第13章立体几何初步 基础巩固测试-【新教材】2020-2021学年苏教版（2019）高中数学必修第二册（Word含解析）

苏教版第13章立体几何初步基础巩固测试卷
一、单选题
1．下列说法不正确的是（ ）
A．三棱锥是四面体 B．三棱台是五面体
C．正方体是四棱柱 D．四棱柱是长方体
2．下列说法正确的是（ ）
A．三点确定一个平面
B．一条直线和一个点确定一个平面
C．梯形一定是平面图形
D．过平面外一点只有一条直线与该平面平行
3．如图，长方体被两平面分成三部分，其中，则这三个几何体中是棱柱的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．如图所示，是水平放置的的直观图，轴，轴，，，则中，（ ）
A． B． C． D．
5．若一个圆锥的母线长为4，且其侧面积为其轴截面面积的4倍，则该圆锥的高为（ ）
A．π B． C． D．
6．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，常见的有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，多见于亭阁式建筑．某园林建筑为六角攒尖，如图所示，它主要部分的轮廓可近似看作一个正六棱锥．设这个正六棱锥的侧面等腰三角形的顶角为，则底面内切圆半径与侧棱长的比为（ ）
A． B． C． D．
7．已知?是不重合的直线，?是不重合的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
8．在正方体中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列说法不正确的是（ ）
A．有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱
B．如果有一个几何体的三视图都相同，则该几何体一定是球
C．底面是等边三角形．侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥
D．正四面体的所有棱都相等
10．已知直线a，b和平面，且，，则a与b的关系可以为（ ）
A．平行 B．相交 C．异面 D．垂直
11．以长为8 cm，宽为6 cm的矩形的一边为旋转轴旋转而成的圆柱的底面面积为（ ）
A．64π cm2 B．36π cm2
C．54π cm2 D．48π cm2
12．设a，b是两条不重合的直线，，是两个不同的平面．下列四个命题中，正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
三、填空题
13．长方体中，，，，则三棱锥的体积为___________.
14．某圆台下底半径为2，上底半径为1，母线长为2，则该圆台的表面积为________.
15．如图，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是平行直线的图是________(填序号).
16．已知，是两条不同的直线，，是两个不同平面，则以下命题不成立的是__
（1）若，，，则
（2）若，，则
（3）若，，则
（4）若，，，则
四、解答题
17．已知某几何体的直观图如图所示，其中底面为长为8，宽为6的长方形，顶点在底面投影为底面中心，高为4.
（1）求该几何体的体积；
（2）求该几何体的侧面积.
18．长方体中，分别为棱的中点.
（1）求证：；
（2）求证：.
19．如图所示，在三棱柱ABC?中，E，F，G，H分别是AB，AC，，的中点，求证：
（1）B，C，H，G四点共面；
（2）E∥平面BCHG.
20．有一堆规格相同的铁制（铁的密度为）六角螺帽共重，已知该种规格的螺帽底面是正六边形，边长是，内孔直径为，高为，
（1）求一个六角螺帽的体积；（精确到）
（2）问这堆六角螺帽大约有多少个？
（参考数据：）
21．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，，侧面PAB底面，，
（1）求证：平面
（2）过AC的平面交PD于点M，若，求三棱锥的体积．
22．如图所示的几何体由等高的个圆柱和个圆柱拼接而成，点为弧的中点，且四点共面
（1）证明：平面
（2）若四边形为正方形，且四面体的体积为，求线段的长.
参考答案
1．D
【分析】
利用棱柱、棱锥、棱台的定义，判断选项即可.
【详解】
解：根据棱柱、棱锥、棱台的定义，选项A、B、C正确；
对选项D：只有底面是矩形的直四棱柱才是长方体，所以四棱柱是长方体不正确；
故选：D.
2．C
【分析】
由平面的基本性质，根据点、线、面的位置关系判断各选项的正误即可.
【详解】
A：不在一条直线上的三点确定一个平面，三点在一条直线上时不能确定平面，不正确；
B：点在直线上时，不能确定平面，不正确；
C：梯形有两条边平行，两条平行线确定一个平面，梯形的两腰也在平面内，正确；
D：过平面外一点与平面平行的平面内，过该点的直线都符合条件，不正确.
故选：C.
3．D
【分析】
根据棱柱的定义判断即可.
【详解】
长方体被两平面分成三部分，其中，
其中两个三棱柱，底面是直角三角形；
另一个是底面为6边形的直棱柱，
所以这三个几何体中是棱柱的个数为：3.
故选：D．
4．B
【分析】
根据斜二测画法原则，由直观图判断原图中的长度，再利用勾股定理计算.
【详解】
在直观图中，，，
由斜二侧画法知，在中，，，且；
所以．
故选：B.
5．A
【分析】
设圆锥的底面圆半径为r，高为h，由题意可得4πr＝4rh，从而可得h＝π
【详解】
设圆锥的底面圆半径为r，高为h；
由圆锥的母线长为4，
所以圆锥的侧面积为πr?4＝4πr；
又圆锥的轴截面面积为?2r?h＝rh，
所以4πr＝4rh，
解得h＝π；
所以该圆锥的高为π．
故选：A．
6．B
【分析】
根据等腰三角形的边角关系，用和表示出的一半，从而得出底面内切圆半径与侧棱长的比.
【详解】
设为正六棱锥底面内切圆的圆心，
连接，，如图所示：
由题意可知，，
，，
，
设内切圆半径为，则，，
底面内切圆的半径与侧棱的比为．
故选：B
7．D
【分析】
由空间中的线线、线面、面面关系逐个分析判断即可
【详解】
若，，则与可能平行也可能异面，故为假命题；
若，，则与也可能相交，故为假命题；
若，，则可能在平面上，故为假命题；
在中，此命题正确.因为垂直于同一直线的两个平面互相平行；
故选：D.
8．A
【分析】
连结，，利用，得到即为异面直线与所成的角，在中，由余弦定理求解即可.
【详解】
连结，，
在正方体中，易得，
所以或其补角为异面直线与所成的角，
设正方体的棱长为2，则，，，
在中，由余弦定理可得，
.
所以异面直线与所成角的余弦值为.
故选：A.
9．ABC
【分析】
根据棱柱的概念、正方体的三视图、正棱锥的概念以及正面体的概念可得选项.
【详解】
对于A：由棱柱的概念“有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都是互相平行的几何体叫棱柱”知A不正确；
对于B：正方体的三视图也都相同，故B不正确；
对于C：侧面为等腰三角形，但不一定侧棱就是两腰，故C不正确；
对于D：正四面体的各条棱都相等，故D正确，
故选：ABC.
10．BCD
【分析】
根据是否共面，讨论，时之间的位置关系即可.
【详解】
当共面，若，则且相交；当不共面，若，则且不相交，即异面垂直关系；
故选：BCD
11．AB
【分析】
分别以长为8 cm，宽为6 cm的边所在的直线为旋转轴，根据圆的面积公式即可求解.
【详解】
分别以长为8 cm，宽为6 cm的边所在的直线为旋转轴，
即可得到两种不同大小的圆柱，其底面面积分别为64π cm2,36π cm2.
故选：AB
12．BCD
【分析】
根据空间中线面的关系，逐一分析选项，即可得答案.
【详解】
对于A：若，，则可平行，可相交，也可异面，故A错误；
对于B：若，，则，故B正确；
对于C：若，，则，故C正确；
对于D：，，则，故D正确.
故选：BCD
13．
【分析】
根据长方体的结构特征，得到即为三棱锥的高，再由棱锥的体积公式，即可得出结果.
【详解】
因为长方体中，侧棱和底面垂直，
因此即为三棱锥的高，
所以三棱锥的体积为.
故答案为：.
14．
【分析】
由圆台的表面积公式计算．
【详解】
由题意该圆台的表面积为．
故答案为：．
15．①②
【分析】
根据正方体的结构特征，以及两直线的位置关系的判定方法，即可求解.
【详解】
根据正方体的结构特征，可得①②中RS与PQ均是平行直线，④中RS和PQ是相交直线，③中RS和PQ是是异面直线.
故答案为：①②.
16．（1）（2）（4）
【分析】
由线线、线面、面面的位置关系，判断线、面有关命题的真假即可.
【详解】
由，是两条不同的直线，，是两个不同平面，知：
在（1）中，若，，，则与平行或异面，错误；
在（2）中，若，，则与相交、平行或，错误；
在（3）中，若，，则由面面垂直的判定定理得，正确；
在（4）中，若，，，则与相交或平行，错误．
故答案为：（1）（2）（4）．
17．（1）64；（2）.
【分析】
（1）利用棱锥的体积公式直接计算；
（2）先利用勾股定理求得各侧面上的斜高，再求各侧面面积之和即得棱锥的侧面积.
【详解】
（1）几何体的体积为
.
（2）正侧面及相对侧面底边上的高为：
.
左、右侧面的底边上的高为：
.
故几何体的侧面面积为：
.
【点睛】
本题考查棱锥的体积和侧面积的求法，求侧面积关键在于侧面上的斜高的计算，关键要掌握顶点在底面上的投影是底面中心的意义，知道高垂直于底面内的直线，高于底面内的边心距和侧面的斜高构成直角三角形.
18．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）先证明四边形为平行四边形，可得，再证明四边形为平行四边形，得，从而得；（2）根据等角定理证明即可.
【详解】
证明：（1）如图，取的中点，连接.
在矩形中，易得，
因为，，所以，
所以四边形为平行四边形，所以.
在矩形中，易得，.
所以四边形为平行四边形，
所以，所以.
（2）因为，，
又与的对应边方向相同，
所以.
19．（1）证明见详解；（2）证明见详解；
【分析】
（1）由中点知为中位线，即有，结合三棱柱的性质可证，即四点共面.
（2）由三棱柱的性质以及中点性质有平行且相等，即有，结合线面平行的判定即可证面.
【详解】
（1）∵G，H分别是，的中点，
∴，而，
∴，即B，C，H，G四点共面.
（2）∵E，G分别是AB，的中点，
∴平行且相等，所以四边形为平行四边形，即，又面，面，
∴面，
20．（1）；（2）261个.
【分析】
（1）利用六棱柱的体积减去圆柱的体积即得解；
（2）计算即得解.
【详解】
（1）由题得
（2）这堆螺帽的个数为：（个）
答：每个螺帽的体积为，共有261个螺帽.
【点睛】
本题主要考查空间几何体的体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
21．（1）证明见解析；（2）
【分析】
（1）由菱形的性质有，勾股定理知，结合面面垂直的推论可得，根据线面垂直的判定证垂直即可；（2）由面即可计算，结合已知条件可求三棱锥的体积；
【详解】
（1）由题意知：底面ABCD是菱形，且
∴，又在△中，，即，
∴，又面PAB面，面PAB 面，面PAB，
∴面，而面，有：，，
∴平面；
（2）由（1）知：面，有，
而，且，
∴
【点睛】
本题考查了应用几何图形的性质，及线面垂直的判定证明垂直，根据已知体积关系结合三棱锥的体积公式求三棱锥的体积.
22．（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）取弧的中点，连结，，根据线线垂直证明线面垂直；
（2）设，根据体积为，列方程，可求的值，再由勾股定理求得的长.
【详解】
（1）取弧的中点，连结，，
则，
所以，
因为，
所以四边形为平行四边形，，
又因为平面，
所以，
所以平面.
（2）设，因为四边形ADEF为正方形，
则，解得：，
.
【点睛】
求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，例如三棱锥的三条侧棱两两垂直，我们就选择其中的一个侧面作为底面，另一条侧棱作为高来求体积．