1.3组合水平测试（2）
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1.3组合水平测试（2）
一、选择题(每小题6分，共36分)
1． 12名同学合影，站成了前排4人后排8人．现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是( )
A．C82A32 B．C82A66
C．C82A62 D．C82A52
2．将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为( )
A．18 B．24
C．30 D．36
3．将1,2,3填入3×3的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，下面是一种填法，则不同的填写方法共有( )
1 2 3
3 1 2
2 3 1
A.6种 B．12种
C．24种 D．48种
4．某班学生参加植树节活动，苗圃中有甲、乙、丙3种不同的树苗，从中取出5棵分别种植在排成一排的5个树坑内，同种树苗不能相邻，且第1个树坑和第5个树坑只能种甲种树苗的种法共有( )
A．15种 B．12种
C．9种 D．6种
5．编号为1、2、3、4、5的5个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中有且只有两个人的编号与座位号一致的坐法有( )
A．10种 B．20种
C．30种 D．60种
6．甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有( )
A．6种 B．12种
C．30种 D．36种
二、填空题(每小题6分，共18分)
7．从5名外语系大学生中选派4名同学参加广州亚运会翻译、交通、礼仪三项义工活动，要求翻译有2人参加，交通和礼仪各有1人参加，则不同的选派方法共有________种．
8．甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是________(用数字作答)．
9．四张卡片上分别标有数字“2”“0”“0”“9”，其中“9”可当“6”用，则由这四张卡片可组成不同的四位数的个数为________．
三、解答题(共46分)
10．(15分)一个小组有10名同学，其中4名男生，6名女生，现从中选出3名代表，(1)其中至少有一名男生的选法有几种？(2)至多有1名男生的选法有几种？
11．(15分)7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男生4人，女生2人，在下列情况下，各有不同站法多少种？
(1)两名女生必须相邻而站；
(2)4名男生互不相邻；
(3)老师不站中间，女生不站两端．
12．(16分)从1到9的9个数字中取3个偶数4个奇数，试问：
(1)能组成多少个没有重复数字的七位数？
(2)上述七位数中，3个偶数排在一起的有几个？
(3)(1)中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有几个？
(4)(1)中任意2个偶数都不相邻的七位数有几个？
参考答案：
1、【解析】 从后排8人中选2人安排到前排6个位置中的任意两个位置即可，所以选法种数是C82A62，故选C.
【答案】 C
2、【解析】 由于甲、乙两名学生不能分在同一个班，因此先将甲、乙、丙、丁四名学生分成三组，当甲、乙各在一组且每组1人时，有1种分法；当甲、乙中一人所在组有2人时，有4种分法(如甲丁、乙、丙是其中一组)，然后将3组分给三个班，共有5A33＝30(种)．
【答案】 C
3、【解析】 如图，不同填法有：C31·C21·C21＝12(种)．故选B.
C31 C21 C11
C21 C11 C11
C11 C11 C11
【答案】 B
4、【解析】 分两类：(1)2或4坑相同，有2C21；(2)2或4坑不同，有A22，则共有A22＋2C21＝6种．故选D.
【答案】 D
5、【解析】 五个人有两个人的编号与座位号相同，此两人的选法共有C52，假如编号1、2号人坐的号为1、2，其余三人的编号与座号不同，共有2种坐法．
∴符合题意的坐法有2×C52＝2×10＝20种．
【答案】 B
6、【解析】 甲、乙所选修课程中有1门不相同时，先从4门功课中选1门让甲、乙共同选修有C41种，甲选修的另一门有C31种，乙选修另一门有C21种，共有C41C31C21＝24种不同选修方法．甲、乙所选课程中有2门各不相同，则甲有C42，乙有C22种，共有C42·C22＝6种不同选法，因此共有C41C31C21＋C42·C22＝30种不同选法．
【答案】 C
7、【解析】 本题可分三步完成．
第一步：先从5人中选出2名翻译，共C52种选法，
第二步：从剩余3人中选1名交通义工，共C31种选法，
第三步：从剩余2人中选1名礼仪义工，共C21种选法．
所以不同的选派方法共有C52C31C21＝60种．
【答案】 60
8、【解析】 当每个台阶上各站1人时有A33C73种站法，当两个人站在同一个台阶上时有C32C71C61种站法，因此不同的站法种数有A33C73＋C32C71C61＝210＋126＝336(种)．
【答案】 336
9、【解析】 先在后三位中选两个位置填两个数字“0”有C32种填法，再排另两张卡片有A22种排法，再决定用数字“9”还是“6”有两种可能，所以共可排成2C32A22＝12个四位数．
【答案】 12
10、【解析】 (1)方法一：(直接法)．
第一类：3名代表中有1名男生，则选法种数为C41·C62＝60种；
第二类：3名代表中有2名男生，则选法种数为C42·C61＝36种；
第三类：3名代表中有3名男生，则选法种数为C43＝4种；
故共有60＋36＋4＝100种
方法二：(间接法)．
从10名同学中选出3名同学的选法种数为C103种．
其中不适合条件的有C63种．
故共有C103－C63＝100种．
(2)第一类：3名代表中有一名男生，则选法为C41C62＝60种；
第二类：3名代表中无男生，则选法为C63＝20种；故共有60＋20＝80种．
11、【解析】 (1)2名女生站在一起有站法A22种，视为一种元素与其余5个全排，有A66种排法，
∴有不同站法A22·A66＝1 440种．
(2)先站老师和女生，有站法A33种，再在老师和女生站位的间隔(含两端)处插入男生，每空一人，有插入方法A44种，
∴共有不同站法A33·A44＝144种．
(3)中间和两侧是特殊位置，可如下分类求解：①老师站两侧之一，另一侧由男生站，有A21·A41·A55种站法；②两侧全由男生站，老师站除两侧和中间外的另外4个位置之一，有A42·A41·A44种站法，
∴共有不同站法
A21·A41·A55＋A42·A41·A44＝960＋1152＝2 112种.
12、【解析】 这是有限制条件的排列问题，可以先选后排．
(1)分步完成：第一步，在4个偶数中取3个，有C43种情况；第二步，在5个奇数中取4个，有C54种情况；第三步，3个偶数，4个奇数进行排列，有A77种情况．所以符合题意的七位数有C43C54A77＝100 800(个)．
(2)上述七位数中，3个偶数排在一起的有
C43C54A55A33＝14 400(个)．
(3)上述七位数中，3个偶数排在一起，4个奇数也排在一起的有C43C54A33A44A22＝5 760(个)．
(4)上述七位数中，偶数都不相邻，可先把4个奇数排好，再将3个偶数分别插入5个空档，共有C43C54A53A44＝28 800(个)．
一、选择题(每小题6分，共36分)
1． 12名同学合影，站成了前排4人后排8人．现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是( )
A．C82A32 B．C82A66
C．C82A62 D．C82A52
2．将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为( )
A．18 B．24
C．30 D．36
3．将1,2,3填入3×3的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，下面是一种填法，则不同的填写方法共有( )
1 2 3
3 1 2
2 3 1
A.6种 B．12种
C．24种 D．48种
4．某班学生参加植树节活动，苗圃中有甲、乙、丙3种不同的树苗，从中取出5棵分别种植在排成一排的5个树坑内，同种树苗不能相邻，且第1个树坑和第5个树坑只能种甲种树苗的种法共有( )
A．15种 B．12种
C．9种 D．6种
5．编号为1、2、3、4、5的5个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中有且只有两个人的编号与座位号一致的坐法有( )
A．10种 B．20种
C．30种 D．60种
6．甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有( )
A．6种 B．12种
C．30种 D．36种
二、填空题(每小题6分，共18分)
7．从5名外语系大学生中选派4名同学参加广州亚运会翻译、交通、礼仪三项义工活动，要求翻译有2人参加，交通和礼仪各有1人参加，则不同的选派方法共有________种．
8．甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是________(用数字作答)．
9．四张卡片上分别标有数字“2”“0”“0”“9”，其中“9”可当“6”用，则由这四张卡片可组成不同的四位数的个数为________．
三、解答题(共46分)
10．(15分)一个小组有10名同学，其中4名男生，6名女生，现从中选出3名代表，(1)其中至少有一名男生的选法有几种？(2)至多有1名男生的选法有几种？
11．(15分)7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男生4人，女生2人，在下列情况下，各有不同站法多少种？
(1)两名女生必须相邻而站；
(2)4名男生互不相邻；
(3)老师不站中间，女生不站两端．
12．(16分)从1到9的9个数字中取3个偶数4个奇数，试问：
(1)能组成多少个没有重复数字的七位数？
(2)上述七位数中，3个偶数排在一起的有几个？
(3)(1)中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有几个？
(4)(1)中任意2个偶数都不相邻的七位数有几个？
参考答案：
1、【解析】 从后排8人中选2人安排到前排6个位置中的任意两个位置即可，所以选法种数是C82A62，故选C.
【答案】 C
2、【解析】 由于甲、乙两名学生不能分在同一个班，因此先将甲、乙、丙、丁四名学生分成三组，当甲、乙各在一组且每组1人时，有1种分法；当甲、乙中一人所在组有2人时，有4种分法(如甲丁、乙、丙是其中一组)，然后将3组分给三个班，共有5A33＝30(种)．
【答案】 C
3、【解析】 如图，不同填法有：C31·C21·C21＝12(种)．故选B.
C31 C21 C11
C21 C11 C11
C11 C11 C11
【答案】 B
4、【解析】 分两类：(1)2或4坑相同，有2C21；(2)2或4坑不同，有A22，则共有A22＋2C21＝6种．故选D.
【答案】 D
5、【解析】 五个人有两个人的编号与座位号相同，此两人的选法共有C52，假如编号1、2号人坐的号为1、2，其余三人的编号与座号不同，共有2种坐法．
∴符合题意的坐法有2×C52＝2×10＝20种．
【答案】 B
6、【解析】 甲、乙所选修课程中有1门不相同时，先从4门功课中选1门让甲、乙共同选修有C41种，甲选修的另一门有C31种，乙选修另一门有C21种，共有C41C31C21＝24种不同选修方法．甲、乙所选课程中有2门各不相同，则甲有C42，乙有C22种，共有C42·C22＝6种不同选法，因此共有C41C31C21＋C42·C22＝30种不同选法．
【答案】 C
7、【解析】 本题可分三步完成．
第一步：先从5人中选出2名翻译，共C52种选法，
第二步：从剩余3人中选1名交通义工，共C31种选法，
第三步：从剩余2人中选1名礼仪义工，共C21种选法．
所以不同的选派方法共有C52C31C21＝60种．
【答案】 60
8、【解析】 当每个台阶上各站1人时有A33C73种站法，当两个人站在同一个台阶上时有C32C71C61种站法，因此不同的站法种数有A33C73＋C32C71C61＝210＋126＝336(种)．
【答案】 336
9、【解析】 先在后三位中选两个位置填两个数字“0”有C32种填法，再排另两张卡片有A22种排法，再决定用数字“9”还是“6”有两种可能，所以共可排成2C32A22＝12个四位数．
【答案】 12
10、【解析】 (1)方法一：(直接法)．
第一类：3名代表中有1名男生，则选法种数为C41·C62＝60种；
第二类：3名代表中有2名男生，则选法种数为C42·C61＝36种；
第三类：3名代表中有3名男生，则选法种数为C43＝4种；
故共有60＋36＋4＝100种
方法二：(间接法)．
从10名同学中选出3名同学的选法种数为C103种．
其中不适合条件的有C63种．
故共有C103－C63＝100种．
(2)第一类：3名代表中有一名男生，则选法为C41C62＝60种；
第二类：3名代表中无男生，则选法为C63＝20种；故共有60＋20＝80种．
11、【解析】 (1)2名女生站在一起有站法A22种，视为一种元素与其余5个全排，有A66种排法，
∴有不同站法A22·A66＝1 440种．
(2)先站老师和女生，有站法A33种，再在老师和女生站位的间隔(含两端)处插入男生，每空一人，有插入方法A44种，
∴共有不同站法A33·A44＝144种．
(3)中间和两侧是特殊位置，可如下分类求解：①老师站两侧之一，另一侧由男生站，有A21·A41·A55种站法；②两侧全由男生站，老师站除两侧和中间外的另外4个位置之一，有A42·A41·A44种站法，
∴共有不同站法
A21·A41·A55＋A42·A41·A44＝960＋1152＝2 112种.
12、【解析】 这是有限制条件的排列问题，可以先选后排．
(1)分步完成：第一步，在4个偶数中取3个，有C43种情况；第二步，在5个奇数中取4个，有C54种情况；第三步，3个偶数，4个奇数进行排列，有A77种情况．所以符合题意的七位数有C43C54A77＝100 800(个)．
(2)上述七位数中，3个偶数排在一起的有
C43C54A55A33＝14 400(个)．
(3)上述七位数中，3个偶数排在一起，4个奇数也排在一起的有C43C54A33A44A22＝5 760(个)．
(4)上述七位数中，偶数都不相邻，可先把4个奇数排好，再将3个偶数分别插入5个空档，共有C43C54A53A44＝28 800(个)．
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