（机构适用）第6章计数原理总结-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册学案（Word含答案）

了解平面向量的概念
2、掌握平面向量的运算
3、理解平面向量的应用
一、分类加法计数原理与分步乘法计数原理
分类加法计算原理
基本原理
N=m+n
原理推广
N=+...+
2.分数乘法计算原理
基本原理
N=m×n，原理推广
N=·...·
二、排列与组合
1.排列
排列的定义
般地，从n
个不同元素中取出m(m≤n)个元素,并按照一一定的
顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列
2.排列数
排列数的定义
从n
个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n
个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示
排列数公式
（1）排列数公式：=n（n-1）（n-2）...（n-m+1）
（2）全排列：=n（n-1）（n-2）×...×3×2×1
（3）阶乘：=n！规定0！=1
（4）排列数的性质：=n，=m+
3.组合
（1）组合的定义
一般地，从n
个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合
（2）组合数的定义
从n
个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n
个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表
组合数公式
①组合数公式：==还可以写成
=
规定=1
②组合数的两个性质
性质1：=
性质2：=+
二项式定理
（1）二项式定理：（a+b）=++...+，n∈N
.
（2）二项式展开式：二项式定理右边的多项式叫做（a+b）的二项式展开式，它共有n+1项.
（3）二项式系数：各项的系数（k=0，1，2，...，n）叫做二项式系数.
（4）二项展开式的通项：二项展开式中第k+1项叫做二项展开式的通项.
1.四个不同的小球放入编号为1,2,3,4的四个盒子中.
（1）若每个盒子放一个球,则共有多少种不同的放法?
（2）恰有一个空盒的放法共有多少种?
【答案】
（1）解：每个盒子放一个球,共有
=24种不同的放法
（2）解：先选后排,分三步完成:
第一步:四个盒子中选一只为空盒,有4种选法;
第二步:选两球为一个元素,有
种选法;
第三步:三个元素放入三个盒中,有
种放法.
故共有4×6×6=144种放法
【考点】计数原理的应用
【解析】（1）每个小球都有4种放法，利用排列公式即可；
（2）先选两个元素作为一组再排列，恰有一个盒子有2个小球，从4个小球中选2个作为一个元素，与另外两个元素一球在三个位置全排列，根据分布计数原理即可.
2.有9本不同的课外书，分给甲、乙、丙三名同学，求在下列条件下，各有多少种分法？
（1）甲得4本，乙得3本，丙得2本；
（2）一人得4本，一人得3本，一人得2本；
（3）甲、乙、丙各得3本．
【答案】
（1）解：分三步完成：
第一步：从9本不同的书中，任取4本分给甲，有
种方法；
第二步：从余下的5本书中，任取3本给乙，有
种方法；
第三步：把剩下的书给丙，有
种方法，
∴共有不同的分法有
·
·
＝1
260(种)
（2）解：分两步完成：
第一步：将4本、3本、2本分成三组有
·
·
种方法；
第二步：将分成的三组书分给甲、乙、丙三个人，有
种方法，
∴共有
·
·
·
＝7
560(种)
（3）解：用与(1)相同的方法求解，得
·
·
＝1
680(种)
【考点】分类加法计数原理，分步乘法计数原理，计数原理的应用
【解析】（1）分步乘法计数原理：甲选四本、乙选三本、丙选剩下的两本；最后相乘即可。
（2）分步乘法计数原理：先分组，再分给甲、乙、丙三名同学；最后相乘即可。
（3）属于平均分组问题，先分成3组，再分给甲乙丙三名同学．
3.在高三一班元旦晚会上，有6个演唱节目，4个舞蹈节目.
（1）当4个舞蹈节目接在一起时，有多少种不同的节目安排顺序？
（2）当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时，有多少种不同的节目安排顺序？
（3）若已定好节目单，后来情况有变，需加上诗歌朗诵和快板2个节目，但不能改变原来节目的相对顺序，有多少种不同的节目演出顺序？
【答案】
（1）解：第一步先将4个舞蹈节目捆绑起来，看成1个节目，与6个演唱节目一起排，有
种方法；
第二步再松绑，给4个节目排序，有
种方法.根据分步乘法计数原理，一共有
种
（2）解：第一步将6个演唱节目排成一列（如图中的“口”），一共有
种方法.
×□×□×□×□×□×□×
第二步，再将4个舞蹈节目排在一头一尾或两个节目中间（即图中“×”的位置），这样相当于7个“×”选4个来排，一共有
种，根据分步乘法计数原理，一共有
种
（3）解：若所有节目没有顺序要求，全部排列，则有
种排法，但原来的节目已定好顺序，需要消除，所以节目演出的方式有
种排法
【考点】计数原理的应用，排列、组合及简单计数问题
【解析】（1）相邻问题利用捆绑法；（2）不相邻问题采用插空法；（3）使用倍分法分析：先求出10个节目全排列的排法数目，分析三个舞蹈节目本身的顺序，由倍分法计算可得答案；
4.在二项式
的展开式中，
（1）求展开式中含
项的系数：
（2）如果第
项和第
项的二项式系数相等，试求
的值.
【答案】
（1）解：设第
项为
，
令
解得
，
故展开式中含
项的系数为
.
（2）解：∵第
项的二项式系数为
，第
项的二项式系数为
，
∵
，故
或
，
解得
或
.
【考点】二项式定理，二项式系数的性质
【解析】
（I）根据展开式中第r+1项的通项公式，求出展开式中含x3项的系数是多少；
（II）由第3k项的二项式系数与第k+2项的二项式系数相等，列出方程，求出k的值．
1.若4名学生报名参加数学、物理、化学兴趣小组，每人选报1项，则不同的报名方式有（???
）
A.?34种???????????????????????????????????B.?43种???????????????????????????????????C.?
种???????????????????????????????????D.?
种
2.6个不同的球，全部放入3个编号分别为1，2，3的盒子中.
若3个盒子中的球数分别为1，2，3，则有（???
）种放法.
A.?60???????????????????????????????????????B.?90???????????????????????????????????????C.?360???????????????????????????????????????D.?540
3.北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”一亮相，好评不断，这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合，是一次现代设计理念的传承与突破.为了宣传2022年北京冬奥会和冬残奥会，某学校决定派小明和小李等5名志愿者将两个吉祥物安装在学校的体育广场，若小明和小李必须安装同一个吉祥物，且每个吉祥物都至少由两名志愿者安装，则不同的安装方案种数为（???
）
A.?8?????????????????????????????????????????B.?10?????????????????????????????????????????C.?12?????????????????????????????????????????D.?14
4.
的展开式中
的系数为（???
）
A.????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????C.?64???????????????????????????????????D.?-128
参考答案
1.【答案】
A
【解析】
4名学生，每人有三种可选方案，根据分步计数原理，4人共有34种方法.
2.【答案】
C
【解析】
本题适用分步乘法原理，第一步：6个不同的球，按1个球，2个球，3个球分成3份组合，共
种不同分法；
第二步：把这3份组合分别放入3个编号分别为1，2，3的盒子中，共有
种放法；
所以，总共有
种放法.
3.【答案】
A
【解析】
由题意可知应将志愿者分为三人组和两人组，
当三人组中包含小明和小李时，安装方案有
种；
当三人组中不包含小明和小李时，安装方案有
种，共计有
种，
4.【答案】
D
【解析】
展开式的通项公式为
，
令
，则
，
所以
的展开式中
的系数为
。