（机构适用）6.2排列与组合-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册讲义（Word版含解析）

1了解排列、组合的意义
2.理组合数的两个性质
3.会排列数、组合数计算公式
一、排列与组合
排列的定义
一般地，从n
个不同元素中取出m(m≤n)个元素,并按照一定的顺序排成一列，
叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列
二、排列数
1.排列数的定义
从n
个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n
个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示
2.排列数公式
（1）排列数公式：=n（n-1）（n-2）...（n-m+1）
（2）全排列：=n（n-1）（n-2）×...×3×2×1
（3）阶乘：=n！规定0！=1
（4）排列数的性质：=n，=m+
三、组合
1.组合的定义
一般地，从n
个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合
2.组合数的定义
从n
个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n
个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示
组合数公式
（1）组合数公式：==还可以写成
=
规定=1
（2）组合数的两个性质
性质1：=
性质2：=+
1.甲、乙、丙三位教师指导五名学生
参加全国高中数学联赛，每位教师至少指导一名学生.
（1）若每位教师至多指导两名学生，求共有多少种分配方案；
（2）若教师甲只指导其中一名学生，求共有多少种分配方案.
【答案】
（1）解：5名学生分成3组，人数分别为
分配方案有
种
（2）解：从5名学生任选1名学生分配给甲教师指导，剩下4名学生分成2组，人数分别为
，
分配方案有
种
【考点】排列、组合及简单计数问题
【解析】（1）利用已知条件结合组合数公式和排列数公式，再利用分组的方法，进而求出每位教师至多指导两名学生共有的分配方案种数。
（2）利用已知条件结合组合数公式和排列数公式，再利用分组的方法，进而求出教师甲只指导其中一名学生共有的分配方案种数。
?2.一场小型晚会有3个唱歌节目和2个相声节目，要求排出一个节目单．
（1）2个相声节目要排在一起，有多少种排法？
（2）第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，有多少种排法？
（3）前3个节目中要有相声节目，有多少种排法？
（要求：每小题都要有过程，且计算结果都用数字表示）
【答案】
（1）解：把两个相声节目捆绑在一起作为一个节目与其他节目排列共有排法
；
（2）解：选两个唱歌节目排在首尾，剩下的3个节目在中间排列，排法为
；
（3）解：5个节目全排列减去后两个都是相声的排法，共有
．
【考点】排列、组合及简单计数问题
【解析】（1）把两个相声节目捆绑在一起作为一个节目与其他节目排列；（2）选两个唱歌节目排在首尾，还有3个节目在中间排列；（3）5个节目全排列减去后两个都是相声的排法．
3.为弘扬我国古代的“六艺”文化，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程.
（1）若体验课连续开设六周，每周一门，求其中“射”不排在第一周，“数”不排在最后一周的所有可能排法种数；
（2）甲、乙、丙、丁、戊五名教师在教这六门课程，每名教师至少任教一门课程，求其中甲不任教“数”的课程安排方案种数.
【答案】
（1）解：当“射”排在最后一周时，
，
当“射”不排在最后一周时，
，
，
所以“射”不排在第一周，“数”不排在最后一周的排法有504种.
（2）解：当甲只任教1科时，
，
当甲任教2科时，
，
，
所以甲不任教“数”的课程安排方案有1440种
【考点】排列、组合及简单计数问题
【解析】
（1）根据题意，按“射”的安排时间分2种情况讨论：①“射”排在最后一周，剩下的课程没有限制，②“射”不排在最后一周，由加法原理计算可得答案；
（2）根据题意，按甲教的科目多少分2种情况讨论：①甲教两科，②甲教一科，由加法原理计算可得答案．
4.已知4名学生和2名教师站在一排照相，求：
（1）中间二个位置排教师，有多少种排法？
（2）两名教师不能相邻的排法有多少种？
（3）两名教师不站在两端，且必须相邻，有多少种排法？
【答案】
（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
.
【考点】排列、组合及简单计数问题
【解析】（1）先排教师有
种方法，再排学生有
种方法，再根据分步计数原理即可得到答案；（2）先排4名学生有
种方法，再把老师插入4个学生形成的5个空位中，有
种方法，根据分步计数原理即可得到答案；（3）先将2名老师看成一个整体，有
种方法，再从4名学生种选2名排两端，有
种方法，最后将剩下的2名学生和老师这个整体全排列，有
种方法，由乘法原理即可得到答案.
1.中国古典乐器一般按“八音”分类，这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，最早见于《周礼·春官·大师》．八音分为“金、石、土、革、丝、木、鲍、竹”，其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、鲍、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器．某同学安排了包括“土、鲍、竹”在内的六种乐器的学习，每种乐器安排一节，连排六节，并要求“土”与“鲍”相邻排课，但均不与“竹”相邻排课，且“丝”不能排在第一节，则不同的排课方式的种数为（
）
A.?960????????????????????????????????????B.?1024????????????????????????????????????C.?1296????????????????????????????????????D.?2021
2.“中国梦”的英文翻译为“
”，其中
又可以简写为
，从“
”中取6个不同的字母排成一排，含有“
”字母组合（顺序不变）的不同排列共有（??
）
A.?360种?????????????????????????????????B.?480种?????????????????????????????????C.?600种?????????????????????????????????D.?720种
3.2020是全面实现小康社会目标的一年，也是全面打赢脱贫攻坚战的一年.复旦大学团委发起了“跟着驻村第一书记去扶贫”的实践活动，其中学生小明与另外3名学生一起分配到某乡镇甲、乙、丙3个贫困村参与扶贫工作，若每个村至少分配1名学生，则小明恰好分配到甲村的方法数是（???
）
A.?3???????????????????????????????????????????B.?8???????????????????????????????????????????C.?12???????????????????????????????????????????D.?6
4.现有甲?乙?丙3位同学在周一至周五参加某项公益劳动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲同学安排在另外两位前面，则不同的安排总数为（???
）
A.?10?????????????????????????????????????????B.?20?????????????????????????????????????????C.?40?????????????????????????????????????????D.?60
参考答案
1.【答案】
C
【解析】
由题意，排课可分为以下两大类：
⑴“丝”被选中，不同的方法总数为
种；
⑵“丝”不被选中，不同的方法总数为
种．
故共有
种．
2.【答案】
C
【解析】
从其他5个字母中任取4个,然后与“
”进行全排列,共有
,
3.【答案】
C
【解析】
若甲村只分配到1名学生，则该学生必为小明，此时分配方法数为
种；
若甲村分配到2名学生，则甲村除了分配到小明外，还应从其余3名学生中挑选1名学生分配到该村，此时分配方法数为
种.
综上所述，不同的分配方法种数为
种。
4.【答案】
B
【解析】
第一类：甲在周一，共有
种方法，
第二类：甲在周二，共有
种方法，
第一类：甲在周三，共有
种方法，
种不同的方法.