重庆第八高中2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题 Word版含答案

重庆八中2020-2021学年度（下）半期考试高一年级
数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数z满足false（i为虚数单位），则false（ ）
A．false B．false C．false D．false
2．如图，已知水平放置的false按斜二测画法得到的直观图为false，若false，则false的面积为（ ）
A．3 B．false C．false D．false
3．已知m，n为两条不同直线，false为两个不同平面，则下列命题中正确的是（ ）
A．如果false，那么false
B．如果false，那么false
C．如果false，那么false
D．如果false，那么false
4．在false中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若false，则false（ ）
A．false B．false C．false D．false
5．在平行四边形false中，设M为线段false上靠近B的三等分点，N为线段false上靠近D的三等分点，false，则向量false（ ）
A．false B．false C．false D．false
6．已知两个非零向量false与false的夹角为false，且false，则false（ ）
A． B．6 C．4 D．2
7．在长方体false中，false和false与底面false所成的角分别为false和false，则异面直线false和false所成角的余弦值为（ ）
A．false B．false C．false D．false
8．设直三棱柱false的所有顶点都在一个球面上，且球的体积是false，false，false，则此直三棱柱的高是（ ）
A．1 B．2 C．false D．4
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知向量false，若false，则（ ）
A．false或false B．false或false
C．false或false D．false或false
10．下面关于复数的四个命题中，结论正确的是（ ）
A．若复数false，则false B．若复数z满足false，则false
C．若复数z满足false，则false D．若复数false满足false，则false
11．《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”：底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”：四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”．如图，在堑堵false中，false，且false．下列说法正确的是（ ）
A．四棱锥false为“阳马”
B．四棱锥false体积最大为false
C．四面体false为“鳖臑”
D．过A点分别作false于点E，false于点F，则false
12．在false中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，C为钝角，且false，则下列结论中正确的是（ ）
A．false B．false C．false D．false
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．设i是虚数单位，若复数false是纯虚数，则false________．
14．如图所示，为了测量山高false，分别选择山下平地的A处和另一座山的山顶C处为测量观测点．从A点测得M点的仰角false，C点的仰角false以及false，从C点测得false，已知山高false米，则山高false_________米．
15．已知正false的边长为false，D是false边上的动点（含端点），则false的取值范围是________．
16．如图，一圆锥形物体的母线长为false，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点P处．若该小虫爬行的最短路程为false，则圆锥底面圆的半径等于_______false．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或计算步骤．
17．（10分）已知复数false．
（Ⅰ）若z在复平面中所对应的点在直线false上，求a的值；
（Ⅱ）求false的取值范围．
18．（12分）在四边形false中，已知false，false，false，false．
（Ⅰ）求x、y的关系式；
（Ⅱ）若false，求x，y的值以及四边形false的面积．
19．（12分）如图，在直三棱柱false中，false，E，F分别为false，false的中点．
（Ⅰ）求证：平面false平面false；
（Ⅱ）求证：false平面false．
20．（12分）在false中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若false，
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）若false面积的最大值为false，求b．
21．（12分）已知向量false．
（Ⅰ）求false值域；
（Ⅱ）在false中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．且false，若false，求false的周长．
22．（12分）如图①所示，在四棱锥false中，false，平面false平面false，且false是边长为2的等边三角形．
（Ⅰ）求证：false．
（Ⅱ）过点S作false，使得四边形false为菱形，连接false，得到的图形如图②所示，已知平面false平面false，且直线false平面false，直线false平面false，求三棱锥false的体积．
重庆八中2020-2021学年度（下）半期考试高一年级
数学参考答案
一、单选题（40分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
C
B
B
B
A
C
B
5．【解析】∵false，false，则false．故选B．
6．【解析】由题可知，false，∴false，即false，解得false（负值舍去），故选A．
7．【解析】如图：∵false平面false，∴false是false与底面所成角，∴false，∵false底面false，∴false是false与底面所成的角，∴false，连接false，false，则false．
∴false或其补角为异面直线false与false所成的角．不妨设false，则false，false，false，∴false，false．在等腰false中，false，所以异面直线false和false所成角的余弦值为false，故选C．
8．【解析】设false．因为false，所以false，于是false（r是false外接圆的半径），false．又球心到平面false的距离等于侧棱长false的一半，所以球的半径为false．所以球的表面积为Nfalse，解得false．于是直三棱柱的高是false．故选B．
二、多选题（20分）
题号
9
10
11
12
答案
BC
AB
ACD
ABC
11．【解析】在选项B中，在底面有false，即false，当且仅当false时取等号，false，故B不正确；其余选项均证明可得，故选ACD．
12．【解析】对选项A：由余弦定理得false，化简得false，故A正确；
对选项B：由正弦定理得false，又false，
∴false，化简得false∵false∴false∴false故false，B正确；
对选项C：∵false∴false，故C正确；
对选项D：∵false∴false，故D不正确；
故选ABC．
三、填空题（20分）
题号
13
14
15
16
答案
false
false
false
1
16．【解析】由圆锥的侧面展开图得知：false，故false，设圆锥的底面半径为r，利用false，解得false．
四、解答题（70分）
17．解：（Ⅰ）∵false，
∴z在复平面中所对应的点的坐标为false，在直线false上，
∴false，得false．
（Ⅱ）false，因为false，
且false，所以false，所以false的取值范围为false． 10分
18．解：（Ⅰ）∵false， 2分
false，∴false，即false． 5分
（Ⅱ）由题意，得false，false．
∵false，∴false，即false
由（Ⅰ）可知false，∴false，∴false或false． 8分
①当false时，false，此时false，false，false
∴false，false，∴false． 10分
②当false时，false，此时false
∴false，false，∴false．
综上可知：false或false，false． 12分
19．证明：（Ⅰ）在直三棱柱false中，
∵false平面false，false平面false，∴false．
又∵false，∴false．又false，∴false平面false，
又false平面false，∴平面false平面false． 6分
（Ⅱ）取false的中点G，连接false、false，如图所示．
∵G、F分别是false、false的中点，∴false，且false．
又∵E为false的中点，∴false，且false．
∴false，且false，
∴四边形false是平行四边形，∴false．
又∵false平面false，false平面false，∴false平面false． 12分
20．解：（Ⅰ）由正弦定理可得：false
∴false，∴false，
又false，∴false，
∵false，∴false，∴false，又false，∴false； 6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）及余弦定理可知：false，∴false
由基本不等式得false，
∴false，当且仅当false时等号成立，∴false，
又false的面积的最大值为false，∴false． 12分
21．解：（Ⅰ）∵false
false，
∵false，∴false，故false值域为false 5分
（Ⅱ）∵false，∴false ①
由false可得false，又false，∴false，解得false，
又∵false，由余弦定理得：false ② 10分
联立①②解得false．∴false的周长为false． 12分
22．（Ⅰ）证明：∵false，∴false．
∵面false面false，面false面false，false面false，∴false面false．
又∵false面false，∴false． 5分
（Ⅱ）解：如图，取false的中点为O，连接false．
由面false面false，得false．
∵false，∴false，即false．
∵false，∴false．
∵false，false，
即false为等腰直角三角形．∴false． 8分
在false中，∵false，∴M是false的中点，∴N是false的中点．
∴false． 10分
∵false，∴false．∵面false面false，∴false面false，
∴false． 12分