高中数学人教A版（2019）必修二 8.3 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积（含解析）

(
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
(
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
)
(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
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高中数学人教A版（2019）必修二
8.3
棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
一、单选题（共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.在直三棱柱
中，
，
，若该直三棱柱的外接球表面积为
，则此直三棱柱的高为（?
??）．
A.?4????????????????????????????????????????B.?3????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
2.已知四棱锥
中，底面
是矩形，侧面
是正三角形，且侧面
底面
，
，若四棱锥
外接球的体积为
，则该四棱锥的表面积为（???
）
A.?????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????D.?
3.如图，一个四棱柱形容器中盛有水，在底面
中，
，
，
，侧棱
，若侧面
水平放置时，水面恰好过
的中点，那么当底面
水平放置时，水面高为（???
）
A.?2???????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?
4.已知点
，
，
在半径为5的球面上，且
，
，
为球面上的动点，则三棱锥
体积的最大值为（???
）
A.??????????????????????????????????B.??????????????????????????????????C.??????????????????????????????????D.?
5.在棱长为
的正方体
中，
为正方形
的中心，
，
，
分别为
，
，
的中点，则四面体
的体积为（???
）
A.???????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?
6.如图，位于西安大慈恩寺的大雁塔，是唐代玄奘法师为保存经卷佛像而主持修建的，是我国现存最早的四方楼阁式砖塔．塔顶可以看成一个正四棱锥，其侧棱与底面所成的角为
，则该正四棱锥的一个侧面与底面的面积之比为（???
）
A.???????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?
7.已知四棱锥
，底面
为矩形，点
在平面
上的射影为
的中点
.若
，
，
，则四棱锥
的表面积等于（???
）
A.?????????????????????B.?
C.?????????????????????D.?
8.已知正方体
的棱长为2，则三棱锥
的体积为（???
）
A.????????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????????C.?4???????????????????????????????????????????D.?6
9.某中学开展劳动实习，学习加工制作食品包装盒．现有一张边长为6的正六边形硬纸片，如图所示，裁掉阴影部分，然后按虚线处折成高为
的正六棱柱无盖包装盒，则此包装盒的体积为（
??）
A.?144????????????????????????????????????????B.?72????????????????????????????????????????C.?36????????????????????????????????????????D.?24
二、多选题（共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.）
10.若四面体各棱的长是1或2，且该四面体的棱长不全相等，则其体积的值可能为（???
）
A.??????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????D.?
11.攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为最尖，清代称攒尖，通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑，园林建筑．下面以四角攒尖为例，如图，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥．已知此正四棱锥的侧面与底面所成的锐二面角为
，这个角接近
，若取
，侧棱长为
米，则（???
）
A.?正四棱锥的底面边长为6米??????????????????????????????????B.?正四棱锥的底面边长为3米
C.?正四棱锥的侧面积为
平方米?????????????????????D.?正四棱锥的侧面积为
平方米
三、填空题（共7小题，每小题5分，共35分）
12.如图，长方体
的体积是120，E为
的中点，则三棱锥E-BCD的体积是________.
13.在棱长为
的正方体
中，点
分别是线段
（不包括端点）上的动点，且线段
平行于平面
，则四面体
的体积的最大值是________.
14.已知正四棱锥
中，
是边长为3的等边三角形，点M是
的重心，过点M作与平面PAC垂直的平面
，平面
与截面PAC交线段的长度为2，则平面
与正四棱椎
表面交线所围成的封闭图形的面积可能为________.（请将可能的结果序号填到横线上）①2；②
；③3；
④
.
15.古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面上到两定点
、
距离之比
是常数的点的轨迹是一个圆心在直线
上的圆，该圆简称为阿氏圆.根据以上信息，解决下面的问题：在棱长为2的正方体
中，点
是正方体的表面
(包括边界)上的动点，若动点
满足
，则点
所形成的阿氏圆的半径为________；若
是
的中点，且满足
，则三棱锥
体积的最大值是________.
阿波罗尼奥斯
16.《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”.如图在堑堵
中，
，且
.下述四个结论正确结论的编号是________.
①四棱锥
为“阳马”
②四面体
为“鳖臑”
③过
点分别作
于点
，
于点
，则
④四棱锥
体积最大为
17.在边长为4的正方形ABCD内剪去四个全等的等腰三角形(如图1中阴影部分)，折叠成底面边长为
的正四棱锥SEFGH(如图2)，则正四棱锥SEFGH的体积为________.
18.已知正四棱锥
的体积为
，底面边长为2，则侧棱
的长为________．
四、解答题（共3小题，满分30分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19.如图，已知四棱台的两底面均为正方形，且边长分别为
和
，侧面积为
，求其体积
20.长方体
中，
=12，
=10，
=6，过
作长方体的截面
使它成为正方形，
（1）求截面
将正方体分成的两部分的体积比；
（2）求
21.如图，为正六棱柱
，底面边长
，高
.
（1）若
，求异面直线
和
所成角的大小；
（2）计算四面体
的体积（用
来表示）；
（3）若正六棱柱为一容器（有盖），且底面边长a和高h满足：
（
为定值），则当底面边长a和高h分别取得何值时，正六棱柱的表面积与体积之比最小？
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】
D
【解析】解：因为
，所以将直三棱柱
补成长方体
，则直三棱柱的外接球就是长方体的外接球，外接球的直径等于长方体的体对角线，
设球的半径为
，则
，解得
，
设直三棱柱的高为
，则
，即
，
解得
，所以直三棱柱的高为
，
故答案为：D
【分析】因为
，所以将直三棱柱
补成长方体
，则直三棱柱的外接球就是长方体的外接球，外接球的直径等于长方体的体对角线，再利用勾股定理求出长方体的体对角线的长，进而求出外接球的直径，从而求出外接球的半径长，再利用勾股定理求出直三棱柱的高。
2.【答案】
B
【解析】设四棱锥
外接球的球心为
，过
作底面
的垂线，垂足为
，
因为四边形
是长方形，所以
的底面中心，即对角线
的交点，
过
作三角形
的垂线，垂足为
，所以
是正三角形
外心，
设外接球半径为
，外接球的体积为
，所以
，即
，
过
作
，则
是
的中点，连接
，所以
，
，
因为平面
平面
，平面
平面
，
所以
平面
，所以
，所以
平面
，所以
，
所以四边形
是平行四边形，即
，设
，则
，
，
所以
，由勾股定理得
，即
，
解得
，所以
，
，
因为
，所以
平面
，
平面
，
所以
，
，
，
因为
，
，
作
于
，所以
为
的中点，所以
，所以
，
，
所以
。
故答案为：B.
【分析】设四棱锥
外接球的球心为
，过
作底面
的垂线，垂足为
，因为四边形
是长方形，所以
的底面中心，即对角线
的交点，过
作三角形
的垂线，垂足为
，所以
是正三角形
外心，再利用球的体积公式结合已知条件，进而求出球的半径长，过
作
，则
是
的中点，连接
，所以
，
，因为平面
平面
，再利用面面垂直的性质定理推出线面垂直，所以
平面
，所以
，所以
平面
，所以
，所以四边形
是平行四边形，即
，设
，再利用勾股定理结合已知条件，进而求出x的值，所以
，
再利用三角形面积公式结合
，所以
平面
，
平面
，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，即
，
，
再利用等面积法结合三角形面积公式，进而结合勾股定理，进而结合中点的性质求出PH的长，再利用三角形面积和矩形面积公式结合求和法，进而求出该四棱锥的表面积。
3.【答案】
B
【解析】设四棱柱的底面梯形的高为
，
的中点分别为
，
所求的水面高为h，
则水的体积
，
所以
，
故答案为：B。
【分析】设四棱柱的底面梯形的高为
，
的中点分别为
，所求的水面高为h，再利用四棱柱的体积公式，进而求出水的体积，再结合已知条件，进而求出水面的高。
4.【答案】
A
【解析】如图，因为
是
的外心，
是球心，
平面
，当
是
的延长线与球面交点时，
到平面
距离最大，
由
，
，得
，则
，
，
，
，
，
又
，
所以最大的
。
故答案为：A．
【分析】因为
是
的外心，
是球心，
平面
，当
是
的延长线与球面交点时，
到平面
距离最大，由
，
，结合余弦函数的定义得
，再利用同角三角函数基本关系式得出
，再利用正弦函数的定义求出AM的长，再利用勾股定理求出OM的长，进而求出PM的长，再利用三角形面积公式结合三棱锥体积公式，进而求出三棱锥
体积的最大值。
5.【答案】
B
【解析】如图所示，连接
交
于点
，连接
，连接
,
由正方体的特点可知，
，
,则根据线面垂直的判定定理可知
平面
，则
，
,故
。
故答案为：B.
【分析】连接
交
于点
，连接
，连接
,由正方体的结构特征可知，
，
,再利用线线垂直找出线面垂直，即
平面
，再利用三棱锥的体积公式结合求和法，进而利用三角形的面积等于梯形的面积减去三角形的面积的方法，从而求出四面体
的体积
。
6.【答案】
D
【解析】塔顶是正四棱锥
，如图，
是正四棱锥的高，
设底面边长为
，底面积为
，
，
，∴
，
是正三角形，面积为
，
所以
。
故答案为：D．
【分析】塔顶是正四棱锥
，结合已知条件和正方形面积公式，进而求出正四棱锥的底面积。再利用已知条件结合三角形
是正三角形，再结合三角形的面积公式，进而求出侧面三角形的面积，从而求出该正四棱锥的一个侧面与底面的面积之比。
7.【答案】
A
【解析】连接
，
平面
，
平面
，所以
，
同理
，
又
，
，
平面
，所以
平面
，而
平面
，所以
，同理
，
因此
，
，
，同理
，
，
，同理
，
是等腰三角形，所以底边上的高为
，
，
所以所求表面积为
。
故答案为：A．
【分析】连接
，
再利用
平面
结合线面垂直的定义推出线线垂直，所以
，同理
，又因为
，再利用线线垂直证出线面垂直，
所以
平面
，再结合线面垂直的定义推出线线垂直，所以
，同理
，再利用三角形面积公式和矩形的面积公式，进而得出
，同理
，
，再利用勾股定理结合等腰三角形的性质，进而求出底边上的高，再利用四棱锥的表面积公式，进而求出四棱锥
的表面积。
8.【答案】
B
【解析】如图三棱锥
是由正方体
截去四个小三棱锥
又因为
，
，
所以
。
故答案为：B
【分析】因为三棱锥
是由正方体
截去四个小三棱锥
再利用正方体的体积公式结合三棱锥的体积公式，再结合等体积法和作差法，进而求出三棱锥
的体积。
9.【答案】
B
【解析】如图：由正六边形的每个内角为
，
按虚线处折成高为
的正六棱柱，即
，
所以
可得正六棱柱底边边长
，
所以正六棱柱体积：
.
故答案为：B
【分析】
利用正六边形的性质求出正六棱柱的底边边长，再根据棱柱的体积公式求解．
二、多选题
10.【答案】
A,B,C
【解析】根据三角形的两边之和大于第三边性质，知四面体中棱长为1的棱最多有3条，
（1）若只有一条棱长度为1，如图
，其余棱长都为2，
取
中点
，
中点
，连接
，则
，又
是平面
内两相交直线，则
平面
，
由已知
，则
，
，
，
；
（2）若有两条棱长度为1，还是如（1）中的图形，
，
解法如（1），只是有
，
，
；
（3）若有两条棱长度为1，如图
，
，四面体为正三棱锥，设
是正三棱锥的高，
是
的外心，
，
，
，
．
故答案为：ABC．
【分析】
根据题意分情况讨论即可得出：分底边长为2，2，2，侧棱长为2，2，1，底边长为1，1，1，侧棱长为2，2，2和底面边长为2，2，1，侧棱长为2，2，1，三种情况分别计算棱锥的体积，结合选项得答案．
11.【答案】
A,C
【解析】如图，在正四棱锥
中，
O为正方形
的中心，
为
的中点，
则
，
设底面边长为
．
因为
，
所以
．
在
中，
，
所以
，底面边长为6米，
平方米．
故答案为：AC.
【分析】根据题意作出直观图，结合已知条件求解棱锥的底面边长，侧面积，判断选项的正误即可．
三、填空题
12.【答案】
10
【解析】
在长方体中，
平面
又
在
上，
平面
是三棱锥E-BCD的高，
长方体的体积为：
长方体
的体积是120，
又
为
的中点，
又
【分析】根据长方体的结构特征结合线面垂直和中点的性质，用三棱锥体积公式结合三棱锥体积与长方体体积的关系式，用长方体的体积求出三棱锥的体积。
13.【答案】
【解析】由线面平行的性质定理知
，
∽
，
，
设
，则
，
到平面
的距离为
，则
,
所以
，所以四面体
的体积为
，
当
时，四面体
的体积取得最大值：
．
所以答案应填：
．
【分析】由题意可得
∽
，
设
，则
，
到平面
的距离为
，
求出四面体的体积，通过二次函数的最值，求出四面体体积的最大值。
14.【答案】
①③
【解析】设
，因为
为正四棱锥，易知平面
平面
，又
，平面
平面
，
平面
，所以
平面
，
过M作
∥
分别交棱
、
于点T、L，
则
平面
，由题意，
只需所作的平面
是包含
且与截面PAC交线段的长度为2即可，
又
是边长为3的等边三角形，点M是
的重心，过M作
∥
分别交棱
、
于点E、Q，所以
，即
，所以
，
如图1，则平面
为满足题意的平面
，因为
，所以
，所以
，所以
，故①正确；
如图2，过T作
∥
，过L作
∥
，
易知平面
为满足题意的平面
，
且
为两个全等的直角梯形，易知T、H分别为GE、EF的中点，所以
，
所以五边形
的面积
，
故③正确.当
∥
与
∥
是完全相同的，所以，综上选①③.
故答案为：①③
【分析】设
，因为
为正四棱锥，易知
平面
，过M作
∥
分别交棱
、
于点T、L，则
平面
，由题意，只需所作的平面
是包含
且与截面PAC交线段的长度为2即可，数形结合，作出截面即可得到答案.
15.【答案】
；
【解析】在
上取点
，在
延长线上取点
，使得
，
，则
是题中阿氏圆上的点，由题意
是阿氏圆的直径，
，则
，
，所以
，∴阿氏圆半径为
；
正方体中
，
都与侧面
垂直，从而与侧面
内的直线
垂直，
如图
，则
，∴
，即
在上述阿氏圆上，
∵
的面积是2为定值，因此只要
到平面
距离最大，则三棱锥
体积的最大，
由于
点在阿氏圆上，当
是阿氏圆与
交点
时，
到平面
距离最大，
此时
，因此
，
，
三棱锥
体积的最大值为
。
故答案为：
；
。
【分析】在
上取点
，在
延长线上取点
，使得
，
，则
是题中阿氏圆上的点，由题意
是阿氏圆的直径，
，则
，
，所以
，进而求出阿氏圆半径
；再利用相似三角形对应边成比例结合三角形
的面积是2为定值，因此只要
到平面
距离最大，则三棱锥
体积的最大，由于
点在阿氏圆上，当
是阿氏圆与
交点
时，
到平面
距离最大，从而利用勾股定理求出QD的长，再利用三棱锥的体积公式，进而求出三棱锥
体积的最大值。
16.【答案】
①②③
【解析】对于①：因为
为堑堵，
所以侧棱
平面
，
所以
，又
，
所以
平面
，满足“阳马”的定义：一条侧棱垂直于底面的四棱锥，
所以四棱锥
为“阳马”，故①正确；
对于②：因为
底面
，所以
，即
为直角三角形，
同理
也为直角三角形，
由①可得
平面
，所以
，即
为直角三角形，
因为
底面
，所以
又因为
，
所以
平面
，
所以
，即
为直角三角形，
所以四面体
的四个面全为直角三角形，即四面体
为“鳖臑”，故②正确；
对于③：由①可得
平面
，
平面
,
所以
，又
，
所以
平面
，所以
，
又
，所以
平面AEF，
所以
，故③正确；
对于④：设
，则矩形
的面积为
，
在
中，
，
所以四棱锥
体积
，故④错误，
故答案为：①②③
【分析】根据题意，结合线面垂直的判定定理，性质定理，锥体的体积公式，逐一分析选项即可得到答案。
17.【答案】
【解析】连结EG，HF，交点为O，正方形EFGH的对角线EG＝2，EO＝1，则点E到线段AB的距离为1，EB＝
＝
.SO＝
＝
＝2，故正四棱锥SEFGH的体积为
×(
)2×2＝
.
故答案为：
【分析】连结EG，HF，交点为O，正方形EFGH的对角线EG＝2，EO＝1，即可求出EB，SO，进而求出正四棱锥SEFGH的体积。
18.【答案】
【解析】设底面正方形
的中心为
，又底面边长为2可得
由
【分析】先设底面正方形
的中心为
，根据题意得到
，再由
求出
，结合勾股定理即可得出结果.
四、解答题
19.【答案】
解：取
的中点
，
的中点
，上、下底面的中心
，则
为斜高，四边形
为直角梯形,
∵
，
∴
，
在直角梯形
中，
，
，
∴
，
故该四棱台的体积为
【分析】取
的中点
，
的中点
，上、下底面的中心
，根据侧面积求出
，再求出棱台的高，即可求出体积.
20.【答案】
（1）解：
是正方形，
=12，
=10，
=6
，
，
截面
将正方体分成的两部分为三棱柱和四棱柱，且高
相等均为长方体侧棱长
，
（2）解：过点B作直线BG平行于
交
于点G，过G作
的垂线交
于H，如图：
则BG平行于平面
，则点B到面
的距离即为点G到面
的距离，
易证
平面
，即GH即为点G到面
的距离
【分析】（1）截面
将正方体分成的两部分为三棱柱和四棱柱，且高相同，利用
只需要求出底面积的比值即可.(2)过点B作直线BG平行于
交
于点G,则点B到面
的距离即为点G到面
的距离，过G作
的垂线交
于H，则易证GH即为点G到面
的距离，再代入
即可.
21.【答案】
（1）解：补形如图：延长
相交于G点，延长
相交于H点，连接
由正六边形性质知
是平行四边形，从而得
是直四棱柱，则
且
所以四边形
是平行四边形，所以
,
所以异面直线
和
所成角的大小即为直线
和
所成角的大小.
在三角形
中，由平面几何知识和余弦定理得：
，
，
,
?
（2）解：如图，建立分别以
为
轴的空间直角坐标系，
则
，
，
，
，
，
设平面
法向量为
?,
，令
，则
，
所以
到平面
的距离
又
，
，
,
?
?
（3）解：由题知，正六棱柱的表面积
正六棱柱的体积
?又
所以当
时，
有最大值，也即
取得最小值，
此时
，
【分析】（1）延长
相交于G点，延长
相交于H点，连接
，得
是直四棱柱，证明
,所以异面直线
和
所成角的大小即为直线
和
所成角的大小.解三角形可得.（2）建立空间直角坐标系,求出平面
法向量，求出
到平面
的距离，可得四面体
的体积.（3）求出正六棱柱的表面积
,
正六棱柱的体积
，利用已知条件，转化为二次函数求得最值，得解.
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