（机构适用）6.1分类加法计数原理与分布乘法计数原理学案-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册讲义（Word版含解析）

1了解学习本章的意义,激发学生的兴趣.
2.理解分类计数原理与分步计数原理,培养学生的归纳概括能力.
3.会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题.
1.分类加法计算原理
基本原理
N=m+n
原理推广
N=+...+
提醒：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，每一类中的各种方法相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事，从甲地去乙地共有两类不同方案，方案1中公路线共有4条，方案2中火车线共有2条，从甲地去乙地共有4+2（种）不同的方法。
2.分数乘法计算原理
基本原理
N=m×n，原理推广
N=·...·
两个计数原理的区别
1.区别一
分类加法计数原理：成一件事，共有n类方法，关键词是‘分类’
分类乘法计数原理；完成一件事，共有n各步骤，关键词是‘分步’
2.区别二
分类加法计数原理：每类方法都能独立完成这件事，且每类方法得到的都是最后结果，只需一种方法就可以完成这件事
分类乘法计数原理；任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步也不能完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事
3.区别三
分类加法计数原理；各类方法之间是互拆的、并列的、独立的
分类乘法计数原理；各步之间是关联的、独立的，‘关联’确保不遗漏。‘独立’确保不重复
1.某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二．为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：
男生
女生
支持
不支持
支持
不支持
方案一
200人
400人
300人
100人
方案二
350人
250人
150人
250人
假设所有学生对活动方案是否支持相互独立．
（Ⅰ）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；
（Ⅱ）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率；
（Ⅲ）将该校学生支持方案的概率估计值记为
，假设该校年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为
，试比较
与
的大小．（结论不要求证明）
【答案】
解：（Ⅰ）该校男生支持方案一的概率为
，
该校女生支持方案一的概率为
；
（Ⅱ）3人中恰有2人支持方案一分两种情况，（1）仅有两个男生支持方案一，（2）仅有一个男生支持方案一，一个女生支持方案一，
所以3人中恰有2人支持方案一概率为：
;
（Ⅲ）
【考点】相互独立事件的概率乘法公式，古典概型及其概率计算公式，分类加法计数原理
【解析】（Ⅰ）根据频率估计概率，即得结果；（Ⅱ）先分类，再根据独立事件概率乘法公式以及分类计数加法公式求结果；（Ⅲ）先求
，再根据频率估计概率
，即得大小.
2.某商场举行元旦促销回馈活动，凡购物满1000元，即可参与抽奖活动，抽奖规则如下：在一个不透明的口袋中装有编号为1、2、3、4、5的5个完全相同的小球，顾客每次从口袋中摸出一个小球，共摸三次（每次摸出的小球均不放回口袋），编号依次作为一个三位数的个位、十位、百位，若三位数是奇数，则奖励50元，若三位数是偶数，则奖励
元（
为三位数的百位上的数字，如三位数为234，则奖励
元）.
（1）求抽奖者在一次抽奖中所得三位数是奇数的概率；
（2）求抽奖者在一次抽奖中获奖金额
的概率分布与期望
.
【答案】
（1）解：因为总的基本事件个数
，摸到三位数是奇数的事件数
，所以
；
所以摸到三位数是奇数的概率
.
（2）解：获奖金额
的可能取值为50、100、200、300、400、500，
，
，
，
，
，
，
获奖金额
的概率分布为
50
100
200
300
400
500
均值
元.
所以期望是150元.
【考点】古典概型及其概率计算公式，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差，分步乘法计数原理
【解析】（1）首先利用排列求出摸三次的总的基本事件个数：
；然后利用分步计数原理求出个位的排法、十位百位的排法求出三位数是奇数的基本事件个数，再利用古典概型的概率计算公式即可求解.（2）获奖金额X的可能取值为50、100、200、300、400、500，求出各个随机变量的分布列，利用均值公式即可求解
3.用一颗骰子连掷三次，投掷出的数字顺次排成一个三位数，此时：
（1）各位数字互不相同的三位数有多少个？
（2）可以排出多少个不同的数？
（3）恰好有两个相同数字的三位数共有多少个？
【答案】
（1）解：得到一个三位数，分三步进行：先填百位，再填十位，最后填个位．百位上的数字填法有6种，十位上的数字填法有5种，个位上的数字填法有4种，根据分步计数原理，各位数字互不相同的三位数有
个
（2）解：分三步进行：先填百位，再填十位，最后填各位，每种都有6种方法，根据分步计数原理，可以排出
个不同的数．
（3）解：两个数字相同有三种可能性，即第一、二位，第二、三位，第三、一位相同，而每种情况有6×5种，故有3×6×5＝90(个)．
【考点】分步乘法计数原理
【解析】（1）得到一个三位数，分三步进行：先填百位，有6种方法；再填十位，有5种方法；最后填个位，有4种方法，根据分步计数原理可得；（2）分三步进行：先填百位，再填十位，最后填个位，每种都有6种方法，根据分步计数原理可得；（3）从三个位中任选两个位，填上相同的数字，有
种方法，剩下的一位数字的填法有5中，根据分步计数原理可求得结果．
4.对于给定的大于1的正整数n，设
，其中
，且
记满足条件的所有x的和为
，
（1）求
（2）设
，求
8.对于给定的大于1的正整数n，设
，其中
，且
记满足条件的所有x的和为
，
（1）求
（2）设
，求
【答案】
（1）解：当
时，
，
，
，
，
故满足条件的
共有
个，
分别为：
，
，
，
,
它们的和是
（2）解：由题意得，
各有
种取法；
有
种取法，
由分步计数原理可得
的不同取法共有
，
即满足条件的
共有
个，
当
分别取
时，
各有
种取法，
有
种取法，
故
中所有含
项的和为
；
同理，
中所有含
项的和为
；
中所有含
项的和为
；
中所有含
项的和为
；
当
分别取
时，
各有
种取法，
故
中所有含
项的和为
；
所以
；
故
．
【考点】分步乘法计数原理
【解析】(1)由n=2，直接代入计算得到答案。
（2）将本题看作是分步计数，a
0
,
a
1
,
a
2
,
?
,
a
n
?
1
各有
n
种取法；
a
n
有
n
?
1
种取法，计算即得答案。
1.3名男生和2名女生排成一排，则女生互不相邻的排法总数为（???
）
A.?120????????????????????????????????????????B.?12????????????????????????????????????????C.?60????????????????????????????????????????D.?72
2.在圆上有6个不同的点，将这6个点两两连接成弦，这些弦将圆分割成的区域数最多为（???
）
A.?32?????????????????????????????????????????B.?15?????????????????????????????????????????C.?16?????????????????????????????????????????D.?31
3.汽车上有8名乘客，沿途有4个车站，每名乘客可任选1个车站下车，则乘客不同的下车方法数为（???
）．
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
4.东莞近三年连续被评为“新一线城市”，“东莞制造”也在加速转型升级步伐，现有4个项目由东莞市政府安排到2个地区进行建设，每个地区至少有一个项目，其中项目A和B不能安排在同一个地区，则不同的安排方式有（???
）
A.?4种?????????????????????????????????????B.?8种?????????????????????????????????????C.?12
种?????????????????????????????????????D.?16种
参考答案
1.【答案】
D
【解析】
先排男生共有
种，男生排好后共有4个空隙，再把2个女生排进去共有
种排法，
所以符合条件的共有
种排法.
2.【答案】
D
【解析】
两个点可以连一条弦，将圆分为两部分，加一个点，多两条弦，将圆多分出来两部分，所以每加一条弦可以按这种方式多出一个区域，再加一个点，变成了一对相交弦和四条其他的弦，共分为8个区域，所以除去前一种方式增加的区域数，一对相交弦还会多产生一个区域，故当点数多于4个时，最多可分得总的区域数为
，此题
，所以最多可分为31个区域.
3.【答案】
A
【解析】
根据题意，汽车上有8名乘客，沿途有4个车站，每名乘客可以在任意一个车站下车，即每名乘客都有4种下车方式，则8名乘客有
种可能的下车方式．
故答案为：A．
4.【答案】
B
【解析】
先把
两个项目安排到两个地区，然后剩下的两个项目再选择地区共有安排方式
种．