安徽省芜湖市2020-2021学年高二下学期期中联考理科数学试题 Word版含答案

芜湖市2020～2021学年度第二学期期中普通高中联考试卷
高二数学（理科）
（答案写在答题卡上）
（满分100分，时间120分钟）
一、单选题（12题，每题3分，共36分）
1．空间中有平面false和直线false、false，若false，false，则下列命题必是假命题的是（ ）．
A．false B．false C．false D．直线false和false共面
2．“false”是“false”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知双曲线false的左、右焦点分别为false，false，以false为直径的圆与双曲线的渐近线的一个交点为false，则双曲线的方程为（ ）．
A．false B．false
C．false D．false
4．曲线false在点false处的切线倾斜角为（ ）．
A．false B．false C．false D．false
5．设false，false为椭圆false的两焦点，false在椭圆上，当false面积为1时，false的值为（ ）．
A．0 B．1 C．2 D．false
6．已知false是棱长为2的正方体false内切球的一条直径，则false（ ）．
A．false B．1 C．false D．2
7．如图所示阴影部分是由函数false、false、false和false围成的封闭图形，则其面积（ ）．
A．false B．false C．false D．false
8．以抛物线false的焦点为圆心，false为半径的圆，与直线false相切，则false（ ）．
A．1或false B．false或9 C．3或false D．false或7
9．已知双曲线false的渐进线与圆false相切，则双曲线的离心率为（ ）．
A．false B．false C．false D．false
10．已知函数false及其导数false，若存在false使得false，则称false是false的一个“巧值点”．给出下列四个函数：①false；②false；③false；④false，其中有“巧值点”的函数的个数是（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
11．棱长为1的正四面体false中，点false，false分别是线段false，false上的点，且满足false，false，则false（ ）．
A．false B．false C．false D．false
12．已知函数false，若函数false有且只有两个零点，则false的取值范围为（ ）．
A．false B．false C．false D．false
二、填空题（4题，每题4分，共16分）
13．设false，且false，false，则false______．
14．如图所示，长方体false中，false，false，点false是线段false的中点，点false是正方形false的中心，则直线false与直线false所成角的余弦值为______．
15．以古希腊数学家阿波罗尼斯命名的阿波罗尼斯圆，是指到两定点的距离之比为常数false的动点false的轨迹，若已知false，false，动点false满足false，此时阿波罗尼斯圆的方程为______．
16．如图放置的边长为1的正方形false沿false轴滚动，点false恰好经过原点．设顶点false的轨迹方程式false，则对函数false有下列判断：
①函数false是偶函数；
②对任意的false，都有false；
③函数false在区间false上单调递减；
④false．
其中判断正确的序号是______．
三、解答题（5题，共48分）
17．（6分）已知false，false；false：函数false有两个零点．
（1）写出命题false；
（2）若false为真命题，false为假命题，求实数false的取值范围．
18．（10分）己知函数false．
（1）若函数false在false和false处取得极值，试求false，false的值；
（2）在（1）的条件下，当false时，false恒成立，求false的取值范围．
19．（10分）设false为坐标原点，动点false在椭圆false上，过false作false轴的垂线，垂足为false，点false满足false．
（1）求点false的轨迹方程；
（2）设点false在直线false上，且false，证明：过点false且垂直于false的直线false过false的左焦点false．
20．（10分）如图，四边形false为正方形，false平面false，false，false，false．
（1）证明：false平面false；
（2）求二面角false的余弦值．
21．（12分）平面直角坐标系false中，椭圆false，抛物线false．设false是false上的动点，且位于第一象限，false在点false处的切线false与false交与不同的两点false，false，线段false的中点为false，直线false与过false且垂直于false轴的直线交于点false．
（1）求证：点false在定直线上；
（2）直线false与false轴交于点false，记false的面积为false，false的面积为false，求false的最大值．
芜湖市2020～2021学年度第二学期期中普通高中联考试卷
高二数学（理科）参考答案
1．C 2．B 3．C 4．C 5．A 6．D 7．B 8．C 9．C 10．B
11．A 12．D
13．1 14．false 15．false 16．①②④
17．（满分6分）
（1）false，false
（2）若false为真命题， false为假命题，则false，false一真一假．
若false真false假，则实数false满足false，即false；
若false假false真，则实数false满足false，即false．
综上所述，实数false的取值范围为false．
18．（满分10分）
（1）false，
∵false在false和false处取得极值，
∴false，3是方程false的两根．
∴false．
由（1）知false，false，
当false变化时，有下表：
false
false
false
false
3
false
false
＋
0
－
0
＋
false
false
极大值false
false
极小值false
false
而false，false，
∴当false时，false的最大值是false，
要使false恒成立，只要false即可．
当false时，false，得false；
当false时，false，得false．
综合可得，false．
19．（满分10分）
（1）设false，false，则false，false，false，
由false得false，false，
因为false在false上，所以false．
即false的轨迹方程是false．
（2）证：由题意知false，设false，false，则
false，false，false，
false，false
由false得false，
又由（1）知：false，故false．
所以false，即false．
由过点false存在唯一直线垂直false，
所以过点false且垂直于false的直线false过false的左焦点false．
20．（满分10分）
（1）证明：如图建系.
依题意有false，false，false，
则false，false，false．
所以false，false，
即false，false，
故false平面false．
（2）依题意有false，false，false，
设false是平面false的法向量，则：
false，即false．
因此可取false．
设false是平面false的法向量，则：
false，可取false，所以false．
故二面角false的余弦值为false．
21．（满分12分）
（1）证：设false，
由false可得false，所以直线false斜率为false，
因此直线false方程为false，即false．
设false，false，false，
联立false，得false．
由false，得false（或false）． （*）
且false．
因此false，将其代入false得false，
因为false，所以直线false方程为false．
联立false得点false纵坐标false，
所以点false在定直线false上．
（2）由（1）知直线false方程为false．
令false，得false，所以false．
又false，false，false，
所以false，
false，
所以false，设false，
则false．
当false，即false时，false取到最大值false．