（机构适用）7.5正态分布-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册学案（Word含答案）

1了解正态分布中的概率计算
2.理解正态曲线的特点
3.掌握正态分布的实际应用
1．正态曲线
正态曲线沿着横轴方向水平移动只能改变对称轴的位置，曲线的形状没有改变，
所得的曲线依然是正态曲线
函数，其中,为参数.
显然对于任意x∈R，，它的图象在x轴的上方，可以证明x轴和曲线之间的区域的面积为1，我们称为正态密度函数，称它的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线.
若随机变量X的概率密度函数为，则称随机变量X服从正态分布，记为X～，特别地，当=0，=1时，称随机变量X服从标准正态分布.
2．由X的密度函数及图象可以发现，正态曲线还有以下特点
(1)曲线是单峰的，它关于直线x=对称:
(2)曲线在x=处达到峰值
(3)当lxl无限增大时，曲线无限接近x轴.
3．正态分布的期望与方差
若,则,
4．正态变量在三个特殊区间内取值的概率
(1)
(2)
(3)
在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量X只取中的值，这在统计学中称为原则
1.某市教学研究室为了对今后所出试题的难度有更好的把握，提高命题质量，对该市高三理科数学试卷的得分情况进行了调研．从全市参加考试的理科考生中随机抽取了100名考生的数学成绩（满分150分），将数据分成9组：
，
，
，
，
，
，
，
，
，并整理得到如图所示的频率分布直方图．用统计的方法得到样本标准差
，以频率值作为概率估计值．
（Ⅰ）根据频率分布直方图，求抽取的100名理科考生数学成绩的平均分
及众数
；
（Ⅱ）用频率估计概率，从该市所有高三理科考生的数学成绩中随机抽取3个，记理科数学成绩位于区间
内的个数为
，求
的分布列及数学期望
；
（Ⅲ）从该市高三理科数学考试成绩中任意抽取一份，记其成绩为
，依据以下不等式评判（
表示对应事件的概率）：
①
，②
，
③
，其中
．
评判规则：若至少满足以上两个不等式，则给予这套试卷好评，否则差评．试问：这套试卷得到好评还是差评？
【答案】
解：（Ⅰ）
；
众数：
；
（Ⅱ）用频率估计概率，可得从该市所有高三考生的理科数学成绩中随机抽取
个，理科数学成绩位于
内的概率为
，则随机变量
服从二项分布
，故
．
由题意知：
所有可能的取值为
，
；
；
；
；
的分布列为：
数学期望
；
（Ⅲ）记该市高三考生的理科数学成绩为
，由（Ⅰ）可知，
，又
，
则
，
，
，
，
，
，
，
，
，
符合②③，不符合①，
这套试卷得到好评．
【考点】众数、中位数、平均数，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差，正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
【解析】（Ⅰ）利用频率分布直方图估计平均数和众数的方法可直接求得结果；（Ⅱ）根据频率分布直方图计算可知理科数学成绩位于
内的概率为
，则
，由此计算出
的每个取值对应的概率，由此得到分布列；由二项分布数学期望计算公式计算可得
；（Ⅲ）计算每个区间取值所对应的概率与
原则所对应的概率之间的大小关系，从而得到结论.
2.?
2019年7月1日到3日，世界新能源汽车大会在海南博鳌召开，大会着眼于全球汽车产业的转型升级和生态环境的持续改善．某汽车公司顺应时代潮流，最新研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程（理论上是指新能源汽车所装载的燃料或电池所能够提供给车行驶的最远里程）的测试．现对测试数据进行分析，得到如图的频率分布直方图．
（1）估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值
（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（2）根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航量程X近似地服从正态分布
，经计算第（1）问中样本标准差s的近似值为50．用样本平均数
作为
的近似值，用样本标准差s作为
的估计值，现任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程恰在250千米到400千米之间的概率；
（3）某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在方格图上行进，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券．已知硬币出现正，反面的概率都是
，方格图上标有第0格、第1格、第2格……第50格．遥控车开始在第0格，客户每掷一次硬币，遥控车向前移动一次，若掷出正面，遥控车向前移动一格（从k到
），若掷出反面，遥控车向前移动两格（从k到
），直到遥控车移到第49格（胜利大本营）或第50格（失败大本营）时，游戏结束．设遥控车移到第n格的概率为
，试证明
是等比数列，并解释此方案能否成功吸引顾客购买该款新能源汽车．
参考数据：若随机变量
服从正态分布
，则
，
，
．
【答案】
（1）解：
（千米）．
（2）解：由
．
∴
．
（3）解：遥控车开始在第0格为必然事件，
．
第一次掷硬币出现正面，遥控车移到第一格，其概率为
，即
．
遥控车移到第
格的情况是下面两种，而且只有两种：
①遥控车先到第
格，又掷出反面，其概率为
．
②遥控车先到第
格，又掷出正面，其概率为
．
∴
．
∴
．
∴
时，数列
是等比数列，
首项为
，公比为
的等比数列．
∴
，
，
，……，
．
∴
．
．
∴获胜的概率
，
失败的概率
．
∴
．
∴获胜的概率大．
∴此方案能成功吸引顾客购买该款新能源汽车．
【考点】频率分布直方图，众数、中位数、平均数，正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
【解析】（1）利用频率分布直方图的平均数的计算方法即可得出
．（2）由
．利用正态分布的对称性可得
．（3）遥控车移到第
格的情况是下面两种，而且只有两种：①遥控车先到第
格，又掷出反面，其概率为
．②遥控车先到第
格，又掷出正面，其概率为
．可得：
，即可得证数列
是等比数列，并计算获胜与失败的概率.
3.某市举办数学知识竞赛活动，共5000名学生参加，竞赛分为初试和复试，复试环节共3道题，其中2道单选题，1道多选题，得分规则如下：参赛学生每答对一道单选题得2分，答错得0分，答对多选题得3分，答错得0分，答完3道题后的得分之和为参赛学生的复试成绩.
（1）通过分析可以认为学生初试成绩
服从正态分布
，其中
，
，试估计初试成绩不低于90分的人数；
（2）已知小强已通过初试，他在复试中单选题的正答率为
，多选题的正答率为
，且每道题回答正确与否互不影响.记小强复试成绩为
，求
的分布列及数学期望.
附：
，
，
.
【答案】
（1）解：
，即
，又
???
估计不低于
分的人数有：
（人）
（2）解：
的所有可能取值为
；
；
；
；
的分布列为：
0
2
3
4
5
7
【考点】离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差，正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
【解析】（1）利用已知条件结合正态分布对应的函数的图像的对称性，再结合正态分布求概率公式，进而结合频数等于频率乘以样本容量的公式，从而估计出初试成绩不低于90分的人数。
（2）利用已知条件求出随机变量Y的可能的取值，再利用二项分布求概率的公式，进而求出随机变量Y的分布列，再利用随机变量Y的分布列结合数学期望的公式，进而求出随机变量
的分布列及数学期望
。
4.某校高三年级有1000人，某次考试不同成绩段的人数
,且所有得分都是整数.
参考数据：
?
.
（1）求全班平均成绩；
（2）计算得分超过141的人数；（精确到整数）
（3）甲同学每次考试进入年级前100名的概率是
，若本学期有4次考试，
表示进入前100名的次数，写出
的分布列，并求期望与方差.
【答案】
（1）解：由不同成绩段的人数服从正态分布
，可知平均成绩
.
（2）解：
,
故141分以上的人数为
人.
（3）解：
的取值为0，1，2，3，4，
,
,
,
,
,
故
的分布列为
0
1
2
3
4
期望
，
方差
.
【考点】离散型随机变量及其分布列，正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
【解析】(1)根据题意由不同成绩段的人数服从的正态分布的数值，结合题意即可求出结果。(2)由题意P
(
ξ
>
141
)
=
P
(
ξ
>
141.2
)
=
P
(
ξ
>
127
+
2
×
7.1
)代入数值求出结果即可。(3)根据题意可得
X
的取值为0，1，2，3，4，分别求出各个X值对应下的概率值列表即可。
1.设随机变量
，函数
没有零点的概率是
，则
（???
）
附：若
，则
，
.
A.?0.1587???????????????????????????????B.?0.1359???????????????????????????????C.?0.2718???????????????????????????????D.?
2.某市一次高三年级数学统测，经抽样分析，成绩
近似服从正态分布
，且
.该市某校有400人参加此次统测，估计该校数学成绩不低于90分的人数为（??
）
A.?60???????????????????????????????????????B.?80???????????????????????????????????????C.?100???????????????????????????????????????D.?120
3.某年高考中，某省10万考生在满分为150分的数学考试中，成绩分布近似服从正态分布
，则分数位于区间
分的考生人数近似为（??
）
（已知若
，则
，
，
）
A.?1140???????????????????????????????????B.?1075???????????????????????????????????C.?2280???????????????????????????????????D.?2150
4.在某项测试中，测量结果ξ服从正态分布
（
），若
，则
＝（???
）
A.?0.8????????????????????????????????????????B.?0.6????????????????????????????????????????C.?0.4????????????????????????????????????????D.?0.2
参考答案
1.【答案】
B
【解析】
解：
函数
没有零点，
二次方程
无实根，
，
，
又
没有零点的概率是
，
，
由正态曲线的对称性知：
，
，
，
，
，
，
，
2.【答案】
B
【解析】
由题意，成绩
近似服从正态分布
，则正态分布曲线的对称轴为
，
又由
，
根据正态分布曲线的对称性，可得
,
所以该市某校有400人中，估计该校数学成绩不低于90分的人数为
人，
3.【答案】
C
【解析】
由题意得
，
因此
，
所以
，
即分数位于区间
分的考生人数近似为
，
4.【答案】
C
【解析】
因为ξ服从正态分布
（
），所以