2020-2021学年九年级数学人教版下册 28.2.1 解直角三角形 训练（word版含答案）

28.2.1　解直角三角形
【笔记】
1．在直角三角形中，由_____________求___________的过程叫做解直角三角形．
2．直角三角形中的边角关系：
在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，则：
(1)边之间的关系：_________________；
(2)角之间的关系：____________；
(3)边角之间的关系：sinA＝_______、sinB＝_______、cosA＝______、cosB＝___、tanA＝________、tanB＝_________．
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知∠A与斜边c，用关系式___________，求出∠B，用关系式______________求出a，b.
【训练】
1．如果α是锐角，且cosα＝，那么sinα的值是( )
A. B. C. D.
2．在△ABC中，已知∠C＝90°，BC＝3，tanB＝2，那么AC为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
3．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AB＝13，则sinA的值是( )
A. B. C. D.
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanA＝( )
A. B. C. D.
5．在△ABC中，AB＝AC＝5，sinB＝，⊙O过点B、C两点，且⊙O半径r＝，则OA的值为( )
A．3或5 B．5 C．4或5 D．4
6．Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，AB＝10，那么BC＝______，tanB＝______.
7．平行四边形的两相邻边的边长分别为20和30，且其夹角为120°，则该平行四边形的面积为___________.
8．在△ABC，∠C＝90°，S＝50，c＝20，则∠B＝___________．
9．离旗杆20米处的地方用测角仪测得旗杆顶的仰角为α，如果测角仪高为1.5米．那么旗杆的高为___________米(用含α的三角函数表示)．
10．用直尺和圆规作△ABC，使BC＝a，AC＝b，∠B＝35°，若这样的三角形只能作一个，则a，b间满足的关系式是______________.
11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c，根据下列条件解直角三角形：
(1)c＝20，∠A＝45°；
(2)a＝8，∠A＝60°；
(3)a＝10，c＝10；
(4)a＝15，b＝15.
12．某片绿地的形状如图所示，其中∠A＝60°，AB⊥BC，AD⊥CD，AB＝200m，CD＝100m，求AD，BC的长．(精确到1m，≈1.732)
13．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若tanA＝，c＝2，则b的值等于( )
A. B. C. D.
14．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，∠C＝45°，sinB＝，AD＝1.则tan∠DAE＝____．
第14题图
15．如图，从A地到B地的公路需经过C地，图中AC＝10千米，∠CAB＝25°，∠CBA＝37°.因城市规划的需要，将在A，B两地之间修建一条笔直的公路．
第15题图
(1)求改直后的公路AB的长；
(2)问公路改直后比原来缩短了多少千米？(sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，sin37°≈0.60，tan37°≈0.75)
16．如图，两个全等的△ABC和△DEF重叠在一起，固定△ABC，将△DEF进行如下变换：
(1)如图1，△DEF沿直线CB向右平移(即点F在线段CB上移动)，连接AF、AD、BD，请直接写出S△ABC与S四边形AFBD的关系；
(2)如图2，当点F平移到线段BC的中点时，若四边形AFBD为正方形，那么△ABC应满足什么条件？请给出证明；
(3)在(2)的条件下，将△DEF沿DF折叠，点E落在FA的延长线上的点G处，连接CG，请你画出图形，并求出sin∠CGF的值．
答案
【笔记】
1．已知的边和角　未知的边和角　2.(1)a2＋b2＝c2
(2)∠A＋∠B＝90°　(3)　　　　　
3．∠A＋∠B＝90°　边角之间的关系
【训练】
1—5.CDACA　
6.8　　7.300　8.30°或60°
9．(1.5＋20tanα)　
10.sin35°＝或b≥a　
11.(1)∠B＝45°，a＝b＝10.　(2)∠B＝30°，c＝，b＝.　(3)b＝10，∠A＝∠B＝45°.　(4)c＝30，∠A＝30°，∠B＝60°.　
第12题图
12．延长AD，交BC的延长线于点E，在Rt△ABE中，∠A＝60°，AB＝200m，∴BE＝AB·tanA＝200(m)．AE＝＝＝400(m)．在Rt△CDE中，∠CED＝30°，CD＝100m，∴DE＝CD·cot∠CED＝100(m)，CE＝＝200m.∴AD＝AE－DE＝400－100≈227(m)，BC＝BE－CE＝200－200≈146(m)．　
13. D　
14. －　
15. (1)如图，作CH⊥AB于点H，
第15题图
在Rt△ACH中，CH＝AC·sin∠CAB＝AC·sin25°≈10×0.42＝4.2(千米)，AH＝AC·cos∠CAB＝AC·cos25°≈10×0.91＝9.1(千米)，在Rt△BCH中，BH＝CH÷tan37°≈4.2÷0.75＝5.6(千米)，∴AB＝AH＋BH＝9.1＋5.6＝14.7(千米)．　
(2)BC＝CH÷sin37°≈4.2÷0.60＝7.0(千米)，∴AC＋BC－AB＝10＋7－14.7＝2.3(千米)．答：改直后的路程缩短了2.3千米．　
16. (1)由平移可知AD＝BE，从而可得S△DBE＝S△DFA，S△ABC＝S△DFE，S△DFE＝S△DFB＋S△DBE，S△ABC＝S四边形AFBD；　
(2)若四边形AFBD是正方形，则∠AFB＝90°，AF＝BF，又CF＝BF，从而可知AF＝CF＝BF，从而可得∠BAC＝90°，AB＝AC，即△ABC为等腰直角三角形；　
(3)图略，由(2)知，△ABC为等腰直角三角形，从而可知GF＝2CF，设CF＝k，则GF＝EF＝CB＝2k，由勾股定理，得：CG＝k，从而可求得sin∠CGF＝.