（机构适用）第7章随机变量与全概率公式总结-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册学案（Word含答案）

理解复数的概念
掌握复数的四则运算
认识复数的三角表示
一、条件概率与全概率公式
1.条件概率
（1）条件概率的概念
条件概率揭示了P(A)，P(AB)，P()三者之间“知二求一”的关系
一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P()=为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率.
（2）概率的乘法公式
由条件概率的定义，对任意两个事件A与B
,若P(A)>0，则,我们称上式为概率的乘法公式.
（3）条件概率的性质
设P(A)>0，则
①
②如果B与C是两个互斥事件，则
③设和互为对立事件，则
2、全概率公式
1.全概率公式
一般地，设是一组两两互斥的事件，，且，，则对任意的事件,有
我们称上面的公式为全概率公式，全概率公式是概率论中最基本的公式之一
贝叶斯公式
设是一组两两互斥的事件，，且，，则对任意的事件，，有==，
二、离散型随机变量及其分布列
1.随机变量
定义:一般地,对于随机试验样本空间中的每个样本点，都有唯一的实数与之对应，我们称X为随机变量
2.离散型随机变量
可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称为离散型随机变量，通常用大写英文字母表示随机变量，用小写英文字母表示随机变量的取值
3.随机变量和函数的关系
随机变量的定义与函数的定义类似，这里的样本点相当于函数定义中的自变量，而样本空间相当于函数的定义域，不同之处在于不一定是数集
4.离散型随机变量的分布列及两点分布
（1）.离散型随机变量的分布列
离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之和
（2）离散型随机变量的分布列
一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1,x2,…，xn我们称X取每一个值xi的概率,为X的概率分布列，简称为分布列
（3）可以用表格来表示X的分布列，如下表
X
P
还可以用图形表示，如下图直观地表示了掷骰子试验中掷出的点数X的分布列，称为X的概率分布图.
（4）离散型随机变量的分布列的性质
（1），
（2）
（5）两点分布
对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，表示“失败”，定义
如果=p，则=1-p，那么X的分布列如表所示
X
0
1
P
1-P
P
我们称X服从两点分布或0-1分布
三、离散型随机变量的数字特征
1.离散型随机变量的均值
（1）离散型随机变量的均值或数学期望
正确地求出离散型随机变量的分布列是求解期望的关键一般地，若离散型随机变
量X的分布列为
X
P
则称为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称为期望.均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，
它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平.
（2）两点分布的期望
一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么
（3）离散型随机变量的均值的性质
设X的分布列为，
一般地，下面的结论成立:
3.离散型随机变量的方差
（1）离散型随机变量的方差、标准差
设离散型随机变量X的分布列如下表所示：
X
P
考虑X所有可能取值与的偏差的平方,，…,因为X取每个值的概率不尽相同，所以我们用偏差平方关于取值概率的加权平均，来度量随机变量X取值与其均值的偏离程度，我们称为随机变量X的方差，有时也记为，并称为随机变量X的标准差，记为
①几个常见的结论
②
③如果随机变量X服从两点分布，那么
4.二项分布与超几何分布
1.二项分布
（1）n重伯努利实验
把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利实验
（2）我们将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利实验，验，显然，n重伯努利实验具有如下共同特征：
①同一个伯努利试验重复做n次
②各次试验的结果相互独立
（3）二项分布
一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p（0＜P＜1），用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为，
如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作
（4）二项分布的均值与方差
若，则，
4.超几何分布
（1）超几何分布
一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件（不放回），用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为，k=m,m+1,m+2,…，r
其中n，N，M,,,,,如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布
（2）超几何分布的期望
（P为N件产品的次品率）
5.正态分布
（1）正态曲线
正态曲线沿着横轴方向水平移动只能改变对称轴的位置，曲线的形状没有改变，
所得的曲线依然是正态曲线
函数，其中,为参数.
显然对于任意x∈R，，它的图象在x轴的上方，可以证明x轴和曲线之间的区域的面积为1，我们称为正态密度函数，称它的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线.
若随机变量X的概率密度函数为，则称随机变量X服从正态分布，记为X～，特别地，当=0，=1时，称随机变量X服从标准正态分布.
（2）由X的密度函数及图象可以发现，正态曲线还有以下特点
(1)曲线是单峰的，它关于直线x=对称:
(2)曲线在x=处达到峰值
(3)当lxl无限增大时，曲线无限接近x轴.
（3）正态分布的期望与方差
若,则,
（4）正态变量在三个特殊区间内取值的概率
①
②
③
在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量X只取中的值，这在统计学中称为原则
1.某班从6名班干部（其中男生4人，女生2人）中，任选3人参加学校的义务劳动．
（1）求男生甲或女生乙被选中的概率；
（2）设“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，求P（B）和P（A|B）．
【答案】
解：（1）某班从6名班干部中（男生4人，女生2人）选3人参加学校义务劳动，
总的选法有=20种，男生甲或女生乙被选中的选法有
=12+4=16种，
∴男生甲或女生乙被选中的概率为=：
（2）总的选法有=20种，女生乙被选中的概率为P（B）==
，
男生甲、女生乙都被选中的概率为P（AB）==；
则在女生乙被选中下，男生甲被选中的概率为P（A|B）=
=
．
【考点】条件概率与独立事件
【解析】（1）求出总的选法、男生甲或女生乙被选中的选法，由此能求出男生甲或女生乙被选中的概率．
（2）求出女生乙被选中的概率、男生甲、女生乙都被选中的概率，即可得出结论．
2.2019新型冠状病毒（2019―nCoV）于2020年1月12日被世界卫生组织命名.冠状病毒是一个大型病毒家族，可引起感冒以及中东呼吸综合征（MERS）和严重急性呼吸综合征（SARS）等较严重疾病.某医院对病患及家属是否带口罩进行了调查，统计人数得到如下列联表：
戴口罩
未戴口罩
总计
未感染
30
10
40
感染
4
6
10
总计
34
16
50
参考公式：
，其中
.
参考数据：
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
（1）根据上表，判断是否有95%的把握认为未感染与戴口罩有关；
（2）从上述感染者中随机抽取3人，记未戴口罩的人数为
，求
的分布列和数学期望.
【答案】
（1）解：由列联表可知，
.
所以有95%的把握认为未感染与戴口罩有关.
（2）解：由题知，感染者中有4人戴口罩，6人未戴口罩，则
的取值可能为0，1，2，3.
；
；
；
，则
的分布列为
X
0
1
2
3
P
.
【考点】离散型随机变量及其分布列
【解析】（1）由表求出
，即可判断；（2）由题意知
的取值可能为0，1，2，3，求出每种情况的概率，从而可得分布列，进而可求数学期望.
3.我国是全球最大的口罩生产国，在2020年3月份，我国每日口罩产量超一亿只，已基本满足国内人民的需求，但随着疫情在全球范围扩散，境外口罩需求量激增，世界卫生组织公开呼吁扩大口罩产能常见的口罩有
和
（分别阻挡不少于90.0%和95.0%的0.055到0.095微米的氯化钠颗粒）两种，某口罩厂两条独立的生产线分别生产
和
两种口罩，为保证质量对其进行多项检测并评分（满分100分），规定总分大于或等于85分为合格，小于85分为次品，现从流水线上随机抽取这两种口罩各100个进行检测并评分，结果如下：
总分
6
14
42
31
7
4
6
47
35
8
（1）试分别估计两种口罩的合格率；
（2）假设生产一个
口罩，若质量合格，则盈利3元，若为次品，则亏损1元；生产一个
口罩，若质量合格，则盈利8元，若为次品则亏损2元，在（1）的前提下，
①设
为生产一个
口罩和生产一个
口罩所得利润的和，求随机变量
的分布列和数学期望；
②求生产4个
口罩所得的利润不少于8元的概率
【答案】
（1）解：由题意知生产
口罩合格率为
，
生产口罩
合格率为
；
（2）解：①随机变量
的所有可能取值为
，1，7，11
???
因此，
的分布列如下：
-3
1
7
11
∴
（元）
②设“生产4个
口罩所得的利润不少于8元”事件为
，
事件
包括“生产4个
口罩全合格”和“生产4个
口罩只三个合格”
所以
.
所以生产4个
口罩所得的利润不少于8元的概率为
.
【考点】相互独立事件的概率乘法公式，二项分布与n次独立重复试验的模型
【解析】（1）根据题意，结合表中数据即可求解.（2）①随机变量
的所有可能取值为
，1，7，11，利用相互独立事件的概率乘法公式求出各随机变量的概率即可列出分布列，利用期望公式即可求解；②根据题意可知事件包括“生产4个
口罩全合格”和“生产4个
口罩只三个合格”，由二项分布的概率求法
即可.
4.十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康.经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民年收入也逐年增加，为了制定提升农民收入、实现2020年脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2019年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图：
附参考数据：
，若随机变量X服从正态分布
，则
，
，
.
（1）根据频率分布直方图，估计50位农民的平均年收入
（单位：千元）；（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）；
（2）由频率分布直方图，可以认为该贫困地区农民年收入X服从正态分布
，其中
近似为年平均收入
，
近似为样本方差
，经计算得
=6.92，利用该正态分布，求：
①在扶贫攻坚工作中，若使该地区约有占总农民人数的
的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入标准大约为多少千元？
②为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了1000位农民.若每位农民的年收入互相独立，问：这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数最有可能是多少？
【答案】
（1）解：
千元.
故估计50位农民的年平均收入
为17.40千元.
（2）解：由题意知
，
①
，
所以
时，满足题意，
即最低年收入大约为14.77千元.
②由
，
每个农民的年收入不少于12.14千元的事件的概率为0.9773，
记1000个农民的年收入不少于12.14千元的人数为
则
，其中
于是恰好有k个农民的年收入不少于12.14千元的事件概率为
，
从而由
，得
而
，所以，
当
时，
；
当
时，
，
由此可知，在所走访的1000位农民中，年收入不少于12.14千元的人数最有可能是978人.
【考点】频率分布直方图，正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
【解析】（1）利用各组数据的中点值乘以该矩形的面积再相加即可得到结果；（2）①根据
可推得结果；②记1000个农民的年收入不少于12.14千元的人数为
，则
，其中
，根据二项分布的概率公式分析可得结果.
1.从1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件A为“第一次取到的是奇数”，B为“第二次取到的是3的整数倍”，则
（???
）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
2已知随机变量
的分布列如下，则
（???
）
X
0
1
2
3
P
P
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
3.设
，若随机变量
的分布列如下：
-1
0
2
P
a
则下列方差值中最大的是（???
）
A.????????????????????????????????B.????????????????????????????????C.????????????????????????????????D.?
4设随机变量
，
满足：
，
，若
，则
（???
）
A.?4???????????????????????????????????????????B.?5???????????????????????????????????????????C.?6???????????????????????????????????????????D.?7
参考答案
1.【答案】
B
【解析】
由题意
事件
为“第一次取到的是奇数且第二次取到的是3的整数倍”：若第一次取到的为3或9，第二次有2种情况；若第一次取到的为1，5，7，第二次有3种情况，故共有
个事件
由条件概率的定义：
2.【答案】
D
【解析】
由题意可得
，则
3.【答案】
C
【解析】
由题意
，
，
，
，
，
，
，
，
，
其中
最大。
4.【答案】
A
【解析】
由题意可得：
，
解得：
，则：
，