
1
2
3
P
故
【考点】概率的基本性质，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差
【解析】(1)结合题意由概率的定义以及性质计算出P的值即可。
(2)根据题意求出的取值，
，
由此即可得出
的分布列
并把数值代入到期望值公式计算出结果即可。
1.设
，随机变量的分布
-1
0
1
P
a
b
则当a在
内增大时，（???
）
A.?
增大，
增大???????????????????????????????????????B.?
增大，
减小
C.?
减小，
增大?????????????????????????????????????D.?
减小，
减小
2.设
，随机变量X的分布列是：
X
-1
1
2
P
则当
最大时的a的值是（???
）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
3.袋子
中装有若干个均匀的红球和白球，从
中有放回地摸球，每次摸出一个，摸出一个红球的概率是
，有3次摸到红球即停止.记5次之内(含5次)摸到红球的次数为
，则
的数学期望
（???
）
A.??????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????D.?
4.已知随机变量
，那么随机变量X的均值
（???
）
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.?2??????????????????????????????????????????D.?
参考答案
1.【答案】
D
【解析】
解：由因为分布列中概率之和为1，可得
，
∴
，∴当
增大时，
减小，
又由
可知当
在
内增大时，
减小.
2.【答案】
D
【解析】
根据随机变量的分布列和数学期望与方差的计算公式，
可得
，
又由
可得
，
因为
，所以当
最大时的
的值为
.
3.【答案】
A
【解析】
由题意，
能取的值为
，
，
，
，
则
，
，
，
，
则
的数学期望
.
4.【答案】
B
【解析】
因为
，所以有
.