广东省广州市真光高级中学校2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题 Word版含答案

广州市真光中学2020—2021学年第二学期
高一数学期中考试题
2021.04.27
一、单选题（每小题5分，共40分）
1、复数false的共轭复数的虚部是（ ）
A.false B.false C.false D.false
2、已知复数false满足false，则false的最小值是（ ）
A.5 B.2 C.7 D.3
3、false的内角false、false、false的对边分别为false、false、false，已知false，false，false，则false（ ）
A.false B.false C.2 D.3
4、如图，在矩形false中，false,false，点false为false的中点，点false在边false上，若false，则false的值是（ ）
A.false B.1 C.false D.2
5、空间四边形false中，false，false，false分别是false，false的中点，false，则异面直线false，false所成的角为（ ）
A.false B.false C.false D.false
6、如图，在false中，false，false，false，且false，则false（ ）
A. B.false C.false D.false
7、设false为false内部的一点，且false，则false的面积与false的面积之比为（ ）
A.false B.false C.2 D.3
8、在平面上，false，false，false，若false，则false的取值范围是（ ）
A.false B.false C.false D.false
二、多选题（全对得5分，错一个得0分，漏选得2分）
9、已知向量false，false，则（ ）
A.false B.向量false在向量false上的投影向量为false
C.false与false的夹角余弦值为false D.若false，则false
10、在false中，角false，false的对边分别为false，false，则以下4个题中有唯一解的是（ ）
A、false，false，false B、false，false，false
C、false，false，false D、false，false，false
11、如图，false的内角false，false，false所对的边分别为false，false，false，若false，且false，false是false外一点，false，false，则下列说法正确的是（ ）
A.false是等边三角形
B.若false，则false，false，false，false四点共圆
C.四边形false面积最大值为false
D.四边形false面积最小值为false
12、在棱长为2的正方体false中，点false是对角线false上的点（点false与false、false不重合），则下列结论正确的为（ ）
A、存在点false，使得平面false平面false；
B、存在点false，使得false平面false；
C、若false的面积为false，则false；
D、若false，false分别是false在平面false与平面false的正投影的面积，则存在点false，使得false
三、填空题
13、设false、false是两条不同的直线，false、false、false是三个不同的平面，给出下列四个命题：其中是真命题的是______（填上正确命题的序号）。
①若false，false，则false；②若false，false，false，则false；
③若false，false，false，则false；④若false，false，false，则false
14、在正三棱柱false中，侧棱长为false，底面三角形的边长为1，则false与侧面false所成角的大小为（ ）
A.false B.false C.false D.false
15、已知在东西方向上有false，false两座小山，山顶各有一座发射塔false、false，塔顶false、false的海拔高度分别为false和false，一测量车在小山false的正南方向的点false处测得发射塔顶false的仰角为false，该测量车向北偏西false方向行驶了false后到达点false，在点false处测得发射塔顶false处的仰角为false，且false，经测量false，求两发射塔顶false，false之间的距离______
16、在四棱锥false中，底面false是边长为4的正方形，侧面false是以false为斜边的等腰直角三角形，若false，则四棱锥false的体积取值范围为______
四、解答题
17、（10分）在锐角三角形false中，角false，false，false的对边分别为false，false，false，用向量方法证明：false
18、（12分）直角梯形false中，false，false，false是边长为2的正三角形，false是平面上的动点，false，设false，求false的最大值。
19、（12分）如图，在四棱锥false中，false平面false，
false，false，false，false，false，false.
（Ⅰ）求异面直线false与false所成角的余弦值；
（Ⅱ）求证：false平面false；
（Ⅲ）求直线false与平面false所成角的正弦值。
20、（12分）如图，在四棱锥false中，false，
false，false平面false，false，false.设false，false分别为false，false的中点。
（1）求证：平面false平面false；（2）求三棱锥false的体积.
21、（12分）在false中，三个内角false，false，false的对边分别为false，false，false，其中false，且false（1）求证：false是直角三角形；（2）设圆false过false，false，false三点，点false位于劣弧false上，false，用false的三角函数表示三角形false的面积，并求false面积最大值。
22、(12分)随着生活水平的不断提高，人们更加关注健康，重视锻炼，“日行一万步，健康一辈子”，通过“小步道”，走出“大健康”，健康步道成为引领健康生活的一道亮丽风景线，如图，false为某市的一条健康步道，false，false为线段，false是以false为直径的半圆，false，false，false.
（1）求false的长度；（2）为满足市民健康生活需要，提升城市品位，改善人居环境，现计划新增健康步道false（false，false在false两侧），false，false为线段，若false，false到健康步道false的最短距离为false，求false到直线false距离的取值范围.
广州市真光中学2020—2021学年第二学期高一数学期中考试题参考答案
单选题
1、A；2、D；3、D；4、C；5、B；6、C；7、C；8、D
二、多选题
9、BCD；10、AD；11、AC；12、ABD.
三、填空题
13、②；14、false；15、false；16、false.
四、解答题
17、证法：过点false作false，
由向量的加法可得：false
则false，∴false
false
∴false，即false
同理，过点false作false，可得false
从而false
18、
解：以false为原点，false为false轴，false所在直线为false轴，建立直角坐标系，
∵false∴可设false，false，false，false，
false，
因为false，所以
false
false，
false
false，所以false的最大值为false，
19、【解】（Ⅰ）如图，由已知false，故false或其补角即为异面直线false与false所成的角，因为false平面false，所以false，在false中，由已知，得false，故false.
所以，异面直线false与false所成角的余弦值为false.
（Ⅱ）证明:因为false平面false，直线false平面false，所以false.又因为false，所以false，又false，所以false平面false.
（Ⅲ）过点false作false的平行线交false于点false，连结false，则false与平面false所成的角等于false与平面false所成的角。因为false平面false，故false为false在平面false上的射影，所以false为直线false和平面false所成的角.
由于false，false，故false，由己知，得false.
又false，故false，在false中，可得false，
在false中，得false
所以，直线false与平面false所成角的正弦值为false.
20、解:(1)证明: “false，false分别为false，false的中点，∴false，
又false平面false，false平面false，∴false平面false.
在false中，false，false，∴false.
又false，∴false.
∵false平面false，false平面false，∴false平面false
又false，∴平面false平面false，
(2)由(1)知，平面false平面false，
∴点false到平面false的距离等于点false到平面false的距离.
∵false，false，false，∴false，
∴三棱锥false的体积false.
21、（1）证明：由正弦定理的得false，
整理为false，即false
∴false或false，
即false或false，∵false，∴false舍去.
由false可知false，∴false是直角三角形.
（2）由（1）及false，得false，false.
在false中，false
所以，false
falsefalse，false.
因为false，所以，false
当false，即false时，false最大值等于false.
22、【解】（1）在false中，由余弦定理可得false.
false.
（2）false的轨迹为false外接圆的一部分，设false外接圆的半径为false，
由正弦定理false，且满足false，
由（1）得：false，所以false为直角，
过false作false于false，设所求距离为false，
①当false通过圆心false时，false达到最大，由几何关系得，四边形false为矩形，
②当false无限接近false时，此时false，
综上：所求false到直线false距离false的取值范围为false.