高中数学人教A版（2019）必修二 8.2 立体图形的直观图（含解析）

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…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
)
(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
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高中数学人教A版（2019）必修二
8.2
立体图形的直观图
一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.如图所示，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是等腰梯形
，且直观图
的面积为2，则该平面图形的面积为（???
）
A.?2????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?4????????????????????????????????????????D.?
2.用斜二测画法画水平放置的边长为2的正方形所得的直观图的面积是（??
）
A.???????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?
3.若一个几何体的俯视图是圆，则它不可能是（???
）
A.?球?????????????????????????????????????B.?圆柱?????????????????????????????????????C.?圆锥?????????????????????????????????????D.?三棱锥
4.用斜二测画法画水平放置的平面图形直观图时，下列结论中正确的个数是（???
）
①平行的线段在直观图中仍然平行；②相等的线段在直观图中仍然相等；
③相等的角在直观图中仍然相等；④正方形在直观图中仍然是正方形
A.?1???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?4
5.如图所示的是水平放置的三角形直观图，
是
中
边上的一点，且
离
比
离
近，又
轴，那么原
的
、
、
三条线段中（???
）
A.?最长的是
，最短的是
?????????????????????????????B.?最长的是
，最短的是
C.?最长的是
，最短的是
????????????????????????????D.?最长的是
，最短的是
6.如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（???
）
A.??????????????????????????????????B.??????????????????????????????????C.??????????????????????????????????D.?
7.用斜二测画法得到的平面多边形直观图的面积为
，则原图形面积为（???
）
A.?4??????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.?2??????????????????????????????????????????D.?1
8.水平放置的
的斜二测直观图如图所示，若
，
的面积为
，则
的长为（
??）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?2????????????????????????????????????????D.?8
二、填空题（共8小题，每小题5分，共40分）
9.如图所示，
为水平放置的
的直观图，其中
，
，则
的面积是________．
10.如图，平行四边形
是四边形
的直观图.若
，
，则原四边形
的周长为________.
11.等边三角形
的边长为
，建立如图所示的直角坐标系
，用斜二测画法得到它的直观图，则它的直观图的面积是________．
12.水平放置
的斜二测直观图如图所示，已知
，
，则
边上的中线的长度为________.
13.如图是△AOB用斜二测画法画出的直观图△A′O′B′，则△AOB的面积是________．
14.如图所示是
用斜二测画法画出的直观图，则
的面积是________．
15.一个平面四边形用斜二测画法得到的直观图是一个边长为
的正方形，则原平面四边形的面积为________．
16.一水平位置的平面图形的斜二测直观图是一个底平行于
轴，底角为
，两腰和上底长均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是________．
三、解答题（共3小题，满分30分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.如图所示，在平面直角坐标系中，各点坐标为O(0，0)，A(1，3)，B(3，1)，C(4，6)，D(2，5).试画出四边形ABCD的直观图.
18.一个几何体，它的下面是一个圆柱，上面是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆柱的底面直径为3
cm，高为4
cm，圆锥的高为3
cm，画出此几何体的直观图．
19.用斜二测画法画出下列水平放置的正五边形和四边形的直观图．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】
B
【解析】解：设等腰梯形
对应该平面图形
，则
，
，
，
，
故答案为：B.
【分析】根据在斜二测画法中，原图面积与直观图的面积比值为
，
直接解题即可。
2.【答案】
B
【解析】用斜二测画法画边长为2的正方形为一个角为45°，底为2，高为的平行四边形，平行四边形的面积为
，
故答案为：B。
【分析】由斜二测画法画边长为2的正方形为一个角为
，
底为2，高为的平行四边形，再利用平行四边形的面积公式，从而求出所得的直观图的面积。
3.【答案】
D
【解析】若一个几何体的俯视图是圆，则它不可能是三棱锥
故答案为：D
【分析】根据几何体的特征可得答案.
4.【答案】
A
【解析】对于①，平行的线段在直观图中仍然是平行线段，所以①正确；
对于②，相等的线段在直观图中不一定相等，
如平行于
轴的线段，长度不变，平行于
轴的线段，变为原来的
，所以②错误；
对于③，相等的角在直观图中不一定相等，
如直角坐标系内两个相邻的直角，在斜二测画法内是
和
，所以③错误；
对于④，正方形在直观图中不是正方形，是平行四边形，所以④错误；
综上，正确的命题序号是①，共1个．
故答案为：A．
【分析】利用已知条件结合斜二测画法画直观图的方法，从而得出平面图形的直观图，进而找出正确结论的个数。
5.【答案】
B
【解析】由题意得到原
的平面图为：
其中，
，
，所以
，所以
的
、
、
三条线段中最长的是
，最短的是
.
故答案为：B.
【分析】作出原
的平面图，利用数形结合思想，观察图形找出最短线段和最长线段，便可得出结果．
6.【答案】
A
【解析】如图，恢复后的原图形为一个直角梯形，
所以
，
故答案为：A.
【分析】利用斜二测画法得出的直观图还原为原图为一个直角梯形，再利用已知条件结合梯形面积公式，从而求出原平面图形的面积。
7.【答案】
A
【解析】解：因为用斜二测画法得到的平面多边形直观图的面积为
，而原图形面积是直观图的面积的
，
所以原图形面积为
，
故答案为：A
【分析】利用平面图形的面积与其直观图面积的关系进行求解即可
8.【答案】
B
【解析】依题意，因为
的面积为
，
所以
，解得
，
所以
，
，又因为
，
由勾股定理得：
．
故答案为：B．
【分析】依题意由
的面积为
，解得
，所以
，
，根据勾股定理即可求
．
二、填空题
9.【答案】
【解析】由直观图画法规则将
还原为
，如图所示，
是一个等腰三角形,则有
，
所以
故答案为：
【分析】根据直观图和原图的之间的关系，由直观图画法规则将
还原为
，如图所示，
是一个等腰三角形，直接求解其面积即可．
10.【答案】
14
【解析】解：因为平行四边形
是四边形
的直观图，且
，
所以四边形
是矩形，且
，
所以四边形
的周长为
，
故答案为：14
【分析】由四边形的直观图画法结合边之间的关系计算出结果即可。
11.【答案】
【解析】过
作
，则
，作
轴和
轴，使得
，在
轴上取点
，
使得
，在
轴上取点
，使得
，过点
轴，使得
，连接
，则
的直观图，由直观图作法可知
，过
作
于
，则
，所以
。
【分析】利用等边三角形的性质结合用斜二测画法画直观图的方法，从而结合三角形的面积公式，从而求出它的直观图的面积。
12.【答案】
【解析】在直观图中，
，
，所以在
中，
，
，
为直角，
，因此，
边上的中线的长度为
.
故答案为：
.
【分析】由已知中直观图中线段的长，可分析出
实际为一个直角边长分别为3、4的直角三角形，进而根据勾股定理求出斜边，结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案．
13.【答案】
16
【解析】由题意得，由图象中可知，
，则对应三角形
中，
，又与
平行的线段的长度为
，则对应三角形
的高为
，所以三角形
的面积为
．
【分析】由斜二次画法即可得出直观图中三角形的边长，再由三角形的面积公式代入数值计算出结果即可。
14.【答案】
32
【解析】斜二测画法作图时，与
轴平行的线段长度不变，与
轴平行的线段长度变为原来的
，
由直观图可得：
.
故答案为：
【分析】根据斜二测画法的原则，结合题中直观图，可直接求出结果.
15.【答案】
【解析】因为一个平面四边形用斜二测画法得到的直观图是一个边长为
的正方形，故其直观图的面积为
，又直观图与原图面积之比为
，所以原平面四边形的面积为
．
故答案为：
．
【分析】根据斜二测画法的直观图和原图的面积比为定值，即可求出．
16.【答案】
【解析】如图过点
作，
，
则四边形
是一个内角为45°的平行四边形且
，
中，
，则对应可得四边形
是矩形且
，
是直角三角形，
，所以
。
【分析】利用直观图的斜二测画法结合已知条件，再利用等腰梯形的结构特征，从而用长方形和三角形的面积公式求和，从而求出这个平面图形的面积。
三、解答题
17.【答案】
解：画法：⑴先画x′轴和y′轴，使∠x′O′y′=45°(如图1).
⑵在原图中作AE⊥x轴，垂足为E(1，0).
⑶在x′轴上截取O′E′=OE，作A′E′∥y′轴，截取E′A′=1.5.
⑷同理确定点B′，C′，D′，其中B′G′=0.5，C′H′=3，
D′F′=2.5.
⑸连线成图(去掉辅助线)(如图2).
【分析】每一点的横坐标不变，纵坐标减半，在连接四个点得到直观图形.
18.【答案】
解：画法如下
①画轴．如图1所示，画x轴、z轴，使∠xOz＝90°.
②画圆柱的两底面.在x轴上取A、B两点，使AB的长度等于3
cm，且OA＝OB．选择椭圆模板中适当的椭圆过A，B两点，使它为圆柱的下底面．在Oz上截取点O′，使OO′＝4
cm，过O′作Ox的平行线O′x′，类似圆柱下底面的作法作出圆柱的上底面．
③画圆锥的顶点．在Oz上截取点P，使PO′等于圆锥的高3
cm.
④成图．连接A′A，B′B，PA′，PB′，整理得到此几何体的直观图．如图2所示．
【分析】几何体是一个圆柱与一个圆锥体的组合体.由斜二测画法规则,画出几何体的直观图.
19.【答案】
解：（1）作出坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′=45°，
连结EC交y轴为F，
在x′轴上作线段A′B′=AB，
则y′轴上分别作线段O′D′=OD，O′F′=OF，
过F′作线段E′C′=EC，且E′C′∥O′x′，
连结A′B′C′D′E′，即为正五边形的直观图．
（2）作出坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′=45°，
在x′轴上作线段O′C′=OC，
则y′轴上分别作线段O′A′=OA，
过A′作线段A′B′=AB，且A′B′∥O′x′，
连结A′B′C′O′，即为四边形的直观图．
【分析】根据斜二测画法的原则即可得到结论．
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