江苏省南京市鼓楼区2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题 Word版含答案解析

南京市鼓楼区2020~2021学年度第二学期高一(下)期中试卷
数学
注意事项：
1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷.
2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分.
3.答题前，务必将自已的姓名?准证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上.
第Ⅰ卷(选择题共60分)
一?单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.计算：false（ ）
A.false B.false C.false D.false
2.计算：复数false（ ）
A.false B.false C.false D.false
3.在△ABC中，角A?B，C的对边分别为a，b，c，若a：b：c=3：5：7，则其最大角的大小为（ ）
A.60° B.75° C.120° D.150°
4.托勒密(C.Ptolemy，约90-168)，古希腊人，是天文学家?地理学家?地图学家?数学家，所著《天文集》第一卷中载有弦表.在弦表基础上，后人制作了正弦和余弦表(部分如下图所示)，该表便于查出0°~90°间许多角的正弦值和余弦值，避免了冗长的计算.例如，依据该表，角2°12′的正弦值为0.0384，角30°0′的正弦值为0.5000，则角34°36′的正弦值为（ ）
A.0.0017 B.0.0454 C.0.5678 D.0.5736
5.在下列向量组中，可以把向量false表示出来的是（ ）
A.false
B.false
C.false
D.false
6.false是边长为2的等边三角形，已知向量false满足false，则false（ ）
A.1 B.false C.false D.false
7.化简false可得（ ）
A.false B.false
C.false D.false
8.已知false的内角false所对的边为false，其面积为false，若false且false的外接圆半径为false，则false周长的取值范围为（ ）
A.false B.false C.false D.false
二?多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有选错的的得0分)
9.在下列选项中，正确的是（ ）
A.false
B.false
C.存在角α，β，使得sin(α+β)D.对于任意角α，β，式子cos(α+β)10已知false是三个向量，在下列命题中，假命题是（ ）
A.false
B.false
C.false
D.若false则false
11.在false中，角false的对边分别为false，已知false，在下列选项中，正确的是（ ）
A.false B.false
C.false的取值范围为false D.当false时，则false，
12.在下列选项中正确的是（ ）
A.若z∈C，|z|2=z2，则z∈R
B.若z1，z2∈C，|z1+z2|=|z1-z2|，则z1z2=0
C.若复数false，则false
D.若复数z=(cos25°+isin25°)(cos65°+isin65°)，则z=i
第Ⅱ卷(非选择题共90分)
三?填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13.已知α为锐角，且false，则false______.
14.已知复数z满足|z-1-2i|=2，则|z|的最大值为______.
15.作用于同一点的三个力F1，F2，F3平衡.已知F1=4N，F2=5N，F1与F2之间的夹角是60°，则力F3的大小为______N.
16.如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，点F在边BC上，false，∠BFE=120°，EF=2.若△CEF的面积为false，则AB=________，sin∠BEC=________.
四?解答题(本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明?证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)
（1）求false的值；
（2）求false的值.
18.(本小题满分12分)
已知z是复数，false+3i为实数(i为虚数单位)，且false.
（1）求z；
（2）若z和(z+mi)2在复平面内对应的点都在第一象限，求实数m的取值范围.
19.(本小题满分12分)
在①a=7；②csinA=4；③false这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，则求出该三角形面积；若问题中的三角形不存在，则请说明理由.
问题：是否存在锐角三角形ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=8，false，__________？
20.(本小题满分12分)
设函数false.
（1）求f(x)的最小正周期；
（2）设方程false在区间false内的两解分别为x1，x2，求cos(x1-x2)的值.
21.(本小题满分12分)
关于公式sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ的证明，前人做过许多探索.对于α，β均为锐角的情形，推导该公式常可以通过构造图形来完成.
（1）填空，完成推导过程(约定：只考虑α，β，α+β均为锐角的情形)
证明：构造一个矩形如图形1，在这个矩形GHMN中，点P在边MN上，点Q在边GN上，QT⊥HM，垂足为T，∠HPQ=90°，设HQ=1，∠QHP=α，∠PHM=β.
在直角三角形QHP中，QP=sinα，PH=cosα，
在直角三角形PHM中，PM=___________，
在直角三角形QPN中，∠QPN=β，PN=sinαcosβ，
在直角三角形HQT中，QT=___________，
因为QT=PM+PN，所以sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ.
（2）请你运用提供的图形和信息(见图形2)完成公式(约定：只考虑α，β均为锐角的情形)的推导.
22.(本小题满分12分)
已知向量false为坐标原点.
（1）当false时，求false与false的夹角的余弦值；
（2）若false三点共线，求false的最小值.
南京市鼓楼区2020~2021学年度第二学期高一(下)期中试卷
数学
注意事项：
1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷.
2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分.
3.答题前，务必将自已的姓名?准证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上.
第Ⅰ卷(选择题共60分)
一?单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.计算：false（ ）
A.false B.false C.false D.false
【答案】D
【考点】两角和与差的正弦公式
【解析】由题意可知，false，故答案选D
2.计算：复数false（ ）
A.false B.false C.false D.false
【答案】B
【考点】复数的运算
【解析】由题意可知，false，故答案选false.
3.在△ABC中，角A?B，C的对边分别为a，b，c，若a：b：c=3：5：7，则其最大角的大小为（ ）
A.60° B.75° C.120° D.150°
【答案】C
【考点】余弦定理的应用
【解析】由题意可知，false为最大边，且设false，则在false中，由余弦定理可得，false
false，又false，所以false，即最大角的大小为false，故答案选false
4.托勒密(C.Ptolemy，约90-168)，古希腊人，是天文学家?地理学家?地图学家?数学家，所著《天文集》第一卷中载有弦表.在弦表基础上，后人制作了正弦和余弦表(部分如下图所示)，该表便于查出0°~90°间许多角的正弦值和余弦值，避免了冗长的计算.例如，依据该表，角2°12′的正弦值为0.0384，角30°0′的正弦值为0.5000，则角34°36′的正弦值为（ ）
A.0.0017 B.0.0454 C.0.5678 D.0.5736
【答案】C
【考点】新情景问题下的文化题：三角函数值求解
【解析】由题意可知，查表可得false的正弦值为0.5678，故答案选C.
5.在下列向量组中，可以把向量false表示出来的是（ ）
A.false
B.false
C.false
D.false
【答案】A
【考点】平面向量的基本定理应用：基底的选取与向量的表示
【解析】由题意可知，平面向量的基底不共线，选项B中，afalseb，所以排除；选项C中，b=2a，即afalseb，所以排除；选项D中，a=-b，即afalseb，所以排除；选项A中，a与b不共线，则向量m=(-1，3)可以用a与b表示出来，所以选项A正确，故答案选A.
6.false是边长为2的等边三角形，已知向量false满足false，则false（ ）
A.1 B.false C.false D.false
【答案】B
【考点】平面向量的数量积运算
【解析】在false中，由false，可得false，则false，且false
false，所以false，解得false，故答案选false
7.化简false可得（ ）
A.false B.false
C.false D.false
【答案】B
【考点】三角恒等变换：二倍角公式?诱导公式的应用
【解析】由题意可知，falsefalse，故答案选false
8.已知false的内角false所对的边为false，其面积为false，若false且false的外接圆半径为false，则false周长的取值范围为（ ）
A.false B.false C.false D.false
【答案】A
【考点】正余弦定理的综合应用：求周长的范围问题
【解析】由题意可知，在false中，因为false，因为false，所以false，所以false，则由余弦定理可得，false，又false，所以falsefalse，则false，在false中，由正弦定理可得，false，则falsefalse，所以false周长false
false，因为false，所以falsefalse，所以false，则false周长false，故答案选false
二?多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有选错的的得0分)
9.在下列选项中，正确的是（ ）
A.false
B.false
C.存在角α，β，使得sin(α+β)D.对于任意角α，β，式子cos(α+β)【答案】BC
【考点】两角和与差的公式应用
【解析】由题意可知，对于选项A，false，所以选项false错误；对于选项false，所以选项false正确；对于选项C，当，false时false，所以false，所以false成立
，所以选项false正确；对于选项false，当false时falsefalse，所以选项false错误；综上，答案选false
10已知false是三个向量，在下列命题中，假命题是（ ）
A.false
B.false
C.false
D.若false则false
【答案】CD
【考点】平面向量的运算律应用
【解析】由题意可知，对于选项A，满足数量积的交换律，所以选项A正确；对于选项B，满足数量积的
分配律，所以选项B正确；对于选项C，a·b与b·c的结果均为数，则(a·b)·c与a·(b·c)的方向不一定相同，大小不一定相等，所以选项C错误；对于选项D，若a=0，则b与c不一定相等，所以选项D错误；综上，答案选CD.
11.在false中，角false的对边分别为false，已知false，在下列选项中，正确的是（ ）
A.false B.false
C.false的取值范围为false D.当false时，则false，
【答案】BCD
【考点】解三角形的综合应用
【解析】由题意可知，对于选项false，因为false，且false，所以联立解得false，则false，又因为false，
所以false解得false
所以选项false正确，选项false错误；对于选项false，由false，且false在false上单调递增，可得false，所以选项false正确；对于选项false，当false时，由正弦定理可得，false，又false，所以falsefalse，则解得false，所以选项false正确；综上，答案选false.
12.在下列选项中正确的是（ ）
A.若z∈C，|z|2=z2，则z∈R
B.若z1，z2∈C，|z1+z2|=|z1-z2|，则z1z2=0
C.若复数false，则false
D.若复数z=(cos25°+isin25°)(cos65°+isin65°)，则z=i
【答案】ACD
【考点】复数的综合应用
【解析】由题意可知，对于选项false，可设false，则false，若，false，则false，所以false，所以选项false正确；对于选项false，设false，则falsefalse，若false，则false，而falsefalse，不一定得到false，所以选项false错误；对于选项false，若false，所以false，所以false，所以选项false正确；对于选项D，若falsefalse，所以选项false正确；综上，答案选false
第Ⅱ卷(非选择题共90分)
三?填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13.已知α为锐角，且false，则false______.
【答案】false
【考点】同角三角函数关系?两角和与差的正切公式
【解析】由题意可知，false为锐角，且false，所以false，则false，所以falsefalse
14.已知复数z满足|z-1-2i|=2，则|z|的最大值为______.
【答案】false
【考点】复数的运算以及综合应用
【解析】由题意可设，false，由false，可得false，则false，即false，可令false，所以falsefalse为任意角，且false，当false时取到最大值，所以false的最大值为falsefalse
15.作用于同一点的三个力F1，F2，F3平衡.已知F1=4N，F2=5N，F1与F2之间的夹角是60°，则力F3的大小为______N.
【答案】false
【考点】正余弦定理在物理上的应用
【解析】由题意可知，三个力false平衡，则false与false的合力false与false等大反向，所以在false中，由余弦定理可得，false，即false
16.如图，在矩形ACD中，点E在边AD上，点F在边BC上，false，∠BFE=120°，EF=2.
若△CEF的面积为false，则AB=________，sin∠BEC=________.
【答案】false
【考点】双空题：正余弦定理在平面几何中的应用
【解析】由题意，因为false，所以false，则在false中，可得falsefalse，由false，可解得false，在false中，可得false，所以falsefalse又false，所以false，在false中，由余弦定理可得，false，解得falsefalse，在false中，由余弦定理可得，false
false，解得false，则在false中，falsefalse，则false
四?解答题(本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明?证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)
（1）求false的值；
（2）求false的值.
【考点】平面向量的数量积的坐标运算?模的求解
【解析】
（1）由题意，因为false，所以false
所以false；
（2）由（1）知false，所以|2m+false，
所以|2m+false.
18.(本小题满分12分)
已知z是复数，false+3i为实数(i为虚数单位)，且false.
（1）求z；
（2）若z和(z+mi)2在复平面内对应的点都在第一象限，求实数m的取值范围.
【考点】复数的运算?几何意义
【解析】（1）由题意可设false，则false，
又因为false为实数，所以false，
因为false，所以false，解得false，
所以false
（2）若false和false在复平面内对应的点都在第一象限，
则false，
所以有false，且false，解得一false，则实数false的取值范围为false
19.(本小题满分12分)
在①a=7；②csinA=4；③false这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，则求出该三角形面积；若问题中的三角形不存在，则请说明理由.
问题：是否存在锐角三角形ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=8，false，__________？
【考点】结构不良题：解三角形与三角恒等变换综合应用
【解析】在false中，因为false，且false，
所以false，即false，
又因为false，所以false，所以false，
在false中，由false，可得false，
选①：由余弦定理可得false，即false，解得false或false，
所以false或103；
选②：false，故该三角形不存在；
选③：由false可得，false，
则由正弦定理可得，false，即false，
且false
所以false
20.(本小题满分12分)
设函数false.
（1）求f(x)的最小正周期；
（2）设方程false在区间false内的两解分别为x1，x2，求cos(x1-x2)的值.
【考点】三角函数的图像与性质?三角恒等变换给值求值问题
【解析】（1）由题意，false，
则false的最小正周期为false
（2）由（1）知false所以方程false可化为：false，
由false为方程false的两个根可得，false且false，
则在区间false内false，解得false，即false，
所以false
21.(本小题满分12分)
关于公式sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ的证明，前人做过许多探索.对于α，β均为锐角的情形，推导该公式常可以通过构造图形来完成.
（1）填空，完成推导过程(约定：只考虑α，β，α+β均为锐角的情形)
证明：构造一个矩形如图形1，在这个矩形GHMN中，点P在边MN上，点Q在边GN上，QT⊥HM，垂足为T，∠HPQ=90°，设HQ=1，∠QHP=α，∠PHM=β.
在直角三角形QHP中，QP=sinα，PH=cosα，
在直角三角形PHM中，PM=①，
在直角三角形QPN中，∠QPN=β，PN=sinαcosβ，
在直角三角形HQT中，QT=②，
因为QT=PM+PN，所以sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ.
（2）请你运用提供的图形和信息(见图形2)完成公式(约定：只考虑α，β均为锐角的情形)的推导.
【考点】开放性试题：两角和的正弦公式证明
【解析】（1）由题意可知，在直角三角形false中，false在直角三角形false中，falsefalse
（2）由题意可知，在false中，false，且false，
所以false，
在false中，false，所以false，
在false中，false，所以false，
又false，
所以false，
化简可得，false得证.
22.(本小题满分12分)
已知向量false为坐标原点.
（1）当false时，求false与false的夹角的余弦值；
（2）若false三点共线，求false的最小值.
【考点】平面向量数量积的坐标运算、平面向量共线的充要条件、基本不等式综合应用
【解析】（1）当false时false，
所以false
则false，
所以false；
（2）若false三点共线，则false，
又因为false，
则false，解得false，则false，
因为false，所以false，
所以false，
当且仅当false，即false时取等号，
所以false的最小值为false.