(共32张PPT)
1.5.1 全称量词与存在量词
核心概念掌握
答案
核心素养形成
答案
答案
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答案
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随堂水平达标
解析
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解析
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解析
答案
解析
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本课结束(共38张PPT)
1.5 全称量词与存在量词
课标阐释
思维脉络
1.通过已知的数学实例,理解全称量词与存在量词的意义.(数学抽象)
2.掌握判断全称量词命题与存在量词命题真假的方法.(逻辑推理)
3.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定;能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定.(逻辑推理)
激趣诱思
知识点拨
在某个城市中有一位理发师,他的广告词是这样写的:“本人的理发技艺十分高超,誉满全城.我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸,我也只给这些人刮脸.我对各位表示热诚欢迎!”来找他刮脸的人络绎不绝,自然都是那些不给自己刮脸的人.可是,有一天,这位理发师从镜子里看见自己的
胡子长了,他本能地抓起了剃刀,你们看他能不能给他自己刮脸呢?如果他不给自己刮脸,他就属于“不给自己刮脸的人”,他就要给自己刮脸,而如果他给自己刮脸呢?他又属于“给自己刮脸的人”,他就不该给自己刮脸.
这就是著名的“罗素理发师悖论”问题,如果我们学习了全称量词命题与存在量词命题的知识,就可以通过逻辑进行分析了.
激趣诱思
知识点拨
知识点一、全称量词与全称量词命题
(1)概念:短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“?”表示.含有全称量词的命题,叫做全称量词命题.
(2)表示:全称量词命题“对M中任意一个x,p(x)成立”可用符号简记为?x∈M,p(x).
名师点析
对全称量词与全称量词命题的理解:
①从集合的观点看,全称量词命题是陈述某集合中的所有元素都具有某种性质的命题.注意:全称量词表示的数量可能是有限的,也可能是无限的,由题目而定.
②常见的全称量词还有“一切”“任给”等.
③一个全称量词命题可以包含多个变量,如“?x,y∈R,x2+y2≥0”.
④全称量词命题含有全称量词,有些全称量词命题中的全称量词是省略的,理解时需把它补充出来.例如,命题“平行四边形的对角线互相平分”应理解为“所有的平行四边形的对角线都互相平分”.
激趣诱思
知识点拨
(3)全称量词命题的真假判断
①要判定全称量词命题“?x∈M,r(x)”是真命题,需要对集合M中每个元素x,证明r(x)成立;
②要判定全称量词命题“?x∈M,r(x)”是假命题,只需举出一个反例,即在集合M中找到一个元素x0,使得r(x0)不成立,那么这个全称量词命题就是假命题.
激趣诱思
知识点拨
微思考
给出下列命题:①所有的矩形都是平行四边形;②对任意一个x∈R,都有x2>0;③每一个菱形的对角线都垂直;④自然数是正整数.
(1)上述命题①②③中的“所有的”“任意一个”“每一个”都表示什么含义?如何定义这类命题?
提示:这些短语一般在指定的范围内都表示整体或全部,这样的词叫做全称量词.含有全称量词的命题,叫做全称量词命题.
(2)命题④是全称量词命题吗?它的量词是什么?
提示:是全称量词命题.它的量词是“所有的”(“每一个”等).即所有的自然数都是正整数.
激趣诱思
知识点拨
微练习
用量词符号表示下列全称量词命题,并判断其真假:
(1)任意一个实数乘以0都等于0;
(2)自然数的平方是正数;
(3)任意两个有理数的和仍是有理数.
解:(1)?x∈R,x·0=0,是真命题.
(2)?x∈N,x2>0,当x=0时,不成立,故是假命题.
(3)?x,y∈Q,x+y∈Q,是真命题.
激趣诱思
知识点拨
知识点二、存在量词与存在量词命题
(1)概念:短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,用符号“?”表示.含有存在量词的命题,叫做存在量词命题.
(2)表示:存在量词命题“存在M中的元素x,p(x)成立”,可用符号简记为?x∈M,p(x).
名师点析
对存在量词与存在量词命题的理解:
①从集合的观点看,存在量词命题是陈述某集合中有(存在)一些元素具有某种性质的命题.
②常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某个”“有的”等.
③含有存在量词的命题,不管包含的程度多大,都是存在量词命题.
④一个存在量词命题可以包含多个变量,如“?a,b∈R,使(a+b)2=(a-b)2”.
⑤含有存在量词“存在”“有一个”等的命题,或虽没有写出存在量词,但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在量词命题.
激趣诱思
知识点拨
(3)存在量词命题的真假判断
①要判断存在量词命题“?x∈M,p(x)”是真命题,只需在集合M中找到一个元素x,使p(x)成立即可.
②要判断一个存在量词命题是假命题,需对集合M中的任意一个元素x,证明p(x)都不成立.
激趣诱思
知识点拨
微思考
给出下列命题:①有些矩形不是平行四边形;②存在一个x∈R,使得x2≤0;③至少有一个菱形的对角线不垂直;④有的自然数不是正整数.
上述命题中的“有些”“存在一个”“至少有一个”“有的”都表示什么含义?如何定义这类命题?
提示:这些短语在陈述中表示所述事物的个体或部分,称为存在量词.含有存在量词的命题,叫做存在量词命题.
激趣诱思
知识点拨
微判断
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)全称量词的含义是“任意性”,存在量词的含义是“存在性”.( )
(2)全称量词命题一定含有全称量词,存在量词命题一定含有存在量词.( )
答案:(1)√ (2)×
激趣诱思
知识点拨
微练习
(1)下列存在量词命题是假命题的是( )
A.存在x∈Q,使2x-x3=0
B.存在x∈R,使x2+x+1=0
C.有的素数是偶数
D.有的有理数没有倒数
(2)命题“有些长方形是正方形”含有的量词是 ,该量词是 量词(填“全称”或“存在”).?
答案:(1)B (2)有些 存在
激趣诱思
知识点拨
知识点三、全称量词命题和存在量词命题的否定
激趣诱思
知识点拨
名师点析
1.写全称量词命题的否定的方法
(1)更换量词,将全称量词换为存在量词.
(2)将结论否定.
2.写存在量词命题的否定的方法
(1)将存在量词改写为全称量词.
(2)将结论否定.
3.写全称量词命题的否定和存在量词命题的否定的注意点
(1)全称量词命题的否定是一个存在量词命题,给出全称量词命题的否定时既要否定全称量词,又要否定性质,所以找出全称量词,明确命题所提供的性质是对全称量词命题否定的关键.
(2)存在量词命题的否定是一个全称量词命题,给出存在量词命题的否定时既要否定存在量词,又要否定性质,所以找出存在量词,明确命题所提供的性质是对存在量词命题否定的关键.
激趣诱思
知识点拨
微思考
已知命题:①所有的矩形都是平行四边形;②每一个自然数都是正整数;③存在一个x∈R,使得x2≤0;④至少有一个菱形的对角线不垂直.
这四个命题分别是什么命题?它的否定又是什么命题?
提示:①②是全称量词命题,它们的否定是存在量词命题.
③④是存在量词命题,它们的否定是全称量词命题.
激趣诱思
知识点拨
微练习
(1)命题“存在一个三角形,内角和不等于180°”的否定为( )
A.存在一个三角形的内角和等于180°
B.所有三角形的内角和都等于180°
C.所有三角形的内角和都不等于180°
D.很多三角形的内角和不等于180°
(2)命题“?x∈Z,4x-1是奇数”的否定是 .?
答案:(1)B (2)?x∈Z,4x-1不是奇数
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
全称量词命题与存在量词命题的辨析
例1判断下列语句是全称量词命题,还是存在量词命题.
(1)对任意的n∈Z,2n+1是奇数;
(2)有些三角形不是等腰三角形;
(3)有的实数是无限不循环小数;
(4)所有的正方形都是矩形;
分析有全称量词的是全称量词命题,有存在量词的是存在量词命题,当没有时,要结合命题的具体意义进行判断.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
解:(1)含有全称量词“任意”,故为全称量词命题.
(2)含有存在量词“有些”,故为存在量词命题.
(3)含有存在量词“有的”,故为存在量词命题.
(4)含有全称量词“所有”,故为全称量词命题.
(5)含有全称量词“任意”,故为全称量词命题.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
反思感悟
判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的思路
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
变式训练1下列命题中,是全称量词命题的是 ,是存在量词命题的是 (填序号).?
①正方形的四条边相等;②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形;③正数的平方根不等于0;④至少有一个正整数是偶数.
解析:①②③是全称量词命题,④是存在量词命题.
答案:①②③ ④
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
全称量词命题与存在量词命题的真假判断
例2判断下列命题的真假.
(1)?x∈R,x2+1>
;
(2)?α,β∈R,(α-β)2=(α+β)2;
(3)存在一个数既是偶数又是负数;
(4)每一条线段的长度都能用正有理数表示;
(5)存在一个实数x,使等式x2+x+8=0成立.
分析对于全称量词命题,判断为真,需要证明,判断为假,举出反例;对于存在量词命题,判断为真,举出特例,判断为假,需要证明.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
解:(1)真命题,因为x2≥0,
所以x2+1≥1,x2+1>
恒成立.
(2)真命题,例如α=0,β=1,符合题意.
(3)真命题,如数-2,-4等,就既是偶数又是负数.
(4)假命题,如边长为1的正方形的对角线长为
,它的长度就不是有理数.
(5)假命题,因为该方程的判别式Δ=-31<0,故无实数解.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
反思感悟
判断全称量词命题和存在量词命题真假的方法
(1)要判断一个全称量词命题为真,必须对在给定集合的每一个元素x,使命题p(x)为真;但要判断一个全称量词命题为假时,只需在给定的集合中找到一个元素x,使命题p(x)为假.
(2)要判断一个存在量词命题为真,只要在给定的集合中找到一个元素x,使命题p(x)为真;要判断一个存在量词命题为假,必须对在给定集合的每一个元素x,使命题p(x)为假.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
变式训练2指出下列命题中,哪些是全称量词命题,哪些是存在量词命题,并判断真假.
(1)存在一个实数,它的绝对值不是正数;
(2)每一条线段的长度都能用正有理数来表示;
(3)存在一个实数x,使得等式x2+x+8=0成立.
解:(2)是全称量词命题,(1)(3)是存在量词命题.
(1)真命题.存在一个实数0,它的绝对值不是正数.
(2)假命题,如边长为1的正方形,其对角线的长度为
就不能用正有理数表示.
(3)假命题,方程x2+x+8=0的判别式Δ=-31<0,故方程无实数解.
探究一
探究二
探究三
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素养形成
当堂检测
全称量词命题与存在量词命题的否定
例3写出下列各命题的否定.
(1)p:对任意的正数x,
>x-1;
(2)q:三角形有且仅有一个外接圆;
(3)r:存在一个三角形,它的内角和大于180°;
(4)s:有些质数是奇数.
分析先判断每个命题是全称量词命题还是存在量词命题,再写出相应的否定.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
解:(1)?p:存在正数x,使
≤x-1.
(2)?q:存在一个三角形有两个或两个以上的外接圆或没有外接圆.
(3)?r:所有三角形的内角和小于或等于180°.
(4)?s:所有的质数都不是奇数.
反思感悟
1.一般地,写含有一个量词的命题的否定,首先要明确这个命题是全称量词命题还是存在量词命题,并找到量词及相应结论,然后把命题中的全称量词改成存在量词,存在量词改成全称量词,同时否定结论,即得其否定.
2.对于省略量词的命题,应先挖掘命题中隐含的量词,改写成含量词的完整形式,再写出命题的否定.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
变式训练3写出下列命题的否定,并判断其真假.
(2)q:所有的正方形都是矩形;
(3)r:?x∈R,x2+3x+7≤0;
(4)s:至少有一个实数x,使x3+1=0.
探究一
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探究三
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当堂检测
探究一
探究二
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当堂检测
根据命题的真假求参数的取值范围
例4已知命题“?x∈R,x2+ax+1≥0”是假命题,求实数a的取值范围.
分析若全称量词命题为假命题,通常转化为其否定形式——存在量词命题为真命题来解决;同理,若存在量词命题为假命题,通常转化为其否定形式——全称量词命题为真命题来解决.
解:因为全称量词命题“?x∈R,x2+ax+1≥0”的否定形式为“?x∈R,x2+ax+1<0”.
由“命题真,其否定假;命题假,其否定真”可知,这个否定形式的命题是真命题.
由于函数f(x)=x2+ax+1的图象是开口向上的抛物线,借助二次函数的图象易知,Δ=a2-4>0,
解得a<-2或a>2.
所以实数a的取值范围是{a|a<-2,或a>2}.
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探究三
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当堂检测
反思感悟
求解含有量词的命题中参数范围的策略
(1)对于全称量词命题“?x∈M,a>f(x)(或a
f(x)max(或a(2)对于存在量词命题“?x∈M,a>f(x)(或af(x)min(或a探究一
探究二
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当堂检测
延伸探究
(1)若本例中的“假命题”改为“真命题”,求实数a的取值范围.
(2)若本例中的“?x∈R”改为“?x>0”,求实数a的取值范围.
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探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
解:(1)由题意知Δ≤0,则a2-4≤0,得-2≤a≤2.所以实数a的取值范围为{a|-2≤a≤2}.
(2)因为全称量词命题“?x>0,x2+ax+1≥0”的否定形式为:“?x>0,x2+ax+1<0”.
由“命题真,其否定假;命题假,其否定真”可知,这个否定形式的命题是真命题.
由于函数f(x)=x2+ax+1的图象是开口向上的抛物线,借助二次函数
解得a<-2,所以实数a的取值范围是{a|a<-2}.
探究一
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分类讨论思想的应用
典例
命题p:关于x的一元二次方程x2-4x+4m=0有两个不相等的根,且一正一负;命题q:关于x的一元二次方程x2-4mx+m=0有两个正根.
若命题p和命题q只有一个为真,你能求出m的取值范围吗?
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当堂检测
1.已知命题p:?x∈R,x>a2+b2,则p的否定形式为( )
A.?p:?x∈R,xB.?p:?x∈R,x≤a2+b2
C.?p:?x∈R,x≤a2+b2
D.?p:?x∈R,x答案:C
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2.(2020贵州遵义高一检测)下列命题中是真命题的是( )
A.?x∈R,x2>0
B.?x∈R,x2+2x>0
D.?x∈R,x(x-1)=6
解析:?x∈R,x2≥0,故排除A;
取x=0,则x2+2x=0,故排除B;
答案:D
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当堂检测
3.下列语句:①被7整除的数都是奇数;②|x-1|<2;③存在实数a使方程x2-ax+1=0成立;④等腰梯形的对角线相等.
其中是全称量词命题且为真命题的序号是 .?
解析:全称量词命题有①④,其中①是假命题,如70.
答案:④
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当堂检测
4.判断下列命题的真假.
(1)有一些三角形的两个内角相等;
(2)?x∈R,x2+2x+4<0;
(3)?x∈Z,2x-1是奇数.
解:(1)该命题中含有“有一些”,是存在量词命题.如等腰三角形中就存在两个内角相等,故该命题是真命题.
(2)该命题是存在量词命题.
因为x2+2x+4=(x+1)2+3>0,所以不存在x∈R,使x2+2x+4<0.故该命题是假命题.
(3)该命题是全称量词命题.?x∈Z,由于2x-1是整数,且不能被2整除,所以2x-1是奇数,故该命题是真命题.(共29张PPT)
1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定
核心概念掌握
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核心素养形成
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答案
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随堂水平达标
答案
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解析
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解析
答案
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