(共36张PPT)
1.4.2 充要条件
核心概念掌握
答案
核心素养形成
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随堂水平达标
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本课结束(共37张PPT)
1.4.1 充分条件与必要条件
核心概念掌握
答案
核心素养形成
答案
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随堂水平达标
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本课结束(共31张PPT)
1.4 充分条件与必要条件
课标阐释
思维脉络
1.了解真命题与推出符号的关系,领会符号语言的优越性.(数学抽象)
2.理解充分条件、必要条件、充要条件的概念,掌握充分条件、必要条件、充要条件的判断方法.(逻辑推理)
3.掌握证明充要条件的一般方法.(逻辑推理)
激趣诱思
知识点拨
著名童话《爱丽丝漫游奇境记》的作者,英国剑桥大学数学讲师卡洛尔曾提出如下趣题:如果已经知道以下信息:①室内所有有日期的信都是用蓝纸写的;②玛丽写的信都是以“亲爱的”开头的;③除了查理以外没有人用黑墨水写信;④我可以看到的信都没有收藏起来;⑤只有一页信纸的信中,没有一封没注明日期;⑥未作记号的信都是用黑墨水写的;⑦用蓝纸写的信都收藏起来了;⑧一页以上信纸的信中,没有一封是做记号的;⑨以“亲爱的”开头的信,没有一封是查理写的.
请判断:我是否可以看玛丽的信?
结论是什么呢?学习了本节内容后,运用充分、必要条件的知识进行逻辑推理就容易判断结果了.
激趣诱思
知识点拨
知识点一、充分条件与必要条件
一般地,“若p,则q”为真命题,就说p是q的充分条件,q是p的必要条件.
名师点析
1.在逻辑推理中“p?q”的几种说法
(1)“如果p,那么q”为真命题.
(2)p是q的充分条件.
(3)q是p的必要条件.
(4)p的必要条件是q.
(5)q的充分条件是p.
这五种说法表示的逻辑关系是一样的,说法不同而已.
激趣诱思
知识点拨
2.对充分条件的理解:
(1)充分条件是某一个结论成立应具备的条件,当命题具备此条件时,就可以得出此结论或使此结论成立.
(2)只要具备此条件就足够了,当命题不具备此条件时,结论也有可能成立,例如x=6?x2=36,但是,当x≠6时,x2=36也可以成立,“x=-6”也是“x2=36成立”的充分条件.
3.对必要条件的理解:
(1)必要条件是在充分条件的基础上得出的,真命题的条件是结论成立的充分条件,但不一定是结论成立的必要条件;假命题的条件不是结论成立的充分条件,但有可能是结论成立的必要条件.
(2)“p是q的必要条件”的理解:若有q,则必须有p;而具备了p,则不一定有q.
激趣诱思
知识点拨
微思考
(1)已知“若p,则q”为真命题,说明p与q之间有什么关系?
提示:说明当p成立时,一定能得出q成立.即由p通过推理可以得出q.这时我们就说,由p可以推出q,记作p?q.
(2)类似地,如果“若p,则q”为假命题,说明p与q之间有什么关系?
提示:说明由条件p不能推出结论q,记作p
q.
微练习
用“充分条件”和“必要条件”填空:
(1)若p:x=-3,q:x2=9,则p是q的 ,q是p的 .?
(2)若p:两个三角形面积相等,q:两个三角形全等,则p是q的 ,q是p的 .?
答案:(1)充分条件 必要条件 (2)必要条件 充分条件
激趣诱思
知识点拨
知识点二、充要条件
如果“若p,则q”和它的逆命题“若q,则p”均是真命题,即既有p?q,又有q?p,就记作p?q.此时,p既是q的充分条件,也是q的必要条件,我们说p是q的充分必要条件,简称为充要条件.
名师点析
1.对充要条件的两点说明
(1)p是q的充要条件意味着“p成立,则q一定成立;p不成立,则q一定不成立”.
(2)p是q的充要条件,则q也是p的充要条件.
激趣诱思
知识点拨
2.常见的四种条件与命题真假的关系
如果有命题“若p,则q”和“若q,则p”,那么p与q的关系有以下四种情形:
激趣诱思
知识点拨
微思考
(1)我们知道,当“x>1”成立时,能推出“x>0”.那么“x>0”的充分条件是否只能是“x>1”?
提示:不是.使结论“x>0”成立的条件并不唯一,如“x>1.2”,“3
(2)由前面的知识,我们知道“x>0”是“x>1”的必要条件.那么“x>1”的必要条件是否只能是“x>0”?
提示:不是.例如“x>1”还能推出“x>-1”“x≥
”等,这些都是“x>1”成立的必要条件.
激趣诱思
知识点拨
微练习
实数a,b,c不全为0的一个充要条件是( )
A.实数a,b,c均不为0
B.实数a,b,c中至多有一个为0
C.实数a,b,c中至少有一个为0
D.实数a,b,c中至少有一个不为0
答案:D
探究一
探究二
探究三
当堂检测
充分条件、必要条件的判断
例1(1)判断下列各题中,p是否是q的充分条件:
①p:a∈Q,q:a∈R.
②p:a<1.
③p:x>1,q:x2>1.
④p:(a-2)(a-3)=0,q:a=3.
⑤在△ABC中,p:∠A>∠B,q:BC>AC.
⑥已知a,b∈R,p:a2+b2=0,q:a=b=0.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
(2)判断下列各题中,q是否是p的必要条件:
①p:|x|=|y|,q:x=y.
②p:△ABC是直角三角形,q:△ABC是等腰三角形.
④p:-2≤x≤5,q:-1≤x≤5.
⑤p:a是自然数,q:a是正整数.
分析(1)逐个判断“若p,则q”是否为真命题.(2)逐个判断“若p,则q”是否为真命题.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
解:(1)①由于Q?R,所以p?q,
所以p是q的充分条件.
因此p
q,所以p不是q的充分条件.
③由x>1可以推出x2>1.
因此p?q,所以p是q的充分条件.
④设A={a|(a-2)(a-3)=0},B={3},则B?A.
因此p
q,所以p不是q的充分条件.
⑤由三角形中大角对大边可知,若∠A>∠B,
则BC>AC.因此,p?q,所以p是q的充分条件.
⑥因为a,b∈R,所以a2≥0,b2≥0,由a2+b2=0,可推出a=b=0,即p?q,所以p是q的充分条件.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究一
探究二
探究三
当堂检测
反思感悟
充分条件、必要条件的两种判断方法
(1)定义法:①确定谁是条件,谁是结论.
②尝试从条件推结论,若条件能推出结论,则条件为充分条件,否则就不是充分条件.
③尝试从结论推条件,若结论能推出条件,则条件为必要条件,否则就不是必要条件.
(2)命题判断法:①如果“若p,则q”为真命题,那么p是q的充分条件,同时q是p的必要条件.
②如果“若p,则q”为假命题,那么p不是q的充分条件,同时q也不是p的必要条件.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
变式训练1(1)对任意实数a,b,c,在下列命题中,真命题是( )
A.“ac>bc”是“a>b”的必要条件
B.“ac=bc”是“a=b”的必要条件
C.“ac>bc”是“a>b”的充分条件
D.“ac=bc”是“a=b”的充分条件
(2)命题“已知n∈Z,若a=4n,则a是偶数”中,“a是偶数”是“a=4n”的 条件,“a=4n”是“a是偶数”的 条件(用“充分”或“必要”填空).?
探究一
探究二
探究三
当堂检测
(2)命题“已知n∈Z,若a=4n,则a是偶数”是真命题,所以“a是偶数”是“a=4n”的必要条件,“a=4n”是“a是偶数”的充分条件.
答案:(1)B (2)必要 充分
探究一
探究二
探究三
当堂检测
充分不必要条件、必要不充分条件的判断
例2用“充分不必要、必要不充分、充要和既不充分也不必要”填空.
分析利用“若p,则q”,“若q,则p”的真假判断.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
答案:(1)充分不必要 (2)既不充分也不必要
探究一
探究二
探究三
当堂检测
反思感悟
充分不必要条件、必要不充分条件的判断方法
(1)判断p是q的什么条件,实际上是判断“若p,则q”和“若q,则p”的真假,若“若p,则q”为真,“若q,则p”为假,则p为q的充分不必要条件;
若“若p,则q”为假,“若q,则p”为真,则p为q的必要不充分条件;若“若p,则q”为真,“若q,则p”为真,则p为q的充要条件;若“若p,则q”,“若q,则p”均为假,则p为q的既不充分也不必要条件.
(2)在判断时注意反例法的应用.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
变式训练2判断下列各题中,p是否为q的充要条件:
①若a,b∈R,p:a2+b2=0,q:a=b=0;
②p:|x|>3,q:x2>9.
解:①若a2+b2=0,则a=b=0,即p?q;若a=b=0,则a2+b2=0,即q?p,故p?q,所以p是q的充要条件.
②由于p:|x|>3?q:x2>9,所以p是q的充要条件.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
充要条件的证明
例3(1)求证:关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.
(2)求证:方程f(x)=0有一根为1的充要条件是f(1)=0.
分析从充分性和必要性两个方面证明.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
证明:(1)充分性:因为a+b+c=0,所以c=-a-b,代入方程ax2+bx+c=0中,得ax2+bx-a-b=0,即(x-1)(ax+a+b)=0.所以方程有一个根为1,所以a+b+c=0?方程ax2+bx+c=0有一个根为1.
必要性:因为方程ax2+bx+c=0有一个根为1,
所以x=1满足方程ax2+bx+c=0,
所以有a×12+b×1+c=0,即a+b+c=0.
所以方程ax2+bx+c=0有一个根为1?a+b+c=0,
从而a+b+c=0?方程ax2+bx+c=0有一个根为1,
因此方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
(2)充分性:当f(1)=0时,即x=1代入f(x)=0,等式成立,∴f(1)=0是f(x)=0的充分条件;
必要性:当f(x)=0有一根为1时,即(1,0)为y=f(x)与x轴的一个交点,∴f(1)=0,
∴f(1)=0是f(x)=0的必要条件.综上所述,方程f(x)=0有一根为1的充要条件是f(1)=0.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
反思感悟
充要条件的证明:
(1)充要条件的证明问题,关键是理清题意,认清条件与结论分别是什么.
(2)证明p的充要条件是q,既要证明“p?q”为真,又要证明“q?p”为真,前者证明的是必要性,后者证明的是充分性.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
延伸探究
将本例(1)的条件“有一个根为1”改为“有一个正根和一个负根”,“a+b+c=0”改为“ac<0”,如何判断?
证明:充分性:因为ac<0,所以Δ=b2-4ac>0,方程ax2+bx+c=0中有两个不等实根,由根与系数关系可知这两个根的积为
<0,所以方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根,所以ac<0?方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根.
必要性:因为方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根,由根与系数关系可知这两个根的积为
<0,
所以ac<0,所以方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根?ac<0,从而ac<0?方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根,因此方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件是ac<0.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
变式训练3求证:关于x的一元二次不等式ax2-ax+1>0对于一切实数x都成立的充要条件是0探究一
探究二
探究三
当堂检测
1.(2020北京高一期中)“x=2”是“x2=4”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:由x2=4,解得x=±2,
∴x=2是x2=4的充分不必要条件.
答案:A
探究一
探究二
探究三
当堂检测
2.(2020山东高一期中)设a∈R,则“a>0”是“a2>0”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:设A={a|a>0},B={a|a≠0}={a|a>0,或a<0},显然A是B的真子集,所以a>0推出a2>0;而a2>0不能推出a>0,所以“a>0”是“a2>0”的充分不必要条件.
答案:A
探究一
探究二
探究三
当堂检测
3.“2x+3≤0”是“2x-6≤0”的 条件.
?
答案:充分不必要
探究一
探究二
探究三
当堂检测
4.求证:一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
证明:充分性:
因为ac<0,所以一元二次方程ax2+bx+c=0的判别式Δ=b2-4ac>0.故一元二次方程一定有两个不相等实根,设为x1,x2,则x1x2=
<0,所以方程的两根异号.即方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根.
必要性:
一元二次方程有一正根和一负根,设为x1,x2,
则由根与系数的关系得x1x2=
<0,即ac<0,
综上可知,一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.