（机构适用）7.1条件概率与全概率公式-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册讲义（Word版含解析）

1了解求条件概率的方法
2.理解全概率公式
3.掌握贝叶斯公式及应用
一、条件概率
1、条件概率的概念
条件概率揭示了P(A)，P(AB)，P()三者之间“知二求一”的关系
一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P()=为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率.
2、概率的乘法公式
由条件概率的定义，对任意两个事件A与B
,若P(A)>0，则,我们称上式为概率的乘法公式.
3、条件概率的性质
设P(A)>0，则
（1）
（2）如果B与C是两个互斥事件，则
（3）设和互为对立事件，则
二、全概率公式
1.全概率公式
一般地，设是一组两两互斥的事件，，且，，则对任意的事件,有
我们称上面的公式为全概率公式，全概率公式是概率论中最基本的公式之一
贝叶斯公式
设是一组两两互斥的事件，，且，，则对任意的事件，，有==，
1.在5道题中有3道理科题和2道文科题．如果不放回地依次抽取2道题，求：
（1）第1次抽到理科题的概率；
（2）第1次和第2次都抽到理科题的概率；
（3）在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率．
【答案】
解：一个基本事件是从5道题中不放回地抽取2道，它包含的基本事件数是A52=5×4=20．（1）设第一次抽到理科题为事件A，则它包含的基本事件的个数为A31A41=12，于是P（A）==
．
（2）设第1次和第2次都抽到理科题为事件B，则它包含的基本事件数为A31A21=6，于是P（B）==
．
（3）因为5道题中有3道理科题和2道文科题，所以第一次抽到理科题的前提下，第2次抽到理科题的概率为P==
．
【考点】条件概率与独立事件
【解析】（1）确定从5道题中不放回地抽取2道包含的基本事件数，第1次抽到理科题的基本事件数，即可求出概率；
（2）确定第1次和第2次都抽到理科题的基本事件，即可求出概率；
（3）由已知中5道题中如果不放回地依次抽取2道题．在第一次抽到理科题的条件下，剩余4道题中，有2道理科题，代入古典概型公式，得到概率．
2.某校高二学生一次数学诊断考试成绩（单位：分）
服从正态分布
，从中抽取一个同学的数学成绩
，记该同学的成绩
为事件
，记该同学的成绩
为事件
，则在
事件发生的条件下
事件发生的概率
________．（结果用分数表示）
附参考数据：
；
；
．
【答案】
【考点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】由题意可知
，
，事件
为
，
，
，
所以，
，
，
由条件概率公式得
，
故答案为：
.
【分析】计算出
和
，然后利用条件概率公式可得出
的值.
3.某高校通过自主招生方式在贵阳招收一名优秀的高三毕业生，经过层层筛选，甲、乙两名学生进入最后测试，该校设计了一个测试方案：甲、乙两名学生各自从6个问题中随机抽3个问题．已知这6道问题中，学生甲能正确回答其中的4个问题，而学生乙能正确回答每个问题的概率均为
，甲、乙两名学生对每个问题的回答都是相互独立、互不影响的．
（1）求甲、乙两名学生共答对2个问题的概率．
（2）请从期望和方差的角度分析，甲、乙两名学生哪位被录取的可能性更大？
【答案】
（1）解：由题意得甲、乙两名学生共答对2个问题的概率：
（2）解：设学生甲答对的题数为
，则
的所有可能取值为1，2，3，
，
，
，
，
，
设学生乙答对题数为
，则
所有可能的取值为0，1，2，3，
由题意知
，
，
，
，
，
∴甲被录取的可能性更大．
【考点】离散型随机变量的期望与方差，总体分布的估计，条件概率与独立事件
【解析】（1）利用独立事件结合古典概型求概率公式和已知条件求出甲、乙两名学生共答对2个问题的概率．
（2）利用已知条件求出随机变量的分布列，再利用随机变量的分布列求出期望和方差，再从期望和方差的角度分析出甲被录取的可能性更大。
4.为向国际化大都市目标迈进，沈阳市今年新建三大类重点工程，它们分别是30项基础设施类工程，20项民生类工程和10项产业建设类工程.现有来沈阳的3名工人相互独立地从这60个项目中任选一个项目参与建设.
（Ⅰ）求这3人选择的项目所属类别互异的概率；
（Ⅱ）将此3人中选择的项目属于基础设施类工程或产业建设类工程的人数记为
，求
的分布列和数学期望
.
【答案】
解：记第
名工人选择的项目属于基础设施类，民生类，产业建设类分别为事件
?
.
由题意知
均相互独立.
则
（Ⅰ）3人选择的项目所属类别互异的概率：
（Ⅱ）任一名工人选择的项目属于基础设施类或产业建设类工程的概率：
由
.
的分布列为
0
1
2
3
其数学期望为
【考点】离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差，条件概率与独立事件，概率的应用
【解析】(1)根据实际问题的已知条件结合独立事件求概率的方法求出3人选择的项目所属类别互异的概率。
（2）根据实际问题的已知条件结合二项分布求概率的方法求出离散型随机变量的分布列，再根据离散型随机变量的分布列求出离散型随机变量的数学期望。
1.从
中不放回地依次取
个数，事件
“第一次取到的是奇数”，事件
“第二次取到的是奇数”，则
（??
）
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
2.一袋中共有10个大小相同的黑球和白球，若从袋中任意摸出2个球，至少有1个白球的概率为
，现从中不放回地取球，每次取1球，取2次，若已知第2次取得白球的条件下，则第1次取得黑球的概率为（???
）
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
3.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“─”和阴爻“--”，如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦，记事件
“取出的重卦中至少有2个阴爻”，事件
“取出的重卦中恰有3个阳爻”.则
（???
）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
4.近几年新能源汽车产业正持续快速发展，动力蓄电池技术是新能源汽车的核心技术.已知某品牌新能源汽车的车载动力蓄电池充放电次数达到800次的概率为
，充放电次数达到1000次的概率为
.若某用户的该品牌新能源汽车已经经过了800次的充放电，那么他的车能够达到充放电100次的概率为（???
）
A.?0.324?????????????????????????????????????B.?0.36?????????????????????????????????????C.?0.4?????????????????????????????????????D.?0.54
参考答案
1.【答案】
A
【解析】
由题意得
，
∴
，
2.【答案】
A
【解析】
设黑球有
个（
），则白球有
个.
从袋中任意摸出2个球，至少有1个白球的概率为
，没有白球的概率为
.即
，由于
，故解得
.所以黑球有4个，白球有
个.
设事件
｛第2次取得白球｝，事件
｛第1次取得黑球｝，
，
.
所以已知第2次取得白球的条件下，则第1次取得黑球的概率为
.
3.【答案】
D
【解析】
每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“─”和阴爻“
”，
在所有重卦中随机取一重卦，记事件
“取出的重卦中至少有2个阴爻”，事件
“取出的重卦中恰有3个阳爻”．
（A）
，
，
则
．
4.【答案】
C
【解析】
设事件A表示“充放电次数达到800次”，事件B表示“充放电次数达到1000次”，
则
，
所以某用户的该品牌新能源汽车已经经过了800次的充放电，
那么他的车能够达到充放电1000次的概率为：
.