2020-2021学年八年级数学人教版下册第18章平行四边形章末练习（word版含答案）

第18章《平行四边形》章末练习
一、单选题
1．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，连接EF，若AB＝6cm，BC＝8cm．则EF的长是（
）
A．2.2cm
B．2.3cm
C．2.4cm
D．2.5cm
2．如图，RtABC≌RtDCB，其中∠ABC=90°，AB=3，BC=4，O为BC中点，EF过点交AC、BD于点E、F，连接BE、CF，则下列结论错误（
）
A．四边形BECF为平行四边形
B．当BF=3.5时，
四边形BECF为矩形
C．当BF=2.5时，四边形BECF为菱形
D．四边形BECF不可能为正方形
3．如图，在菱形中，标出了四条线段的长度，其中有一个长度是标错的，这个长度是（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
4．如图，在平行四边形中，，平分交于点，若，则的度数是（
）
A．10°
B．15°
C．20°
D．25°
5．如图，在中，于点D，正方形CDEF的顶点E在线段AD上，G是边EF上一点，连结AG，记面积为，面积为，若，则DE的长为（
）
A．
B．
C．4
D．8
6．如图，中，，以为边作如图所示的等边，等边，等边，连结，则四边形的面积为（
）
A．
B．
C．
D．1
7．如图，已知在菱形中，，以点为圆心，取大于的长为半径，分别作弧相交于两点，作直线交边于点（作图痕迹如图所示），连结，若，则下列结论错误的是（
）
A．
B．
C．菱形的面积为
D．
8．如图，正方形的边长为，的平分线交于点E，若点P，Q分别是和上的动点．则的最小值是（
）
A．
B．4
C．
D．
9．如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、CD上的点，且AE＝CF，EF与AC相交于点O，连接BO．若∠DAC＝36°，则∠OBC的度数为（
）
A．36°
B．54°
C．64°
D．72°
10．如图，矩形中，过对角线上一点作//，分别交于点，交于点，连接，已知．与的面积和等于（
）
A．15
B．12
C．10
D．7
11．如图，菱形的边长为10，对角线＝16，点分别是边的中点，连接并延长与的延长线相交于点，则长为（
）
A．13
B．10
C．12
D．5
12．如图，在等边△ABC中，BC＝8cm，射线AGBC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，点F从点B出发沿射线BC以3cm/s的速度运动．设运动时间为t（s），当t＝（　　）s时，以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形．
A．1或2
B．2
C．2或3
D．2或4
13．如图所示，正方形ABCD的面积为16，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（　　）
A．2
B．2
C．3
D．4
14．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则PM的最小值为（　　）
A．5
B．2.5
C．4.8
D．2.4
15．如图，平行四边形ABCD中，BC＝2AB，CE⊥AB于E，F为AD的中点，若∠AEF＝56°，则∠B＝（
）
A．56°
B．60°
C．64°
D．68°
16．如图，把一张矩形纸片沿对角线折叠，点B的对应点为，与相交于点E，则下列结论不一定正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
17．如图，在平行四边形中，M、N是上两点，，连接、、、，添加一个条件，使四边形是矩形，这个条件是（
）
A．
B．
C．
D．
18．如图，正方形中，点E为对角线上一点，交边于F，连接交线段于点H，延长交边于点Q，连接．下列结论：①；②若，，则；③；④若，，则；其中正确的有（
）个．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
二、填空题
19．如图，矩形的对角线，交于点，若、分别为，的中点，若，则的长为________．
20．如图，把一张长方形的纸片对折两次，量出，，然后沿剪下一个，展开后得到一个四边形，则这个四边形的周长为___．
21．如图，四边形ABCD是正方形，△CBE是等边三角形，则∠AEB＝__．
22．如图a是长方形纸带，∠DEF=22°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是________°．
23．如图，在中，按以下步骤作图：①以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点F；②分别以点F，B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内交于点G；③作射线，交边于点E，交于点O，连接．若，，则四边形的面积为_________．
三、解答题
24．如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）当四边形BEDF是菱形时，求DF的长．
25．如图，等边△AEF的顶点E，F在矩形ABCD的边BC，CD上，且∠CEF＝45°．求证：矩形ABCD是正方形．
26．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，AE＝CG，AH＝CF，且EG平分∠HEF．
（1）求证：四边形EFGH是菱形；
（2）若EF＝4，∠HEF＝60°，求EG的长．
27．如图，已知在△ABC中AB＝AC，AD是BC边上的中线，E，G分别是AC，DC的中点，F为DE延长线上的点，∠FCA＝∠CEG．
（1）求证：AD∥CF；
（2）求证：四边形ADCF是矩形．
28．如图1，在菱形中，，，点为上一动点，在点的运动过程中，始终保持，，连接，，与相交于点．
（1）如图1，求证四边形为平行四边形；
（2）当点运动到什么位置时，四边形为矩形？并说明理由；
（3）如图2，延长到，使，连接，判断与的数量关系，并说明理由．
参考答案
1．D
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，BD＝AC，BO＝OD，
∵AB＝6cm，BC＝8cm，
∴由勾股定理得：AC＝＝＝10（cm），
∴BD＝10cm，DO＝5cm，
∵点E、F分别是AO、AD的中点，
∴EF是△AOD的中位线，
∴EF＝OD＝2.5cm，
2．B
证明：∵RtABC≌RtDCB，
∴∠ACB=∠CBD，
∴BD∥AC，
∵O为BC中点，
∴OB=OC，
∵∠BOF=∠COE，
∴△BOF≌△COE，
∴BF=CE，
∴四边形BECF为平行四边形，故A选项正确；
∵∠ABC=90°，AB=3，BC=4，
∴AC=5，
∵BF=3.5,
∴CE=BF=3.5，AE=1.5，
∵，
∴∠BEC不是直角，故四边形BECF不为矩形，故B选项错误；
当BF=2.5时，则CE=BF=2.5，
∴AE=2.5，
∴AE=CE，
∴，
∴四边形BECF为菱形，故C选项正确；
∵AB=3，BC=4，AC=5，
∴，
∴四边形BECF不可能为正方形，故D选项正确；
3．A
解：∵四边形是菱形，
∴∠DOC=90°，AB=CD=5，
∵，
∴3、4、5没标错，
∵OA=OC=3，
∴2标错了，
4．C
解：∵平行四边形
∴AD∥BC，AB=DC，∠B=∠ADC
∴∠AEB=∠DAE
∵平分
∴∠BAE=∠DAE
∴∠BAE=∠AEB
∵
∴△BAE是等边三角形
∴∠BAE=∠DAE
=，AB=AE=BE
∴AE=DC，∠ADC=∠DAE
∵AD=AD
∴△EAD≌△CDA
∴∠DAC=∠ADE
∵AD∥BC
∴∠DAC=∠ACE=∠ADE=∠DAC
∵
∴∠DAC=∠ACE=∠ADE=∠DAC=40°
∴=120?
∴=180???∠ACE=20?
5．A
解：，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
6．B
解：如图，过点作于，设与于，
，，
，，
以、、为边作如图所示的等边，等边，等边，
，，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
同理可求，
，
四边形是菱形，
，，
，
，
四边形的面积，
7．C
解：由作法知，MN是线段AB的垂直平分线
∴BE=AE=2
故选项B正确
∵BE=AE，∠A=30゜
∴∠EBA=∠A=30゜
∵四边形ABCD是菱形
∴AB=AD
∴∠ABD=∠ADB=(180゜?∠A)=75゜
∴∠DBE=∠ABD?∠EBA=45゜
故选项A正确
设MN交AB于点F，如图
∵MN⊥AB，∠A=30゜
∴EF=AE=1
由勾股定理得：
∴AD=AB=2AF=
∴ED=AD?AE==?2
故选项D正确
如图，过点D作DG⊥AB于点G
在Rt△ADG中，∠A=30゜，则
∴
从而选项C错误
8．B
解：作D关于AE的对称点D′，再过D′作D′P′⊥AD于P′，
∵DD′⊥AE，
∴∠AFD=∠AFD′，
∵AF=AF，∠DAE=∠CAE，
∴△DAF≌△D′AF，
∴D′是D关于AE的对称点，AD′=AD=，
∴D′P′即为DQ+PQ的最小值，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAD′=45°，
∴AP′=P′D′，
∴在Rt△AP′D′中，
P′D′2+AP′2=AD′2，AD′2=32，
∵AP′=P′D'，
2P′D′2=AD′2，即2P′D′2=32，
∴P′D′=4，即DQ+PQ的最小值为4，
9．B
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝AD＝CD，AB∥CD，AD∥BC，
∴∠EAO＝∠FCO，∠DAC＝∠ACB＝36°，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴AO＝CO，
又∵AB＝BC，
∴BO⊥AC，
∴∠OBC＝90°﹣∠ACB＝54°，
10．C
解：作PM⊥AB于P，交DC于Q．
则有四边形DEMQ，四边形QMFC，四边形AEMP，四边形MPBF都是矩形，
∴S△DEM=S△DQM，S△QCM=S△MFC，S△AEM=S△APM，S△MPB=S△MFB，S△ABC=S△ADC，
∴S△ABC-S△AMP-S△MCF=S△ADC-S△AEM-S△MQC，
∴S四边形DEMQ=S四边形MPBF，
∵DE=CF=2，
∴S△DEM=S△MFB=×2×5=5，
∴S△DEM+S△MFB=5+5=10，
11．C
解：连接BD，交AC于点O，如图：
∵菱形ABCD的边长为10，点E、F分别是边CD、BC的中点，
∴AB∥CD，AB=BC=CD=DA=10，EF∥BD，
∵AC、BD是菱形的对角线，AC=16，
∴AC⊥BD，AO=CO=8，OB=OD，
又∵AB∥CD，EF∥BD，
∴DE∥BG，BD∥EG，
∴四边形BDEG是平行四边形，
∴BD=EG，
在△COD中，∵OC⊥OD，CD=10，CO=8，
∴OB=OD=，
∴BD=2OD=12，
∴EG=BD=12；
12．D
解：当点F在C的左侧时，根据题意得：AE＝tcm，BF＝3tcm，
则CF＝BC﹣BF＝（8﹣3t）cm，
∵AG∥BC，
∴当AE＝CF时，四边形AECF是平行四边形，
即t＝8﹣3t，
解得：t＝2；
当点F在C的右侧时，根据题意得：AE＝tcm，BF＝3tcm，
则CF＝BF﹣BC＝（3t﹣8）cm，
∵AG∥BC，
∴当AE＝CF时，四边形AEFC是平行四边形，
即t＝3t﹣8，
解得：t＝4；
综上可得：当t＝2或4s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形，
13．D
解：设BE与AC交于点P'，连接BD．
∵点B与D关于AC对称，
∴P'D＝P'B，
∴P'D+P'E＝P'B+P'E＝BE最小．
∵正方形ABCD的面积为16，
∴AB＝4，
又∵△ABE是等边三角形，
∴BE＝AB＝4．
14．D
解：连接AP，如图所示：
∵∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，
∴BC＝＝10，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴四边形AFPE是矩形，
∴EF＝AP，EF与AP互相平分，
∵M是EF的中点，
∴M为AP的中点，
∴PM＝AP，
根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，
即AP⊥BC时，AP最短，同样PM也最短，
∴当AP⊥BC时，AP＝＝4.8，
∴AP最短时，AP＝4.8，
∴当PM最短时，PM＝AP＝2.4．
15．D
解：取BC的中点G，连接EG、FG，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∵CE⊥AB，
∴∠CEB=90°，
∴EG=BG=CG，
∴∠B=∠GEB，
∵BC=2AB，
∴EG=AB=CD，
∴∠EFG=∠FEG，
∵F点为AD的中点，G为BC的中点，
∴FG∥AB，
∴∠AEF=∠EFG=56°，
∴∠FEG=56°，
∴∠GEB=180°-56°-56°=68°，
∴∠B=68°．
16．D
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴，CD∥AB，AD∥BC，
∴，，
由折叠性质得：，，，
∴，，
∴，，
，即，
故选项A、B、C正确，选项D错误，
17．D
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD
∵对角线BD上的两点M、N满足BM=DN，
∴OB-BM=OD-DN，即OM=ON，
∴四边形AMCN是平行四边形，
∵2OM=AC，
∴MN=AC，
∴四边形AMCN是矩形．
18．D
解：如图，连接BE，
∵四边形ABCD为正方形，
∴CB＝CD，∠BCE＝∠DCE＝45°，
在△BEC和△DEC中，
，
∴△DCE≌△BCE（SAS），
∴DE＝BE，∠CDE＝∠CBE，
∴∠ADE＝∠ABE，
∵∠DAB＝90°，∠DEF＝90°，
∴∠ADE＋∠AFE＝180°，
∵∠AFE＋∠EFB＝180°，
∴∠ADE＝∠EFB，
∴∠ABE＝∠EFB，
∴EF＝BE，
∴DE＝EF，故①正确；
∵∠DEF＝90°，DE＝EF，
∴∠EDF＝∠DFE＝45°，
如图：延长BC到G，使CG＝AF，连接DG，
在△ADF和△CDG中，
，
∴△ADF≌△CDG（SAS），
∴∠AFD＝∠G，∠ADF＝∠CDG，DF＝DG，
∵∠ADF＋∠CDQ＝90°?∠FDQ＝45°，
∴∠CDG＋∠CDQ＝45°＝∠GDQ，
∴∠GDQ＝∠FDQ，
又∵DG＝DF，DQ＝DQ，
∴△QDF≌△QDG（SAS），
∴FQ＝QG，∠G＝∠DFQ，
∴∠DFA＝∠DFQ，故③正确；
∵AB＝6，CQ＝3，
∴BQ＝3，FB＝6?AF，FQ＝QG＝3＋AF，
∵FQ2＝FB2＋BQ2，
∴（3＋AF）2＝9＋（6?AF）2，
∴AF＝2，故②正确；
如图：将△CDE绕点A顺时针旋转90°得到△ADM，连接MH，
∴△CDE≌△ADM，
∴AM＝CE＝4，∠DCE＝∠DAM＝45°，∠ADM＝∠CDE，DM＝DE，
∴∠MAH＝90°，∠ADM＋∠ADH＝∠CDE＋∠ADH＝45°＝∠MDH，
又∵DH＝DH，
∴△DMH≌△DEH（SAS），
∴EH＝MH，
∵MH＝=，
∴EH＝MH＝，
∴AC＝AH＋EH＋EC＝6＋
∴AB＝AC÷=，故④正确；
19．6
解：∵四边形是矩形，，
∴，，
∵、分别为，的中点，
∴；
20．4
解：由题意，四边形是菱形，
∵∠AOB＝90°，OA＝1，OB＝2，
∴AB=
∴四边形的周长为4，
21．150°．
解：∵四边形ABCD是正方形，△CBE是等边三角形，
∴AD＝CD＝BC，∠ADC＝90°，BE＝CB＝CE，∠EBC＝∠BEC＝60°，
∴AB＝BE，∠ABE＝30°，
∴∠BEA＝（180°﹣30°）＝75°，
同理：∠CED＝75°，
∴∠AED＝360°﹣75°﹣75°﹣60°＝150°，
22．114°
∵∠DEF
=22°
长方形ABCD的对边AD//BC
∴∠EFB=∠DEF=22°
由折叠，
∠EFB处折叠了3层
∴∠CFE=180°
-3∠EFB
=180°—3
×
22°
=114°
23．24．
解：由作图可知，AG平分∠BAF，AB=AF，
∴AG垂直平分BF，∠FAG=∠BAE，
∴EF=EB，
∵AD∥BE，
∴∠FAE=∠AEB，
∴∠BAE
=∠AEB，
∴AB=BE，
∴AB=BE=EF=AF，
∴四边形ABEF是菱形，
∴BO=FO=4，
∴，
AE=6，
菱形的面积为；
24．（1）见解析；（2）
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，O是BD的中点，
∴∠A＝90°，AD＝BC＝4，AB∥DC，OB＝OD，
∴∠OBE＝∠ODF，
又∵∠BOE＝∠DOF，
∴△BOE≌△DOF（ASA），
∴EO＝FO，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）解：当四边形BEDF是菱形时，BE＝DE，
设BE＝x，则
DE＝x，AE＝6﹣x，
在Rt△ADE中，DE2＝AD2+AE2，
∴x2＝42+（6﹣x）2，
解得：x＝
，
∵DF＝DE=．
25．证明见解析
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠D＝∠C＝90°，
∵△AEF是等边三角形，
∴AE＝AF，∠AEF＝∠AFE＝60°，
∵∠CEF＝45°，
∴∠CFE＝∠CEF＝45°，
∴∠AFD＝∠AEB＝180°﹣45°﹣60°＝75°，
∴△AEB≌△AFD（AAS），
∴AB＝AD，
∴矩形ABCD是正方形．
26．（1）证明见解析；（2）4
．
解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，
在△AEH与△CGF中，
，
∴△AEH≌△CGF（SAS）；
∴EH＝FG
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，∠B＝∠D．
又∵AE＝CG，AH＝CF，
∴BE＝DG，BF＝DH，
在△BEF与△DGH中，
，
∴△BEF≌△DGH（SAS），
∴EF＝GH．
∴四边形EFGH是平行四边形，
∴HG∥EF，
∴∠HGE＝∠FEG，
∵EG平分∠HEF，
∴∠HEG＝∠FEG，
∴∠HEG＝∠HGE，
∴HE＝HG，
又四边形EFGH是平行四边形，
∴四边形EFGH是菱形．
（2）连接HF交EG于O，则OF⊥EG，OE=EG．
∵四边形EFGH是菱形，
∴EG⊥FH，∠FEO＝∠HEF＝30°，
∵EF＝4，
∴OF＝EF＝2
∴由勾股定理得，OE=2，
∴EG＝2EO＝4．
27．（1）证明见解析；（2）证明见解析．
解：（1）证明：∵E，G分别是AC，DC的中点，
∴EG是△ACD的中位线，
∴EG∥AD，
∵∠FCA＝∠CEG，
∴EG∥CF，
∴AD∥CF；
（2）证明：由（1）得：AD∥CF，
∴∠DAE＝∠FCE，∠ADE＝∠CFE，
∵E是AC的中点，
∴AE＝CE，
∴△ADE≌△CFE（AAS），
∴AD＝CF，
∴四边形ADCF是平行四边形，
又∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴平行四边形ADCF是矩形．
28．（1）见解析；（2）的垂直平分线上，理由见解析；（3），理由见解析
解：（1）证明：由菱形的性质可得，，
由平移可得，，；
∴，，
∴四边形为平行四边形；
（2）当点运动到的垂直平分线上时，四边形为矩形．
∵菱形中，，
∴，，
∵，
∴，即，
又∵四边形为平行四边形，
∴四边形为矩形；
（3）如图，连接，
由（1）得四边形为平行四边形，
∴，
又∵，
∴是的中位线，
∴，
由菱形的轴对称可得，即，
∴．