广东省四校2020-2021学年高一下学期期中联考数学试题 Word版含答案
文档属性
| 名称 | 广东省四校2020-2021学年高一下学期期中联考数学试题 Word版含答案 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 987.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-05-15 22:54:38 | ||
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文档简介
惠州一中 汕头金山中学 深圳实验学校 珠海一中
2020-2021学年度下学期期中考试
高一年级 数学试卷
卷面总分：150分 考试时长：120分钟
一、选择题：本题共8小题，每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的。
1．已知向量，，且，则
A． B． C． D．
2．设复数满足，则在复平面内对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．已知，则
A． B． C． D．
4．如图，在△中，，点是的中点，设，，则
A． B．
C． D．
5．已知为正方体，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为
A． B． C． D．
6．已知，，则△的面积的最大值为
A． B． C． D．
7．已知点，，，，与同向的单位向量为，则向量在向量方向上的投影向量为
A． B． C． D．
8．已知点在正方体的侧面内（含边界），是的中点，若，则的最小值为
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9．以下是真命题的是
A．已知，为非零向量，若 ，则与的夹角为锐角
B．已知，，为两两非共线向量，若，则
C．在三角形中，若，则三角形是等腰三角形
D．若三棱锥的三条侧棱与底面所成的角相等，则顶点在底面的垂足是底面三角形的外心
10．已知点为正方体内（含表面）的一点，过点的平面为，以下描述正确的有
A．与和都平行的有且只有一个
B．过点至少可以作两条直线与和所在的直线都相交
C．与正方体的所有棱所成的角都相等的有且只有四个
D．过点可以作四条直线与正方体的所有棱所成的角都相等
11．已知圆锥的母线长为，底面半径为，平面为轴截面，点为底面圆周上一动点（可与点，重合），则
A．三棱锥体积的最大值为
B．直线与所成角的范围为
C．三角形面积的最大值为
D．三角形为直角三角形时所在平面与底面所成角的正弦值为
12． 若，是两个非零向量，且，，则以下可能是与 的夹角的是
A． B． C． D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在△中，角，，所对的边分别为，，，已知，
则 ．
14．已知，是单位向量，且，则 ．
15．已知三角形的斜二侧画法的直观图是边长为的
正三角形（如右图所示），则 ．
16．在三棱锥中，已知平面平面，，，，，则三棱锥的外接球的表面积为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）
已知，，．
（1）若，，三点共线，求与满足的关系式；
（2）若，求点的坐标．
18．（12分）
如图，已知点，，，在同一平面内， 且，，，，．
（1）求的长；
（2）求△的面积．
19．（12分）
在锐角△中，角，，所对的边分别为，，，已知．
（1）求的取值范围；
（2）若，求的取值范围．
（可能会用到的公式：， ）
20．（12分）
如图，在四棱锥中，，，，，为锐角，平面平面．
（1）证明：平面；
（2）若与平面所成角的正弦值为，
求二面角的余弦值．
21．（12分）
如图，四棱锥的底面为平行四边形，是的中点，过，，的平面与平面的交线为．
（1）证明：平面；
（2）求平面截四棱锥所得的上、下两部分几何体的体积之比．
22．（12分）
如图直角坐标系内，在半径为的上半圆上，， △是以为直角的等腰直角三角形，设，且.
（1）求（用表示）；
（2）求点的坐标（用表示）；
（3）求△的面积的最大值．
参考答案
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8
C A B B D C B A
9．BD 10．CD 11．ABD 12．ABC
13． 14． 15． 16．
17．解：（1），，（2分）
因为，，三点共线，所以向量与也共线，所以，
所以与满足的关系式为． （4分）
（2）由，可得，或，（6分）
当时，有，；
当时，有，；
所以点的坐标为或．（10分）
18．解：(1)连，在△中，由余弦定理可得，
，
所以，所以，所以（6分）
（2），
，
，
所以△的面积为．（12分）
19．解：（1）由题意及余弦定理 可得
，（2 分）
由正弦定理，
可得，
，，，．（6分）
（2）由（1）可得
，（9分）
，，（11分）
所以．（12分）
20．解：（1）证明:在平面内过作于，（2分）
因为平面平面，又平面平面，
所以平面，
，所以，（4 分）
过分别作于，
易得，即，（5分）
，且平面，所以平面，，
所以，因为，，
平面．（7 分）
（2）二面角的平面角与二面角的平面角互补，
由（1）可得，为二面角的平面角，（9分）
在△中，为与平面所成的角，由其正弦值为，
可得，因为，所以，所以，（11分）
所以二面角的余弦值为．（12分）
21．解:(1)证明：，所以平面，（2 分）
因为平面与平面的交线为，且，所以，（4 分）
因为平面，所以平面．（6 分）
（2）设与交于，易得为的中点，
连，，，，
设四棱锥的体积为，
所以，（8 分）
又，，（10 分）
所以平面截四棱锥所得的下面部分几何体的体积为
，所以上面部分的体积为，
所以平面截四棱锥所得的上、下两部分几何体的体积之比为．（12分）
22．（1）， ，（2 分）
（2）（法一）设，由余弦定理可得，，，
由正弦定理可得，，
所以，
，
点的坐标为．（10分）
（法二）假设此直角坐标系为复平面直角坐标系，
所以对应的复数为，
所以，
所以的坐标为．
（3），
所以，当时，△的面积取最大值，且为．（12分）
第4页 （共4页）
2020-2021学年度下学期期中考试
高一年级 数学试卷
卷面总分：150分 考试时长：120分钟
一、选择题：本题共8小题，每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的。
1．已知向量，，且，则
A． B． C． D．
2．设复数满足，则在复平面内对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．已知，则
A． B． C． D．
4．如图，在△中，，点是的中点，设，，则
A． B．
C． D．
5．已知为正方体，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为
A． B． C． D．
6．已知，，则△的面积的最大值为
A． B． C． D．
7．已知点，，，，与同向的单位向量为，则向量在向量方向上的投影向量为
A． B． C． D．
8．已知点在正方体的侧面内（含边界），是的中点，若，则的最小值为
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9．以下是真命题的是
A．已知，为非零向量，若 ，则与的夹角为锐角
B．已知，，为两两非共线向量，若，则
C．在三角形中，若，则三角形是等腰三角形
D．若三棱锥的三条侧棱与底面所成的角相等，则顶点在底面的垂足是底面三角形的外心
10．已知点为正方体内（含表面）的一点，过点的平面为，以下描述正确的有
A．与和都平行的有且只有一个
B．过点至少可以作两条直线与和所在的直线都相交
C．与正方体的所有棱所成的角都相等的有且只有四个
D．过点可以作四条直线与正方体的所有棱所成的角都相等
11．已知圆锥的母线长为，底面半径为，平面为轴截面，点为底面圆周上一动点（可与点，重合），则
A．三棱锥体积的最大值为
B．直线与所成角的范围为
C．三角形面积的最大值为
D．三角形为直角三角形时所在平面与底面所成角的正弦值为
12． 若，是两个非零向量，且，，则以下可能是与 的夹角的是
A． B． C． D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在△中，角，，所对的边分别为，，，已知，
则 ．
14．已知，是单位向量，且，则 ．
15．已知三角形的斜二侧画法的直观图是边长为的
正三角形（如右图所示），则 ．
16．在三棱锥中，已知平面平面，，，，，则三棱锥的外接球的表面积为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）
已知，，．
（1）若，，三点共线，求与满足的关系式；
（2）若，求点的坐标．
18．（12分）
如图，已知点，，，在同一平面内， 且，，，，．
（1）求的长；
（2）求△的面积．
19．（12分）
在锐角△中，角，，所对的边分别为，，，已知．
（1）求的取值范围；
（2）若，求的取值范围．
（可能会用到的公式：， ）
20．（12分）
如图，在四棱锥中，，，，，为锐角，平面平面．
（1）证明：平面；
（2）若与平面所成角的正弦值为，
求二面角的余弦值．
21．（12分）
如图，四棱锥的底面为平行四边形，是的中点，过，，的平面与平面的交线为．
（1）证明：平面；
（2）求平面截四棱锥所得的上、下两部分几何体的体积之比．
22．（12分）
如图直角坐标系内，在半径为的上半圆上，， △是以为直角的等腰直角三角形，设，且.
（1）求（用表示）；
（2）求点的坐标（用表示）；
（3）求△的面积的最大值．
参考答案
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8
C A B B D C B A
9．BD 10．CD 11．ABD 12．ABC
13． 14． 15． 16．
17．解：（1），，（2分）
因为，，三点共线，所以向量与也共线，所以，
所以与满足的关系式为． （4分）
（2）由，可得，或，（6分）
当时，有，；
当时，有，；
所以点的坐标为或．（10分）
18．解：(1)连，在△中，由余弦定理可得，
，
所以，所以，所以（6分）
（2），
，
，
所以△的面积为．（12分）
19．解：（1）由题意及余弦定理 可得
，（2 分）
由正弦定理，
可得，
，，，．（6分）
（2）由（1）可得
，（9分）
，，（11分）
所以．（12分）
20．解：（1）证明:在平面内过作于，（2分）
因为平面平面，又平面平面，
所以平面，
，所以，（4 分）
过分别作于，
易得，即，（5分）
，且平面，所以平面，，
所以，因为，，
平面．（7 分）
（2）二面角的平面角与二面角的平面角互补，
由（1）可得，为二面角的平面角，（9分）
在△中，为与平面所成的角，由其正弦值为，
可得，因为，所以，所以，（11分）
所以二面角的余弦值为．（12分）
21．解:(1)证明：，所以平面，（2 分）
因为平面与平面的交线为，且，所以，（4 分）
因为平面，所以平面．（6 分）
（2）设与交于，易得为的中点，
连，，，，
设四棱锥的体积为，
所以，（8 分）
又，，（10 分）
所以平面截四棱锥所得的下面部分几何体的体积为
，所以上面部分的体积为，
所以平面截四棱锥所得的上、下两部分几何体的体积之比为．（12分）
22．（1）， ，（2 分）
（2）（法一）设，由余弦定理可得，，，
由正弦定理可得，，
所以，
，
点的坐标为．（10分）
（法二）假设此直角坐标系为复平面直角坐标系，
所以对应的复数为，
所以，
所以的坐标为．
（3），
所以，当时，△的面积取最大值，且为．（12分）
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