（机构适用）第8章立体几何初步总结-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册学案（Word版含解析）

了解基本立体图形
掌握简单几何体的表面积与体积
认识空间点、直线、平面之间的位置关系
第八章
成对数据的统计分析
一、成对数据的统计相关性
1.变量的相关关系
（1）相关关系
两个变量间的关系有函数关系，相关关系和不相关关系
两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系
（2）正相关、负相关
从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也星现增加的趋势，我们就称这两个变量正相关;如果一个变量值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势，则称这个两个变量负相关
（3）线性相关
一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条线附近,
我们就称这两个变量线性相关
一般地，如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关
2.样本相关系数
（1）相关系数r的计算
注意:相关系数是研究变量之间线性相关程度的量
假设两个随机变量的数据分别为，对数据作进一步的“标准化处理”处理，用，分别除和（和分别为和的均值），得，，，为简单起见把上述“标准化”处理后的成对数据分别记为，，则变量x和变量y的样本相关系数r的计算公式如下:
（2）相关系数r的性质
①当r>0时，称成对样本数据正相关;当r<0时，成对样本数据负相关；当r=0时，成对样本数据间没有线性相关关系.
样本数据间没有线性相关关系.
②样本相关系数r的取值范围为
当越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强;
当越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱.
（3）样本相关系数与标准化数据向量夹角的关系
（其中=（），=（），，为向量和向量的夹角）
二、一元线性回归模型及其应用
1.第一课时一元线性回归模型
（1）一元线性回归模型
我们称
为Y关于x的一元线性回归模型，其中Y称为因变量或响应变量，x称为自变量或解释变量;a和b为模型的未知参数，a称为截距参数，b称为斜率参数;e是
Y与bx+a之间的随机误差
（2）线性回归方程与最小二乘法
回归直线方程过样本点的中心(x，y)，是回归直线方程最常用的一个特征
我们将称为Y关于x的线性回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线。这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的，叫做b，a的最小二乘估计(lastsqures
estimate),
其中
2.第二课时非线性回归模型及其应用
（1）残差的概念
对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测值称为残差，残差是随机误差的估计结果，通过残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析.
（2）刻画回归效果的方式
①残差图法
作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图．若残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，带状区域越窄，则说明拟合效果越好.
②残差平方和法
残差平方和，残差平方和越小，模型拟合效果越好，残差平方和越大，模型拟合效果越差.
③利用R2刻画回归效果
决定系数R是度量模型拟合效果的一种指标，在线性模型中，它代表解释变量客户预报变量的能力.
，R2越大，即拟合效果越好，R2越小，模型拟合效果越差
三、列联表与独立性检验
1.分类变量与列联表
（1）分类变量
这里所说的变量和值不一定是具体的数值，例如:性别变量，其取值为男和女两种
我们经常会使用一种特殊的随机变量，以区别不同的现象或性质，这类随机变量称为分类变量，分类变量的取值可以用实数表示
（2）2X2列联表
在实践中，由于保存原始数据的成本较高，人们经常技研究问题的需要，将数据分类统计，并做成表格加以保存，我们将这类数据统计表称为2X2列联表，2X2
列联表给出了成对分类变量数心的交叉分类频数.
一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其2X2列联表为
y1
y2
合计
x1
a
b
a+b
x2
c
d
c+d
合计
a+c
b+d
a+b+c+d
（3）等高堆积条形图
等高条形图和表格相比，更能直观地反映出两个分类变量问是否相互影响，常用等高条形图展示列联表数据的频率特征，依据频率稳定于概率的原理，我们可以推断结果
2.独立性检验
（1）临界值
统计量也可以用来作相关性的度量，越小说明变量之间越独立，越大说明变量之间越相关
.忽略的实际分布与该近似分布的误差后，对于任何小概率值，可以找到相应的正实数，使得成立，我们称为的临界值，这个临界值就可作为判断大小的标准.
（2）独立性检验
基于小概丰值的检验规则是:
当时，我们就推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过;
当时，我们没有充分证据推断H0不成立，可以认为X和Y独立
这种利用的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验
下表给出了产独立性检验中几个常用的小概车值和相应的临界值
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
（3）应用独立性检验解决实际问题的大致步骤
(1)提出零假设H0:X和Y相互独立，并给出在问题中的解释;
(2)根据抽样数据整理出2X2列联表，计算的值，并与临界值比较:
(3)根据检验规则得出推断结论;
(4)在X和Y不独立的情况下，根据需要，通过比较相应的顿率，分析X和Y间影响规律
1.近年来，国资委.党委高度重视扶贫开发工作，坚决贯彻落实中央扶贫工作重大决策部署，在各个贫困县全力推进定点扶贫各项工作，取得了积极成效，某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地，已知土地的使用面积以及相应的管理时间的关系如下表所示：
土地使用面积x（单位：亩）
1
2
3
4
5
管理时间y（单位：月）
8
10
13
25
24
并调查了某村
名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示：
愿意参与管理
不愿意参与管理
男性村民
150
50
女性村民
50
参考公式：
，参考数据：
，
，
（1）求出相关系数r的大小，并判断管理时间y与土地使用面积x是否线性相关？
（2）若以该村的村民的性别与参与管理意愿的情况估计贫困县的情况，则从该贫困县中任取3人，记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为X，求X的分布列及数学期望.
【答案】
（1）解：依题意：
，
故
，
则
，
故管理时间y与土地使用面积x线性相关
（2）解：依题意，X的可能取值为0，1，2，3，从该贫困县中随机抽取一名，则取到不愿意参与管理的男性村民的概率为
，
故
，
，
，
.
故X的分布列为
X
0
1
2
3
P
则数学期望为
（或由
，得
）
【考点】两个变量的线性相关，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差
【解析】（1）
，
，故
，
，
，进而求出
，即可得出结论；（2）X的可能取值为0，1，2，3，从该贫困县中随机抽取一名，则取到不愿意参与管理的男性村民的概率为
，由此能求出X的分布列及数学期望.
2?
2018年双11当天，某购物平台的销售业绩高达2135亿人民币．与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系，现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.9，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为140次．
（1）请完成下表，并判断是否可以在犯错误概率不超过0.5％的前提下，认为商品好评与服务好评有关？
对服务好评
对服务不满意
合计
对商品好评
140
对商品不满意
10
合计
200
（2）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的3次购物中，设对商品和服务全好评的次数为X．
①求随机变量X的分布列；
②求X的数学期望和方差．
附：
，其中n＝a＋b＋c＋d．
P（K2≥k）
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
【答案】
（1）解：由题意可得关于商品和服务评价的2×2列联表：
对服务好评
对服务不满意
合计
对商品好评
140
40
180
对商品不满意
10
10
20
合计
150
50
200
则
．
由于7.407＜7.879，则不可以在犯错误概率不超过0.5％的前提下，认为商品好评与服务好评有关．
（2）解：（ⅰ）每次购物时，对商品和服务都好评的概率为
，
且X的取值可以是0，1，2，3，
则
，
，
，
．
故X的分布列为
X
0
1
2
3
P
（ⅱ）由于X～B（3，
），则
，
．
【考点】相关系数，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差
【解析】（1）
由题意可得关于商品和服务评价的2×2列联表
，求出
，
即可判断商品好评与服务好评有关；
（2）
（ⅰ）由已知得到每次购物时，对商品和服务都好评的概率
，分别求出
X的取值的概率，即可得到
X的分布列；
（ⅱ）
利用
X～B（3，
）
，即可求出
X的数学期望和方差
.
3.通过市场调查，得到某种产品的资金投入
（单位：万元）与获得的利润
（单位：万元）的数据，如下表所示：
资金投入
2
3
4
5
6
利润
2
3
5
6
9
（1）在下图中，画出数据对应的散点图；
（2）根据上表提供的数据，用最小二乘法求线性回归直线方程
；
（3）现投入资金10万元，求获得利润的估计值为多少万元？
参考公式：
，
.
【答案】
（1）解：作出散点图如图所示.
（2）解：由题意得
，
.
，
.
∴
，
∴
.
∴线性回归方程为
.
（3）解：当
时，
（万元），
∴当投入资金10万元，获得利润的估计值为15.2万元.
【考点】散点图，线性回归方程
【解析】(1)结合图表数值作出散点图即可。
(2)根据题意首先求出样本中心点的坐标，由此即可求出线性回归方程。
（3）结合题意代入数值计算出结果即可。
4.“直播带货”是指通过一些互联网平台，使用直播技术进行商品线上展示?咨询答疑?导购销售的新型服务方式.某高校学生会调查了该校100名学生2020年在直播平台购物的情况，这100名学生中有男生60名，女生40名.男生中在直播平台购物的人数占男生总数的
，女生中在直播平台购物的人数占女生总数的
.
附：
，
.
（1）填写
列联表，并判断能否有99%的把握认为校学生的性别与2020年在直播平台购物有关？
男生
女生
合计
2020年在直播平台购物
2020年未在直播平台购物
合计
（2）若把这100名学生2020年在直播平台购物的频率作为该校每个学生2020年在直播平台购物的概率，从全校所有学生中随机抽取4人，记这4人中2020年在直播平台购物的人数与未在直播平台购物的人数之差为
，求
的分布列与期望.
0.05
0.01
0.005
0.001
3.841
6.635
7.879
10.828
【答案】
（1）解：列
列联表：
男生
女生
合计
2020年在直播平台购物
40
35
75
2020年未在直播平台购物
20
5
25
合计
60
40
100
.
故没有99%的把握认为该校学生的性别与220年在直播平台购物有关
（2）解：设这4人中2020年在直播平台购物的人数为
，
则
，且
，
，故
，且
，
，
，
，
.
所以
的分布列为
-4
-2
0
2
4
，
，
即
【考点】独立性检验的应用，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差
【解析】（1)利用实际问题的已知条件填写出
列联表，
再利用独立性检验的方法判断出没有99%的把握认为该校学生的性别与220年在直播平台购物有关。
（2）
设这4人中2020年在直播平台购物的人数为
，
结合实际问题的已知条件，从而求出随机变量Y的取值，再利用二项分布求概率公式，进而求出随机变量X的分布列，再结合随机变量X的分布列结合数学期望公式，进而求出随机变量X的数学期望。
1.在如图的各图中，每个图的两个变量具有线性相关关系的图是（???
）
A.?①②?????????????????????????????????????B.?①③?????????????????????????????????????C.?②④?????????????????????????????????????D.?②③
2下列说法错误的是(?
?)
A.?正方体的体积与棱长之间的关系是函数关系
B.?人的身高与视力之间的关系是相关关系
C.?汽车的重量和汽车每消耗1升汽油所行驶的平均路程成负相关关系
D.?数学成绩与语文成绩之间没有相关的关系
3.蟋蟀鸣叫可以说是大自然优美、和谐的音乐，殊不知蟋蟀鸣叫的频率x（每分钟鸣叫的次数）与气温y（单位：
）存在着较强的线性相关关系．某地观测人员根据下表的观测数据，建立了y关于x的线性回归方程
x（次数/分数）
20
30
40
50
60
y（
）
25
27.5
29
32.5
36
则当蟋蟀每分钟鸣叫52次时，该地当时的气温预报值为（???
）
A.???????????????????????????????????B.???????????????????????????????????C.???????????????????????????????????D.?
4.为了评价某个电视栏目的改革效果，在改革前后分别从居民点抽取了100位居民进行调查，经过计算
，根据这一数据分析，下列说法正确的是（???
）
A.?有1%的人认为该栏目优秀；
B.?有1%的把握认为该栏目是否优秀与改革有关系；
C.?有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系；
D.?没有理由认为电视栏目是否优秀与改革有关系.
参考答案
1.【答案】
D
【解析】
根据图像知两个变量具有线性相关关系的图是②③.
2.【答案】
B
【解析】
正方体的体积与棱长之间的关系是函数关系，故
正确；人的身高与视力之间不具有相关关系，故
错误；汽车的重量和汽车每消耗1升汽油所行驶的平均路程成负相关关系，故
正确；数学成绩与语文成绩之间不具有相关关系，故
正确；
3.【答案】
A
【解析】
，
，
因为样本中心点
在回归直线上，
所以将
代入
得：
，解得：
，
所以
，
当
时，
，
4.【答案】
C
【解析】
解：∵
表示“电视栏目是否优秀与改革没有关系”的概率，
∴有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系，