（机构适用）7.4二项分布与超几何分布-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册学案（Word含答案）

1了解二项分布问题
2.理解超几何分布应用
3.掌握超几何分布问题
一、二项分布
n重伯努利实验
把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利实验
我们将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利实验，显然，n重伯努利实验具有如下共同特征：
①同一个伯努利试验重复做n次
②各次试验的结果相互独立
二项分布
一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p（0＜P＜1），用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为，
如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作
二项分布的均值与方差
若，则，
二、超几何分布
1.超几何分布
一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件（不放回），用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为，k=m,m+1,m+2,…，r
其中n，N，M,,,,,如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布
超几何分布的期望
（P为N件产品的次品率）
1.生活垃圾分类工作是一项复杂的系统工程，须坚持“政府推动?部门联运?全面发动?全民参与”原则.某小学班主任为了让本班学生能够分清干垃圾和湿垃圾，展开了“垃圾分类我最行”的有奖竞答活动.班主任将本班学生分为
两组，规定每组抢到答题权且答对一题得1分，未抢到答题权或抢到答题权且答错得0分，将每组得分分别逐次累加，当其中一组得分比另一组得分多3分或六道题目全部答完时，有奖竞答活动结束，得分多的一组的每一位学生都将获得奖品一份.设每组每一道题答对的概率均为
，
组学生抢到答题权的概率为
.
（1）在答完三题后，求
组得3分的概率；
（2）设活动结束时总共答了
道题，求
的分布列及其数学期望
.
【答案】
（1）解：由题意可知每道题
组得1分的概率为
，
故答完3题后，
组得3分的概率
（2）解：由
组学生抢到答题权的概率为
，可知
组学生抢到答题权的概率为
，
则每道题的答题结果有以下三种：
①
组得1分，
组得0分，此时的概率为
；
②
组得0分，
组得1分，此时的概率为
；
③
组得0分，
组得0分，此时的概率为
.
由题意可知
的可能取值为3，4，5，6.
，
，
，
，
则
的分布列为
3
4
5
6
故
.
【考点】离散型随机变量的期望与方差，二项分布与n次独立重复试验的模型
【解析】（1）算出
组得1分的概率后可得答完3题后
组得3分的概率.（2）
的可能取值为3，4，5，6，利用二项分布可求
的分布列，再利用公式可求数学期望.
2.某班组织“2人组”投篮比赛，每队2人，在每轮比赛中，每队中的两人各投篮1次，规定：每队中2人都投中则该队得3分；若只有1人投中，则该队得1分若没有人投中，则该队得－1分．A队由甲、乙两名同学组成，甲投球一次投中的概率为
，乙投球一次投中的概率为
，且甲、乙投中与否互不影响，在各轮比赛中投中与否也互不影响．
（Ⅰ）求A队在一轮比赛中的得分不低于1分的概率；
（Ⅱ）若共进行五轮比赛，记“A队在一轮比赛中得分不低于1分”恰有X次，求X的期望和方差；
（Ⅲ）若进行两轮比赛，求A队两轮比赛中得分之和Y的分布列和期望．
【答案】
解：（Ⅰ）设事件“A队在一轮比赛中的得分不低于1分”为B，“甲在一轮中投中”为C，“乙在一轮中投中”为D，则C、D相互独立，
包含
，
，
，且
，
，
两两互斥，
，
，
∴
.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知“A队在一轮比赛中的得分不低于1分”的概率为
，
故
，X可以取0，1，2，3，4，5，
∴
，
.
（Ⅲ）Y可以取
，
，
，
，
，
.
所以
的分布列为
Y
－2
0
2
4
6
P
∴
【考点】互斥事件与对立事件，相互独立事件的概率乘法公式，离散型随机变量的期望与方差，二项分布与n次独立重复试验的模型
【解析】（Ⅰ）利用相互独立事件、互斥事件概率计算公式，计算出所求概率.（Ⅱ）利用二项分布期望和方差计算公式，计算出方差和期望.（Ⅲ）利用相互独立事件概率计算公式，计算出分布列并求得数学期望.
3.港珠澳大桥是一座具有划时代意义的大桥.它连通了珠海香港澳门三地，大大缩短了三地的时空距离，盘活了珠江三角洲的经济，被誉为新的世界七大奇迹.截至2019年10月23日8点，珠海公路口岸共验放出入境旅客超过1400万人次，日均客流量已经达到4万人次，验放出入境车辆超过70万辆次，2019年春节期间，客流再次大幅增长，日均客流达8万人次，单日客流量更是创下11.3万人次的最高纪录.
2019年从五月一日开始的连续100天客流量频率分布直方图如下
（1）①同一组数据用该区间的中点值代替，根据频率分布直方图.估计客流量的平均数.
②求客流量的中位数.
（2）设这100天中客流量超过5万人次的有
天，从这
天中任取两天，设
为这两天中客流量超过7万人的天数.求
的分布列和期望．
【答案】
（1）解：①平均值为
②设中位数为
，则
解得中位数为
（2）解：可知
其中超过7万人次的有5天
0
1
2
所以
【考点】频率分布直方图，众数、中位数、平均数，离散型随机变量的期望与方差，超几何分布
【解析】（1）①根据频率分布直方图估计平均数的方法，计算出平均数；②根据频率分布直方图估计中位数的方法，计算出中位数；（2）根据超几何分布的分布列和数学期望的计算方法，计算出X的分布列和期望.
4.在箱子中有10个小球，其中有3个红球，3个白球，4个黑球．从这10个球中任取3个．求：
（1）取出的3个球中红球的个数
的分布列；
（2）取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率．
【答案】
（1）解：题意知
的所有可能取值为0，1，2，3，且
服从参数为
，
，
的超几何分布，
因此
．
所以
，
，
，
．??
故
?的分布列为
：
X
0
1
2
3
P
（2）解：设“取出的3个球中红球个数多于白球个数”为事件
，“恰好取出1个红球和2个黑球”为事件
，“恰好取出2个红球”为事件
，“恰好取出3个红球”为事件
，
由于事件
，
，
彼此互斥，且
，
而
，
，
，
所以取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率为：
．
答：取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率为
．
【考点】互斥事件的概率加法公式，超几何分布
【解析】
（1）由题意知随机变量X的所有可能取值，且X服从超几何分布，计算对应的概率值，写出X的分布列；
（2）设“取出的3个球中红球个数多于白球个数”为事件A，利用互斥事件的概率和计算所求的概率值．
1.接种疫苗是预防和控制传染病最经济、有效的公共卫生干预措施．根据实验数据，人在接种某种病毒疫苗后，有80%不会感染这种病毒，若有4人接种了这种疫苗，则最多
人被感染的概率为（???
）
A.?????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????D.?
2.有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X表示取得次品的个数，则
等于（???
）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
3.已知随机变量
服从二项分布
，则
（???
）．
A.??????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????D.?
4.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为
，各成员的支付方式相互独立，设
为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，
，
，则
（???
）
A.?0.7????????????????????????????????????????B.?0.6????????????????????????????????????????C.?0.4????????????????????????????????????????D.?0.3
参考答案
1.【答案】
A
【解析】由题得最多
人被感染的概率为
.
2.【答案】
D
【解析】
3.【答案】
D
【解析】
表示做了4次独立实验，每次试验成功概率为
，
则
，
4.【答案】
B
【解析】
或
，
,可知