7.2 离散型随机变量及其分布列-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册课件（20张PPT）

7.2 离散型随机变量及其分布列
通过具体实例，了解离散型随机变量的概念，理解离散型随机变量的分布列.
情景引入
问题1：我们知道，在求随机事件的概率时，往往需要为随机试验建立样本空间，样本空间的确定是研究概率的基础.
请为以下随机试验建立样本空间：
（1）掷一枚骰子，观察出现的点数.
（2）掷两枚骰子，观察两个点数之和.
（3）掷一枚硬币，观察出现正、反面的情况.
（4）从装有5个红球、3个白球的袋中依次摸出两球，观察球的颜色.
从前面的问题我们可以知道，如果我们在随机试验的样本空间与实数集之间建立某种对应，不仅可能为一些随机事件的表示带来方便，还可能更好地利用数学工具研究随机试验.
问题2：如果有些随机试验的样本点与数值没有关系，我们如何将这个试验的样本点与实数建立联系?例如，随机抽一件产品，有“抽到次品”和“抽到正品”两种可能的结果，那么如何建立样本点和实数之间的对应？
定义 ????=????,抽到次品????,抽到正品
?
追问1：请同学们建立问题1的（3）（4）中样本空间与实数的对应关系。
（3）掷一枚硬币，观察出现正、反面的情况.
（4）从装有5个红球、3个白球的袋中依次摸出两球，观察球的颜色.
对于任何一个随机试验，总可以把它的每个样本点与一个实数对应.即通过引入一个取值依赖于样本点的变量X，来刻画样本点和实数的对应关系，实现样本点的数量化。因为在随机试验中样本点的出现具有随机性，所以量X的取值也具有随机性。
问题3：考察下列随机试验及其引入的变量
试验1：从100个电子元件（至少含3个以上次品)中随机抽取三个进行检验，变量X表示三个元件中的次品数；
试验2：抛掷一枚硬币直到出现正面为止，变量Y表示需要的抛掷次数.
这两个随机试验的样本空间各是什么？各个样本点与变量的值是如何对应的？变
量X，Y有哪些共同的特征？
对于试验1，如果用0表示“元件为合格品”，1表示“元件为次品”，用0和1构成的长度为3的字符串表示样本点:
样本空间Ω1={000，001，010，100，011，101，110，111}，各样本点与变量X的值的对应关系如表1所示.
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}样本空间
000
001
010
100
011
101
110
111
变量X
0
1
1
1
2
2
2
3
表1
对于试验2，如果用h表示“正面向上”，t表示“反面向上”：
样本空间Ω2={h，th，tth，tth，…}，这个样本Ω2包含无穷多个样本点，各样本点与变
量Y的值的对应关系如表2所示.
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}样本空间
h
th
tth
ttth
...
变量Y
0
1
1
1
...
表2
追问1：观察两个随机试验，请你归纳试验1和试验2的样本空间中样本点与对应变量有什么共同点?
在上面两个随机试验中，每个样本点都有唯一的一个实数与之对应.变量X，Y有如下共同点：（1）取值依赖于样本点，
（2）所有可能取值是明确的.
追问(2)：根据对问题3的分析和归纳，你能类比函数中的对应关系，将样本空间中的样本点与实数的对应关系用一般化的数学语言表示吗？
一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数 X(ω）与之对应，我们称X为随机变量.
试验1中随机变量X的可能取值为0，1，2，3，共有4个值；试验2中随机变量Y的可能取值为1，2，3，…，有无限个取值，但可以一一列出。
像这样，可能取值为有限个或可以一一列出的随机变量，我们称为离散型随机变量，通常用大写英文字母表示随机变量，例如X，Y，Z；用小写英文字母表示随机变量的取值，例如x，y，z.
随机变量的定义与函数的定义类似，这里样本点ω相当于函数定义中的自变量，而样本空间Ω相当于函数的定义域，不同之处在于Ω不一定是数集，随机变量的取值X（ω）随着试验结果ω的变化而变化，使得我们可以利用数学工具研究随机事件。
随机变量的概念是俄国数学家切比雪夫(Chebyshev，1821-1894)在19世纪中叶建立和提倡使用的。
追问（3）：你能举出一些离散型随机变量和不是离散型的随机变量的例子吗？
某射击运动员射击一次可能命中的环数X，它的可能取值为0，1，2，…，10；在一个装有8个红球，4个白球的袋子中，随机摸出4个球，这4个球中白球的个数Y，它的可能取值为0，1，2，3，4. 这些都是离散型随机变量的例子.
而像种子含水量的测量误差X1；某品牌电视机的使用寿命X2；某一个零件长度的测量误差X3等，这些都是可能取值充满了某个区间、不能一一列出的随机变量，称为连续型随机变量.
问题4：根据问题引入合适的随机变量，有利于我们简洁地表示所关心的随机事件，以及随机试验中的概率问题.
由掷出各种点数的等可能性，可得
P{X=m}=????????，m=1，2，3，4，5，6.
?
例如，掷一枚质地均匀的骰子，X表示掷出的点数，则事件“掷出m点”可以表示为{X=m}(m=1，2，3，4，5，6)，事件“掷出的点数不大于2”可以表示为{X≤2}，事件“掷出偶数点”可以表示为{X=2}U{X=4}U{X=6}，等等。
这一规律也可以用表格表示。
{93296810-A885-4BE3-A3E7-6D5BEEA58F35}x
1
2
3
4
5
6
p
16
16
16
16
16
16
一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率
P(X=xi)=pi，i=1，2，…，n
为X的概率分布列，简称分布列.
追问1：你能根据概率的性质，研究离散型随机变量分布列的性质吗？
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}x
x1
x2
...
xn
p
p1
p2
...
p2
离散型随机变量的分布列的性质：
　　(1)Pi ≥0，i=1，2， …，n，
　　(2) P1+P2+ … +Pn =1．
离散变量的分布列也可以用表格表示，如下表所示.
追问2：根据分布列和概率的性质，计算问题4中事件“掷出的点数不大于2”、事件“掷出偶数点”发生的概率吗？
P(X≤2)=P(X=1)+P(X=2)=????????+????????=????????
?
P({X=2}U{X=4}U{X=6})=P(X=2)+P(X=4)+P(X=6)=????????
?
典例分析
例1： 一批产品中次品率为5%，随机抽取1件，定义
求X的分布列.
????=????,抽到次品????,抽到正品
?
解：根据X的定义，{X=1}=“抽到次品”，{X=0}=“抽到正品”，X的分布列为
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}X
0
1
P
0.95
0.05
对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，????表示失败，定义
????=????,????发生????,????发生
如果P（A）=p,则P(????)=1-p，X的分布列如下：
?
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}X
0
1
P
1-p
p
则X服从两点分布或0—1分布。
例2：某学校高二年级有200名学生，他们的体育综合测试成绩分5个等级，每个等级对应的分数和人数如下表所示.
从这200名学生中任意选取1人，求所选同学分数X的分布列，以及P(X≥4)。
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}等级
不及格
及格
中等
良
优
分数
1
2
3
4
5
人数
20
50
60
40
30
解：由题意知，X是一个离散型随机变量，其可能取值为1，2，3，4，5，且{X=1}=“不及格”，{X=2}=“及格”，{X=3}=“中等”，{X=4）=“良”，{X=5}=“优”.根据古典概型的知识，可得X的分布列，如下表所示.
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}X
1
2
3
4
5
P
????????????
????????
????????????
????????
????????????
P(X≥4)=P(X=4)+P(X=5)=????????+????????????=????????????
?
例3：一批笔记本电脑共有10台，其中A品牌3台，B品牌7台.如果从中随机挑选
2台，求这2台电脑中A品牌台数的分布列.
解：设挑选的2台电脑中A品牌的台数为X，则X的可能取值为0，1，2.根据古典概型的知识，可得X的分布列为
用表格表示X的分布列，如下表所示，
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}X
0
1
2
P
????????????
????????????
????????????
小结
求离散型随机变量分布列的一般步骤：
（1）根据问题设立一个随机变量X，并写出随机变量X的所有可能取值；
（2）利用古典概型，求随机变量X的每一个可能取值所对应的概率；
（3）用解析式或表格表示X的分布列.
课堂小结
1.随机变量的定义：
一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数 X(ω）与之对应，我们称X为随机变量.
2.离散型随机变量的定义：
可能取值为有限个或可以一一列出的随机变量，我们称为离散型随机变量.
对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，????表示失败，定义????=????,????发生????,????发生
如果P（A）=p,则P(????)=1-p，X的分布列如下：
?
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}X
0
1
P
1-p
p
3.两点分布或0—1分布