人教高中数学必修五2.5等比数列的前n项和公式 教案（答案不全）

等比数列的前n项和公式
【学习目标】
1．掌握等比数列的前n项和公式及推导公式的思想方法和过程，能够熟练应用等比数列的前n项和公式解决相关问题，提高应用求解能力.
2．通过对等比数列的前n项和公式的推导与应用，使学生掌握错位相减法、方程思想、划归思想等数学思想和方法.
3．激情参与，惜时高效，感受数学思维的严谨性.
【重点】：等比数列的前n项和公式的推导和应用.
【难点】：应用等比数列的前n项和公式解决具体问题.
【学法指导】
1.
阅读探究课本上的基础知识，初步掌握正弦定理及其简单应用;
2.
完成教材助读设置的问题，然后结合课本的基础知识和例题，完成预习自测；3.
将预习中不能解决的问题标出来，并写到后面“我的疑惑”处.
一、知识温故
1.如何求等比数列的通项公式？
2.
等比数列具有哪些性质？
Ⅱ.教材助读
1.
在等比数列中，的和与首尾两项和有什么关系？
2.
如何推导等比数列的前n项和公式？
3.
等比数列的前n项和公式:,代入等比数列的通项公式，等比数列的前n项和公式还可以写成
【预习自测】
1．设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则等于(　　)
A．11
B．5
C．－8
D．－11
2．记等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝2，S6＝18，则等于(　　)
A．－3
B．5
C．－31
D．33
1、答案　D
解析　由8a2＋a5＝0得8a1q＋a1q4＝0，
∴q＝－2，则＝＝－11.
【我的疑惑】
知识要点归纳：
1．等比数列前n项和公式：
(1)公式：Sn＝
=
(q≠1).
(q＝1).
(2)注意：应用该公式时，一定不要忽略q＝1的情况．
2．若{an}是等比数列，且公比q≠1，则前n项和Sn＝(1－qn)＝A(qn－1)．其中A＝
.
3．推导等比数列前n项和的方法叫
法．一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n项和．
4．等比数列{an}的前n项和为Sn，当公比q≠1时，Sn＝
＝
；当q＝1时，Sn＝
.
5．等比数列前n项和的性质：
(1)连续m项的和(如Sm、S2m－Sm、S3m－S2m)，仍构成
数列．(注意：q≠－1或m为奇数)
(2)Sm＋n＝Sm＋qmSn(q为数列{an}的公比)．
二、典型范例
Ⅰ.质疑探究——质疑解惑、合作探究
探究点
等比数列的前n项和公式
问题1：怎么求等比数列的前n项和？写出公式的推导过程。
设等比数列a1，a2，a3，…，an，…，它的前n项和Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，由等比数列的通项公式可将Sn写成：
Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1.
①
则qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1＋a1qn
②
由①－②得：(1－q)Sn＝
.
当q≠1时，Sn＝
.
因为an＝a1qn－1，所以Sn可以用a1，q，an表示为Sn＝
.
当q＝1时，由于a1＝a2＝…＝an，所以Sn＝
.
问题2　下面提供了一种利用比例的性质推导等比数列前n项和公式的方法，请你补充完整：
由等比数列的定义知：
＝＝＝…＝＝q.
当q≠1时，由等比性质得：
＝q，
即＝q.
故Sn＝
＝.
当q＝1时，易知Sn＝
.
归纳总结
（1）
求等比数列的前n项和：已知首项和第n项时，用公式
（公式一）；已知首项和公差q时，用公式
（公式2）
（2）等比数列的五个量中，已知
三个
，可以求出
另外两个
。
（3）由可知：是
(4)
是数列求和的一种重要方法。
问题探究一　错位相减法求和
问题　教材中推导等比数列前n项和的方法叫错位相减法．这种求和方法是我们应该掌握的重要方法之一，这种方法的适用范围可以拓展到一个等差数列{an}与一个等比数列{bn}对应项之积构成的新数列求和．下面是利用错位相减法求数列{}前n项和的步骤和过程，请你补充完整．
设Sn＝＋＋＋…＋，
∴Sn＝
，
∴Sn－Sn＝
，
即Sn＝
＝
∴Sn＝
＝2－.
例1　在等比数列{an}中，S3＝，S6＝，求an.
解　由已知S6≠2S3，则q≠1，又S3＝，S6＝，
即
②÷①得1＋q3＝9，∴q＝2.
可求得a1＝，因此an＝a1qn－1＝2n－2.
问题探究二　等比数列前n项和Sn与函数的关系
问题　当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1，是n的正比例函数(常数项为0的一次函数)．当q＝1时，数列S1，S2，S3，…，Sn，…的图象是正比例函数y＝a1x图象上一些孤立的点．
当公比q≠1时，等比数列的前n项和公式是Sn＝，它可以变形为Sn＝－·qn＋，设A＝，上式可写成Sn＝－Aqn＋A.由此可见，q≠1的等比数列的前n项和Sn是由关于n的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数．
当q≠1时，数列S1，S2，S3，…，Sn，…的图象是函数y＝－Aqx＋A图象上的一些孤立的点．
例如，若{an}是等比数列，且前n项和为Sn＝3n－1＋t，则t＝________.
问题探究三　等比数列前n项和的性质
问题1　等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为q，求证：Sm＋n＝Sm＋qmSn.
证明　左边＝Sm＋n＝(a1＋a2＋…＋am)＋(am＋1＋am＋2＋…＋am＋n)＝Sm＋(a1qm＋a2qm＋…＋anqm)
＝Sm＋(a1＋a2＋…＋an)qm
＝Sm＋qmSn＝右边，
∴Sm＋n＝Sm＋qmSn.
三、过关测试
一、选择题
1．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝－1，a4＝64，则S4等于
(　　)
A．48
B．49
C．50
D．51
2．在等比数列{an}中，公比q是整数，a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，则此数列的前8项和为(　　)
A．513
B．512
C．511
D．510
3．设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则等于
(　　)
A．11
B．5
C．－8
D．－11
4．设等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn，则等于
(　　)
A．2
B．4
C.
D.
5．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1等于
(　　)
A．16(1－4－n)
B．16(1－2－n)
C.(1－4－n)
D.(1－2－n)
6．设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和，已知a2a4＝1，S3＝7，则S5等于(　　)
A.
B.
C.
D.
二、填空题
7．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1,2S2,3S3成等差数列，则{an}的公比为________．
8．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，S6＝4S3，则a4＝________.
9．若等比数列{an}中，a1＝1，an＝－512，前n项和为Sn＝－341，则n的值是________．
三、解答题
10．设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a2＝6,6a1＋a3＝30，求an和Sn.
11．在等比数列{an}中，已知Sn＝48，S2n＝60，求S3n.
12.已知等比数列{an}中，a1＝2，a3＋2是a2和a4的等差中项．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记bn＝anlog2an，求数列{bn}的前n项和Sn.
四、探究与拓展
13．已知等差数列{an}满足a2＝0，a6＋a8＝－10.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
四、课后练习
一、选择题
1．在各项都为正数的等比数列{an}中，首项a1＝3，前3项和为21，则a3＋a4＋a5等于(　　)
A．33
B．72
C．84
D．189
2．某厂去年产值为a，计划在5年内每年比上一年产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总产值为
(　　)
A．1.14a
B．1.15a
C．10a(1.15－1)
D．11a(1.15－1)
3．已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列{}的前5项和为
(　　)
A.和5
B.和5
C.
D.
4．一弹性球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第10次着地时所经过的路程和是(结果保留到个位)
(　　)
A．300米
B．299米
C．199米
D．166米
5．数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1)，则a6等于
(　　)
A．3×44
B．3×44＋1
C．45
D．45＋1
6．某企业在今年年初贷款a万元，年利率为γ，从今年年末开始每年偿还一定金额，预计五年内还清，则每年应偿还
(　　)
A.万元
B.万元
C.万元
D.万元
二、填空题
7．等比数列{an}共2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________.
8．等比数列{an}中，前n项和为Sn，S3＝2，S6＝6，则a10＋a11＋a12＝________.
9．某工厂月生产总值的平均增长率为q，则该工厂的年平均增长率为________．
三、解答题
10．在等比数列{an}中，已知S30＝13S10，S10＋S30＝140，求S20的值．
11．利用等比数列前n项和公式证明
an＋an－1b＋an－2b2＋…＋bn＝，其中n∈N
a，b是不为0的常数，且a≠b.
12.已知{an}是以a为首项，q为公比的等比数列，Sn为它的前n项和．
(1)当S1，S3，S4成等差数列时，求q的值；
(2)当Sm，Sn，Sl成等差数列时，求证：对任意自然数k，am＋k，an＋k，al＋k也成等差数列．
四、探究与拓展
13．某家用电器一件现价2
000元，实行分期付款，每期付款数相同，每期为一月，购买后一个月开始付款，每月付款一次，共付12次，购买后一年还清，月利率为0.8%，按复利计算，那么每期应付款多少？(1.00812≈1.1)
答案
过关测试
1．D　2.D　3.D　4.C　5.C　6.B　
7.　8.3　9.10
10．解　设{an}的公比为q，由题设得
解得或
当a1＝3，q＝2时，an＝3×2n－1，
Sn＝＝＝3(2n－1)；
当a1＝2，q＝3时，an＝2×3n－1，
Sn＝＝＝3n－1.
11．63
12．(1)an＝2n
(2)Sn＝2＋(n－1)·2n＋1
13．(1)an＝2－n　(2)
课后练习
3
1